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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）
1．如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求点的坐标；
(2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点．
①当四边形为平行四边形时，求点的坐标；
②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在点，使得，请说明理由．
2．综合与探究
如图，抛物线与y轴交于点D，与某一次函数的图象交点为，，连接，．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)点B是x轴上的动点，连接，当时，求点B的坐标；
(3)点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E的坐标；
(4)若抛物线与x轴正半轴的交点为M，F为抛物线对称轴上一点，则的最大值为________．
3．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)设P为抛物线上一动点，点P在直线上方时，过P作轴，交于点E，过E作轴于F，求的最大值及此时点P的坐标：
(3)若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，请求所有符合条件的点坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标是m．求线段的长度n关于m的函数关系式；
(3)若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)点D是直线下方抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标；
(3)如图2所示，过A作两条直线分别交抛物线于第一象限点P，Q，交y轴于M，N，．当n为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含n的式子表示）；若不经过，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中，，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转，得到新的抛物线．
(1)求抛物线C的函数解析式；
(2)若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
(3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
10．如图，已知抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点，C两点．
(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)设点P是位于抛物线上第一象限内的点，过点P作y轴的平行线交于点D，求当线段的长度取得最大时点P的坐标并直接写出此时的长度；
(3)在（2）的条件下，抛物线上存在一动点M，连结，过点P作交抛物线于点N，试探究直线是否经过某一定点，若经过请求出其定点，若不经过请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
12．如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标．
(3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
13．新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
(1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、．
①当四边形为正方形时，求：a的值．
②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标．
14．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点，与y轴交于点E，与直线交于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果，那么______、______；
(3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，若，则点N的坐标为______；
(4)点P是坐标轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形时，点Q坐标为______；
(5)点H在y轴上，则的最小值是______．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
16．抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，．
(1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标．
(2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标．
(3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形．
17．如图，以为顶点的抛物线与轴交于点，过点的直线与该抛物线交于另一点，与其对称轴交于点，为线段上的一个动点（点与，不重合）．过作轴的垂线与这条抛物线交于点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)动点能否使得四边形是平行四边形？若能，试求出此时点的坐标；若不能，试说明理由．
18．抛物线经过两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)求证：为定值；
(3)在第四象限内是否存在一点，使得以为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C．点D在y轴上，其坐标为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知在线段下方的抛物线上有一动点P，直线与直线交于点Q，连接，．当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新的抛物线（如图2），点R在新抛物线的对称轴上．在直线上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点R的坐标．
20．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D．
(1)点A坐标为______，点D坐标为__________；
(2)P为之间抛物线上一点，直线交线段于E，交x轴于点F，若，求P点坐标．
(3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，求点N的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值．
24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点．
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）》参考答案
1．(1)，，
(2)①；②当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得，理由见解析
【分析】（1）对于抛物线，首先令，可得，即可确定点坐标，再令时，可得，求解即可获得答案；
（2）①首先利用待定系数法解得直线的解析式，再确定，结合题意可设，，易得，根据平行四边形的性质可得，易得，求解即可确定点坐标；
②解法一：作点关于直线的对称点，设直线的解析式为，结合点的坐标确定直线的解析式为，联立并整理，根据一元二次方程的根的判别式，即可证明结论；
解法二：作点关于直线的对称点，易得当时可有，整理可得，结合，即可证明结论．
【详解】（1）解：在中，
当时，，
∴点，
当时，，
解得：，
∴点，；
（2）解：①由（1）知，，
设直线的解析式为，
将点，代入上式，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∵过作轴的平行线，交线段于点，如下图，
可设，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得，，
当，得，
∴；
②解法一：作点关于直线的对称点，如下图，
设直线的解析式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立，
整理得，，
则，
，
解方程得，
∵，
∴，
∴当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得．
解法二：作点关于直线的对称点，
在中，
当时，，
则，
∵，
∴，
∴点在抛物线内，
∴当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得．
【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点、二次函数综合应用、平行四边形的性质、一元二次方程的判别式等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．
2．(1)，
(2)或
(3)点E的坐标为或或
(4)
【分析】（1）结合题意利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式，进而当时，求出函数值，即可得到点D的坐标；
（2）根据题意得到，设，结合建立等式求解，即可解题；
（3）根据点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，分情况①当、为边时，②当为对角线、为边时，③当为对角线、为边时，结合平行四边形性质，已经全等三角形性质和判定求解，即可解题；
（4）由二次函数解析式及对称性得到函数的对称轴，点坐标，以及点关于对称轴对称的点为点，结合对称的性质得到，当、、三点共线时，最大，即时取最大值，最后结合勾股定理求出，即可解题．
【详解】（1）解：抛物线与某一次函数的图象交点为，，
，
解得，
，
当时，，
；
（2）解：，，
，
，
设，
，
，
解得，
，
点的坐标为或；
（3）解：以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，
①当、为边时，
有，且，
此时坐标为，
②当为对角线、为边时，
有，且，
此时坐标为，
③当为对角线、为边时，
有，且，
作轴于点，
，
，
，，
，
，，
，
此时坐标为，
综上所述，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为或或；
（4）解：，
对称轴为直线，
，点与点关于直线对称，
，
点关于直线对称的点为点，且F为抛物线对称轴上一点，
连接，，有，
当、、三点共线时，最大，
即时取最大值，
，
则的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数与面积综合，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，对称的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，灵活利用数形结合、分类讨论的数学思想解决问题．
3．(1)
(2)的最大值为4，
(3)存在，点N的坐标为或
【分析】（1）将两点代入，即可求解；
（2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，根据，，即可求解；
（3）由，得抛物线的对称轴直线为，设点M的坐标为，点N的坐标为，分类讨论当线段为平行四边形的边时，当线段为平行四边形的对角线时两种情况即可求解；
【详解】（1）解：由题意得，，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设点的坐标为，
由得
设直线的解析式为，过点，两点，
∴ ，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为，
∴，
，
∴，
∴当，的最大值为4，此时；
（3）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴抛物线的对称轴直线为，
设点M的坐标为，点N的坐标为，
①当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为；
或当点M在N下方时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
，解得，此时，不成立；
②当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为；
综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与线段、特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键.
4．(1)，抛物线的对称轴为直线；
(2)，的最大值为
(3)存在，点M的坐标为或．理由见解析
【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可；
（2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值；
（3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
因为抛物线与x轴交于点，，
所以，则抛物线的对称轴为直线．
（2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为，
设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得，
故直线的表达式为，
设点，则点，
则，
，故有最大值，当时，的最大值为．
（3）解：存在，理由如下：
当时，点，
设点，而点；
四边形是菱形，则，
即，解得：，
即点M的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)N点坐标为或
【分析】（1）将点和点的坐标代入解出、的值即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式求得点坐标，可得为等腰直角三角形，则有，当时，即，内错角相等可得，即点纵坐标与点纵坐标相等，将代入抛物线解析式即可得到点的坐标；
（3）分成两种情况考虑：第一种，当点在轴上时，此时只能为抛物线的顶点，由矩形性质即可推得点坐标；第二种，当点在轴负半轴上时，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设点坐标为，则，结合矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可以得出点的坐标为，最后根据点在抛物线上解出的值，即可得点坐标．综合两种情况即可得到完整解答．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点，
代入得，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）得，
令时，得，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
即点纵坐标与点纵坐标相等，
在中，令时，解得，，
．
（3）解：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为，
情况一：如图，当点在轴上时，只能为抛物线的顶点，
四边形为矩形，点为抛物线对称轴上一动点，，
与纵坐标相同，
点坐标为；
情况二：如图，当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，
过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，
设点坐标为，则，
矩形中，，
，
又，
，
，
，
，
抛物线对称轴为，点在对称轴上，点坐标为，
，，
，即，
，，
，，
，
和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得，，
点在轴负半轴上，
，即需舍去，
点坐标为．
综上所述，符合条件的点坐标为或．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、等腰三角形的判定与性质、二次函数的图像与性质、矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程，解题关键是方程思想的应用．
6．(1)
(2)
(3)或或．
【分析】本题主要考查的是二次函数综合运用、一次函数图象的平移、平行四边形性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）将点和点代入抛物线求得a、b的值即可解答；
（2）先求出直线的表达式为：，则点，，据此即可解答；
（3）分是边、是对角线两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得：
，解得：，
∴．
（2）解：∵，
∴，
如图：设点且，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
∴点，
∴，即．
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
点，点，设点，，点，
①当是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，
同样点向右平移3个单位向上平移3个单位得到，即，，
解得：或4，
∴M点的坐标为或；
②当是对角线时，
由中点公式得：，
解得：，
∴M点的坐标为．
综上，M点的坐标为或或．
7．(1)点A、B、C的坐标分别为：、、；
(2)点E的坐标为：，或
(3)直线过定点
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、面积问题、平行四边形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）对于，分别令和，即可求出答案；
（2）先求出直线的表达式为：，求出，设．分①当是边和是对角线两种情况分别进行解答即可；
（3）设点P、Q的坐标分别为：、，求出直线的表达式为：，当时，，同理可得：，则，即，联立和二次函数表达式并整理得：，则，，则，即，则的表达式为：，当时，，即可得到答案．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
当时，或3，
即点A、B、C的坐标分别为：、、；
（2）设，代入B，C坐标可得
解得，，
∴直线的表达式为：，
∵B、C的坐标分别为、；
∴，
设．
①当是边时，如图：
依题意得，，在x轴上取点P，使得，
∴
求得，
∴或
过P作的平行线交抛物线于D，则，
设，代入得
，
联立得：，
解得或5，
代入可得D坐标为或；
同理，代入得，
联立得到，此方程无解．
当D坐标为时，由平移性质可得E点坐标为或
当D坐标为时，由平移性质可得E点坐标为或
E点位于第四象限，满足条件E点坐标为，或
②当是对角线时
点D是直线下方抛物线上一点，点E位于直线上方，
点E在第一象限，这与条件不符，故此情况不成立．
综上，点E的坐标为：，或
（3）经过定点，
理由：设点P、Q的坐标分别为：、，
设，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，
同理可得：，
则，即，
设直线的表达式为：，
联立和二次函数表达式并整理得：，
则，，
则，即，
则的表达式为：，
当时，，
∴直线过点．
8．(1)
(2)
(3)存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或．
【分析】（1）由点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，利用配方法可求出顶点E的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标；设，直线解析式为，得出直线解析式为，，依据，利用二次函数的性质解答即可得解∶
（3）设点M的坐标为，点N的坐标为，分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：将，，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，有，
解得：，，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
设过两点的直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
点纵坐标为，
，
如图，与交于点，

设，
直线的解析式为，
代入坐标，得：，
解得：，
直线解析式为，
点的纵坐标为：，
，，
当时，最大，
的纵坐标为：，
此时点的坐标为：；
（3）解：存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，
理由如下：设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况考虑：

①如图2，当四边形为平行四边形时，
得：，
解得：，
此时点的坐标为：；
②如图3，当四边形为平行四边形时，
得：，
解得：，
此时点的坐标为：；
③如图4，当四边形为平行四边形时，
得：，
解得：，
此时点的坐标为：；
综上所述，存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是∶(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E的坐标；(3)分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况求出点M的坐标．
9．(1)
(2)
(3)四边形能成为正方形，或12
【分析】（1）运用待定系数法将，，代入中，即可求得答案；
（2）设抛物线的解析式为：，联立方程组，可得，由抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，得出，解不等式组即可求得答案；
（3）分两种情形：情形1，如图2，作轴于E，轴于H．利用证明，进而得出，根据点M在上，建立方程求解即可．情形2，如图3，解法与情形1相同．
【详解】（1）解：由题意，把点、代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线C的函数解析式为：；
（2）解：如图1，由题意，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
由，
消去y得到：，
∵抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
∴，
解得：，
∴满足条件的m的取值范围为：；
（3）解：结论：四边形能成为正方形．
理由：情形1，如图2，作轴于E，轴于H．
设，
将代入得：，
解得：（负值舍去），
∴，
当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点M在上，
∴，
解得或（舍），
∴时，四边形是正方形．
情形2，如图，四边形是正方形，同法可得，
把代入中，，
解得或（舍去），
∴时，四边形是正方形．
综上，四边形能成为正方形，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，正方形性质，中心对称和旋转的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用中心对称和旋转的性质等相关知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．(1)；
(2)的长度为，且
(3)直线必经过定点
【分析】(1)把点，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可.
(2)先确定直线的解析式为．设，则，则；，解得即可．
(3) 作轴于点轴于点，设，，可求得的解析式为：，根据点和，根据得出，从而得出，从而得出，进一步得出结果．．
【详解】（1）解：把点，点分别代入抛物线，
得，
∴，
故抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：有最大值为，且．理由如下：
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为．
设，则，则
，
∵点P在第一象限的抛物线上，
∴，
∵，
∴有最大值，且当时，取得最大值，
∴时，；
故．
∴有最大值为，且．
（3）
直线经过某定点，理由如下：
作轴于点，轴于点，设，
设直线的解析式为：，
，
化简整理得，
把②代入①，
∴当时，，
∴直线必经过定点．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）先求出直线的表达式为，再求得，可得出，，最后用三角形面积公式求解即可；
（3）①过点作于，证明，推出，，由，可得，由题意直线的解析式为，设，，根据，构建方程求解，可得结论；
②因为的周长为，所以要使得的周长最小，只要的值最小，因为，所以当点在上时，的值最小．
【详解】（1）解：抛物线过，两点，
，
解得，
；
（2）解：设直线的解析式为，代入得，
，
直线的表达式为，
当时，，解得，
，
当，，
，，
；
（3）解：①如图1中，过点作于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，，，
，，
，
，
，
，
；
②如图2中，
∵，，
∴，
∴，
，
的周长为，
要使得的周长最小，只要的值最小，
，
当点在上时，的值最小，
当时，，
∴，，
，
的周长的最小值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
12．(1)
(2)最大值为，
(3)点N的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设．
又∵，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为．
∵，在直线上
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，．
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时的
（3）设，，
设的中点为．
∵四边形是矩形，
∴的中点为K，
∴．
∵点N在坐标轴上，
∴或，
当时，，轴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
当时，点N在x轴上，如图，
过点Q作轴于点H．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点Q在直线上方，
∴，
∴，
∴，
综上所述，点N的坐标为或．
13．(1)
(2)①；②，，
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题．
（1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式；
（2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可；
②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标．
【详解】（1）解：，
“同轴对称抛物线”的顶点坐标为，
；
（2）解：①由题可知，，
，
抛物线的对称轴为，
，，
，
或，
或，
（舍去）或；
②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：，
设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则，
联立和得：，
解得：或，
即，
联立和得：，
则，，
则，
，
，
直线和轴的夹角为，
则，，
而，
则，
即，
解得：，
则①；
设直线交轴于点（即点，在轴上方取点，
过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，过点作，
则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，
设直线的表达式为：②，
联立①②并整理得：，
则，
解得：，
则直线的表达式为：，
则点，
当时，即，
解得：，
则点；
则，
则点，
则直线的表达式为：，
联立和得：，
解得：，
则点和的坐标分别为：,．
综上，，，的坐标分别为：,,．
14．(1)
(2)，
(3)或
(4)或
(5)
【分析】（1）先求得点B、点C的坐标，然后代入求得a、b、c的值即可解答；
（2）过点作轴，则，设，由平行线分线段成比例得，求得，再利用待定系数法即可求解；
（3）由（2）可知，直线的解析式为，得，抛物线的对称轴为，可得，，即，即，进而可得答案；
（4）先求出的长，然后当为菱形对角线，根据的位置在轴或轴上两种情况分别画图，再结合菱形的性质、勾股定理即可解答；
（5）连接，过点作，过点作，则，根据等面积发求得，再证，可求得，可知，当在上时取等号，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴交于点B、点C，
当时，，当时，，则，
∴，，
∵抛物线与轴交于点、点，与y轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点作轴，则，设，
∵，，
∴，即，解得，
∴，
将，，代入直线，得，
解得：，
故答案为：，；
（3）由（2）可知，直线的解析式为，
令，则，
∴，则，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∵，即，
∴，
∴或，
当时，；
当时，；
∴点的坐标为或，
故答案为：或；
（4）解：存在，理由如下：
∵,,
∴，
当为菱形对角线时，则，
当点在轴上，
设，，
∵，
∴，
解得：，即，则，
如图，在菱形中，，，
∴；
当点在轴上，同理可得；
综上 ，点Q的坐标为或；
故答案为：或；
（5）连接，过点作，过点作，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴，当在上时取等号，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、相似三角形的怕判定及性质、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．
15．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）运用待定系数即可求解；
（2）先求出直线的表达式为，则，，那么，而，代入面积公式即可；
（3）①设，则，，由四边形是平行四边形，得点与点的水平距离等于与点的水平距离，点与点的铅锤距离等于与点的铅锤距离，，解得，此时，，则，即，解得，即可求解H坐标；
②，而，故，当C，P，B三点共线时周长取得最小值，最小值为．
【详解】（1）解：将，代入中
得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则代入点，得：，
解得：，
直线的表达式为，
∵，
∴当，
解得：，
，
当，，
∴，
，
而，
；
（3）解：①设，则，，
如图：
∵四边形是平行四边形，
∴点与点的水平距离等于与点的水平距离，
，
解得，
此时，
∵四边形是平行四边形，
∴点与点的铅锤距离等于与点的铅锤距离，
∴，
即，
解得，
点的坐标为
②∵点的坐标为，，如图：
∴，
∵，，
∴，
∵直线交轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C，P，B三点共线时周长取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，三角形的三边关系求最值，两点之间距离公式，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16．(1)，
(2)，；
(3)
【分析】（1）把，，代入，再建立方程组求解解析式，再化为顶点式解题即可；
（2）先求解直线的解析式为，求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形的面积加上的面积可得函数关系式，求得面积的最大值；
（3）要使四边形是平行四边形只要即可，利用二次函数的对称性可得答案．
【详解】（1）解：把，，代入，得
，
解得，
∴；
∴抛物线的顶点；
（2）解：设直线的解析式为，将点、点的坐标代入得
，解得，
所以直线的解析式为
设，而，．
由题意可知：
∴，，．
∴
．
∵，
∴当时，；
∴；
故四边形的最大值为，点P的坐标为．
（3）解：如图，过点作，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴关于抛物线对称轴直线对称，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)能，
【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数解析式求解，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据抛物线顶点设抛物线方程为，将点坐标代入直线和抛物线方程即可求得的值和抛物线的解析式；
（2）根据两点横坐标相同设为，则根据两点所在图象的不同即可表示出两点的纵坐标，进而得到的长度，根据长度大于0即可得到的范围；
（3）根据直线与直线都与轴垂直，故要使平行四边形是平行四边形，需且只需；根据是直线与的交点得到的坐标，根据列出方程即可得到合适的解，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，
∴，直线解析式为：．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的解析式可设为．
又∵在此抛物线上，
，
，
∴所求抛物线的解析式为；
（2）解：记两点的纵坐标分别为和．
由（1）得直线的解析式是，
，
，
即；
（3）解：能．
直线与直线都与轴垂直，
∴要使平行四边形是平行四边形，
需且只需．
∵点是直线与的交点，
∴点的坐标为，
∴，
即，
解得：（不合题意，舍去），
∴当点的坐标为时，四边形是平行四边形．
18．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）设点，，如图，过点作轴于点，则，则，，计算出的值即可求证；
（）①当是平行四边形的边时，确定以为顶点的平行四边形面积，当最大时，平行四边形的面积最大，计算可得的最大值为；②当是平行四边形的对角线时，证明该种情况，不符合题设要求，进而得到点的坐标，再利用中点坐标公式计算即可求出点坐标．
本题考查了二次函数的几何运用，三角函数，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，点，，
将点的坐标代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
设直线解析式为，将点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）证明：设点，，如图，过点作轴于点，
则，则，，，
∴，为定值；
（3）解：存在，理由如下：
①当是平行四边形的边时，
如下图，设直线交轴于点，交于点，
由直线的解析式知，，，
过点作于点，则，
则，
∴以为顶点的平行四边形面积，
∵为常数，
∴当最大时，平行四边形的面积最大，
设点，则点，
∴，
即的最大值为，此时点；
②当是平行四边形的对角线时，如下图，
同理可得，以为顶点的平行四边形面积，
此时，
∵当时，的值随最大而增大，而，
∴当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求；
综上，点，即四边形为平行四边形时，面积最大，
设点，
由中点坐标公式得，，
解得，
∴点．
19．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；
（2）分别求出直线，的解析式，可证，所以的面积的面积，进而求的面积最大可转化为求的面积最大；过点P作轴交于点E，表达的面积，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移的性质可知，抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论∶当是平行四边形的边时，当是平行四边形的对角线时，分别求解即可，
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达为；
（2）解：如图1，连接．
∵抛物线与y轴交于点 C，
∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为，
代入和得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
∵点B的坐标为，点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
代入和得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
，．
．
．
过点P作轴交于点E，
设点P的横坐标为t，
则，，
．
，
高的和为3，
，
∴当时，有最大值，为，，
此时；
（3）解：由平移的性质可知，抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线为：．
∵点R在新抛物线对称轴上，
,
∴点R的横坐标为．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当为平行四边形的边时，或，
或，
解得或．
或．
或，
或，
或，
或；
②当为平行四边形的对角线时，，
，
解得，
；
，
，
．
．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：
或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题．
20．(1)二次函数的表达式为
(2)当时，△BMN的面积最大，最大面积是
(3)存在，Q的坐标为或或或
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为；
（2）过点M作轴于点E，设面积为S，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，最大面积是；
（3）由得直线解析式为，设，分三种情况：①当是对角线，有，解得；②当为对角线，有，解得；③当为对角线，有，解得或．
【详解】（1）解：将点代入中，
得，
解这个方程组得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：过点M作轴于点E，如图：

设面积为S，
根据题意得：，．
∵，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设直线解析式为，
把代入，得：
，
解得，，
∴直线解析式为，
设，
又，
①当是对角线，则的中点重合，
∴，
解得（与C重合，舍去）或，
∴；
②当为对角线，则的中点重合，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
③当为对角线，则的中点重合，
∴，
解得或，
∴或，
综上所述，Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
21．(1)；
(2)最大值是，点的坐标为
(3)或或或
【分析】（）令可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标；
（）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答；
（）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴；
∵，
∴顶点的坐标为；
故答案为：；；
（2）解：如图，连接，
设点的坐标为，
令时，则，
解得，，
∴，
∴，
由（）知：，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值是，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，，
分三种情况：
①如图，当时，，
∴或，
解得（不合，舍去），，，
∴点的坐标为或；
②当为对角线时，
∵，四边形是菱形，
∴的中点在轴上，
∴，
解得，（不合，舍去），
∴；
③如图，当时，则，
∴，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）令，即可求出与x轴交点坐标，把一般式化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）分两种情况讨论，当直线与x轴交于x正半轴时，不符合题意，当直线与x轴交于负半轴时，连接，设，分别求出直线的解析式，直线的解析式，联立即可求出与的交点E的坐标，再根据面积关系即可得到关于m的方程，解方程即可求出P点坐标；
（3）分三种情况讨论，若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，根据菱形的性质即可求出点坐标，证明，可证以为顶点不能作菱形；以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，根据勾股定理求出，再根据菱形的性质和中点坐标即可求出，同理可求；以为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，根据菱形的性质和中点坐标即可求出N点横坐标，再根据列方程即可求出N点的纵坐标．
【详解】（1）解：令得，解得或，
，，
，
抛物线顶点为，
故答案为：；
（2）解：当直线与x轴交于x正半轴时，如图，
则，不符合题意；
当直线与x轴交于负半轴时，连接，
设，
P为之间抛物线上一点，
，
当时，，
，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，
解得：，
，
，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
，
，
整理得，
解得：（舍）或，
当时，，
；
（3）解：①若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，如图：
可作菱形，
，
，
，
，
，
过点B作直线于E，
，
，
，
，
，
，
，
与共线，以为顶点不能作菱形；
②若以为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，连接，相交于E，如图：
可作菱形和菱形，
，，
，
，
∵菱形，
，
，
解得，
；
同理可求得；
③若以为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，如图：
可作菱形，则，
∵四边形是菱形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
综上所述，点N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及求与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是分类讨论，正确的作出辅助线．
23．(1)
(2)
(3)t的值为或2或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可；
（3）分，和讨论，三种情况利用等腰直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解∶根据题意，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
当时，，
∴顶点，
当时，，
解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得（不符题意，舍去），，
∴，
∴；
（3）解：设M点的坐标为
如图所示，当时，
∵轴，
∴轴，N点的纵坐标为
∴Q点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴N点坐标为，
∴，，
又∵是以为直角边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当时，
由①知：N的坐标为，则，
∴，，
同理得，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴，
∴，
∴；
当时，过Q作于P，
由①知：N的坐标为，
同理得，
∴，，
∴，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当以为边的是等腰直角三角形时，t的值为或2或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性格知识．
24．(1)
(2)
(3)存在，点P的横坐标为或或
【分析】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，
（1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知
（2）根据解析式可得顶点的坐标；第一问求得直线解析式，可求得的长．
（3）根据题意设和，根据平行四边形的性质分类讨论即可求得答案．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得：，
（2）由（1）可得抛物线解析式为
∵
∴顶点，
当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
将、代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴；
（3）存在．
∵抛物线解析式为，直线解析式为，
设，，则
分类讨论：
①当点在点下方时，
，
解得：，，
②当点在点上方时
，
解得：（舍去），，
综上所述，点P的横坐标为或或．

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