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2025年中考数学压轴题专练：实际问题与二次函数应用题
1．某商家购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件．若按照这个规律，则当单价提高x元时，销售量m（件）与x的关系如下表：
单价（元/件） 销售量（件）
提高1元 31 380
提高2元 32 360
… … …
提高x元
(1)求销售量m（件）与x之间的函数关系式；
(2)求销售利润y（元）与x之间的函数关系式；
(3)若限定每月的销售量在320件到460件之间（可以包括320件或460件），则如何定价，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
2．广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系，
(1)请直接写出与的函数关系式；
(2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
3．某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加．
(1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示）
(2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？
(3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
4．为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社．今年大蒜丰收，为了取得较高利润，该合作社对本地市场进行调查．调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1万元．为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于4.5万元/吨．设大蒜的批发价为（万元/吨），每天获得的利润为（万元），请解答下列问题：
(1)用含的代数式表示每天大蒜的销售量为_____（吨），并求出每天获得的利润（万元）与批发价（万元/吨）之间的函数关系式：_______．
(2)若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨
(3)当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润．
5．某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．
(1)两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价)
6．蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克．
(1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率；
(2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元．
设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式．
现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元．
7．如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得河道宽度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为7.5米，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：

(1)求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？
(2)在丰水期，测得水面到的距离为米，求此时水面截痕的长；
(3)在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上（即点右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？
8．某电子厂生产一款成本为50元的无线领夹麦克风，如图1，投放市场进行销售，其销售单价不低于成本且不高于95元．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图2所示．
(1)求出与的函数解析式；
(2)当销售单价应定为多少元时，该公司每天可获得2400元的销售利润；
(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
9．某商场要经营一种新上市的文具，进价为元/件．试营销阶段发现：当销售单价为元时，每天的销售量是件；销售单价元时，每天的销售量为件．其中每天的销售量是售价的一次函数．
(1)求这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
(3)若商店想要每天获利，售价应定为多少元？
10．如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）；
(3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围．
11．综合与实践．
活动名称：聪明果销售方案设计
材料一：学校附近超市以每袋30元的价格购进了若干袋真空包装的聪明果进行销售，售价定为60元/袋，一周可以销售100袋．
材料二：超市老板发现，聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋，决定降价销售，但售价高于进价．
任务一：建立函数模型
（1）设聪明果的销售单价为x（元/袋），每周的销售量为y（袋），每周的销售利润为W（元），分别写出y与x，W与x的函数解析式；
任务二：设计销售方案
（2）若每周的销售利润为3750元，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？
12．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元） 30 40 45
销售数量y（件） 100 80 70
(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
(3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
13．科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
(1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ；
(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？
(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？
14．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系如图所示．
(1)求关于的函数关系式；
(2)若跑道长度为，请通过计算说明是否够此无人机着陆；
(3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离．
15．某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S 与t之间的函数关系），根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)此软件上市第几个月后开始盈利
(2)求累积利润S（万元）与销售时间t（月）间的函数表达式；
(3)第几个月公司的月利润为2.5万元
16．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
17．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)这艘货船能否安全过桥？
(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
18．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒．
销售单价/(元/盒)
日销售量/盒
(1)求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式；
(2)端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元；
(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．
19．某公司销售的某种安徽特产每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间第（天）的关系如表：
时间x（天）
日销售量m（件）
未来天内，每天的价格（元/件）与时间第（天）的函数关系式为（且为整数）．
(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与第（天）之间的关系式，直接写出日销售量（件）与时间第（天）之间的关系式；
(2)未来天内，该公司销售的这款安徽特产的日销售利润为元，请写出与第（天）之间的关系式（销售利润=销售额-成本），并解答下面的问题：
①第几天的日销售量为元：
②求未来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
20．乒乓球是我国国球，球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示：
0 2 4 6 8 10 12 14
3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3
(1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围）
(2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；
(3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？
21．某工厂生产的一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长单位：在到之间含和，每张薄板的出场价y（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长
出厂价元张
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
(2)每张薄板的成本价单位：元与它的面积单位：成正比例，已知出厂一张边长为的薄板，获得利润是元利润出厂价成本价，
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
22．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（）之间存在一次函数关系
(1)求y（千克）与x（元）（）的函数关系式；
(2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润=销售量×（销售单价-进价）】
(3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克．则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？
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参考答案
1．(1)
(2)
(3)当定价为24元时，y有最大值4480，此时单价为34元
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题公式：销售利润单件利润销售量．
（1）根据题意销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件，即可写出与x的函数关系式；
（2）根据销售问题公式：销售利润单件利润销售量即可列出二次函数解析式；
（3）根据（2）所列函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可以得出销售量m（件）与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可以得出销售利润y（元）与x之间的函数关系式为：
；
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∵，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值4480，此时单价为34元
2．(1)；
(2)每千克售价定为元时，利润可达到元；
(3)当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元．
【分析】（1）该函数经过点，，利用待定系数法求出与的函数关系式即可；
（2）设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据利润销量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去；
（3）设利润为，可以列出关于的函数解析式为，根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，可知当时，所获得的利润最大，把代入函数解析式求出最大利润．
【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点，，
设与的函数关系式为，
将代入，
得到：，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，
根据题意可得：，
，
整理得：，
分解因式得：，
解得：，，
售价不低于成本价且不超过每千克元，
每千克售价定为元时，利润可达到元；
（3）解：设利润为，
，
函数开口向下，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，
此时，
当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润．
3．(1)；
(2)应降价2元或8元
(3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出关系式．
（1）根据每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加，列出代数式或算式即可；
（2）根据每天获利2160元，列出方程，解方程即可；
（3）设利润为w元，单价降低元，根据总利润单个的利润销售量，列出二次函数解析式，然后求最大值即可．
【详解】（1）解：若单价降低2元，则每天的销售量是（千克），
若单价降低元，则每天的销售量是千克；
（2）解：设单价应降价元，依题意得：
，
整理得：，
解得，，
答：单价应降价2元或8元；
（3）解：设利润为w元，单价降低元，
，
，
w有最大值，
当时，w的最大值是2250，
答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．
4．(1)，
(2)定为4万元/吨
(3)当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元
【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据“批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨” 用含x的代数式表示每天大蒜的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每天获得的利润y (万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式可得，解方程后根据即可得到答案；
（3）由题意得到，根据和二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：每天大蒜的销售量为（吨），
故答案为：
根据题意得，
∴每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式为，
故答案为：；
（2）解：根据题意可得，
解得．
∵，
∴，
答：若该村每天批发大蒜要盈利15万元，大蒜的批发价应定为4万元/吨；
（3）解：，
∵，即抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，
最大值为，
∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元．
5．(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元
(2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台
【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解；
（）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元，
再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元；
（2）解：∵销售量台，
∴型电脑购进台 ，
∴型电脑购进台，
∴型电脑的利润为万元，
由图象可知，当时，与的函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∴，
设总利润为万 元，
当时，总利润，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，(万元)；
当时，总利润，
∵，对称轴为直线，
∴当时，有最大值，(万元)；
∵，
∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大．
6．(1)月份到月份的销售量月平均增长率为；
(2)；每千克应涨价元．
【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可；
（）由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可；
当时，得，解方程并检验即可；
本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率，
由题意得：，
解得：，（舍去）；
答：月份到月份的销售量月平均增长率为；
（2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，
；
由题意得：，
解得 或，
由于要尽可能的给予顾客优惠，
答：每千克应涨价元．
7．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题题意，建立函数模型是解题的关键．
（1）利用抛物线对称性求出点坐标，在用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由题意可以推出点和点的纵坐标为，代入值求出和的横坐标，从而求出长度；
（3）先求出船在中间时小球的运动轨迹抛物线解析式，再设向右划行米，然后将点代入即可求出值．
【详解】（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得．
，
，
∵，
．
设二次函数表达式为，
将代入得
，
解得，
二次函数表达式为．
，
二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．

（2）解： 丰水期时水面到的距离是3.6米，
令，
即，
解得，，
，
此时水面截痕的长为16米．
（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设的中点为，小球轨迹的顶点是点，
．
由（2）知，
小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点，
，两点关于对称轴对称，
．
设小球的轨迹抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
．
设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为，
将代入可得，
解得（舍去）或．
答：小红的小船至少要向右划行米．

8．(1)与的函数关系式为：
(2)当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润
(3)销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元
【分析】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点．
（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，根据二次函数的性质可求得答案．
【详解】（1）解：设一次函数为，
将点，代入得：
，
解得，，
∴与的函数关系式为：；
（2）解：由题意得：，
化简得：，
解得：，，
（不符合题意，舍去）．
答：当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润；
（3）解：设每天获得的利润为元，由题意得，
，
．
∵，，
∴当时，有最大值，．
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
9．(1)
(2)元
(3)或元
【分析】本题考查一次函数和二次函数，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键，
（1）设一次函数关系式为，根据题意分别将，代入即可得到函数关系式；
（2）设销售利润为，根据题意得，将代入得到，再将函数式变成顶点式，可得到当时，有最大值， 进而得到答案；
（3）由题可得，即，解方程即可得到文具的定价．
【详解】（1）解：设一次函数关系式为，
由题意可得，，
解得：，，
∴所求函数关系式为．
（2）解：设销售利润为，根据题意得，
，
∴当时，有最大值，
∴销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大．
（3）解：根据题意可得：，
∴，
解得：或．
∴商店想要每天获利，售价应定为或元．
10．(1)
(2)该球不能射进球门，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键．
（1）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可；
（2）当时，求出y的值再与比较，即可判断球能不能射进球门；
（3）设小明带球向正后方移动m米，则可用含m的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为．
把点代入，得．解得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，．
该球不能射进球门．
（3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为．
把点代入，得，解得（舍去）或．
把点代入，得．解得（舍去）或．
的取值范围是．
11．（1），；（2）销售单价应定为45元或55元；（3）销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用， 二次函数的应用，解题的关键是找到等量关系列出函数的关系式及方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用．
（1）依据题意，由每袋聪明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，又设聪明果的销售单价为x（元/袋），进而可得y与x，W与x的函数解析式；
（2）依据题意，令，得一元二次方程产，求解进而得解；
（3）根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解∶（1）聪明果的销售单价为x（元/袋），每周的销售量为y（袋），聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋，
，
，
（2）由题意得，；
整理得，，
解得，，
答∶ 销售单价应定为45元或55元时，每周的利润是3750元；
（3），
时，，即销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000元．
12．(1)
(2)销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元
(3)销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用．
（1）设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【详解】（1）解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，
将点、代入一次函数关系式得：
，
解得：，
函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，．
单价不低于成本价，且不高于50元销售，
不符合题意，舍去．
答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）解：由题意得：
，
，故当时，随的增大而增大，而，
当时，有最大值，此时，，
答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元．
13．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意把代入，得到，即可解答．根据顶点式写出抛物线表达式，将，代入即可得到解析式；
（2）根据对两个函数列出不等式，求解即可；
（3）设出未知数，根据条件列出方程，解方程即可．
本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据和当时对应的函数值相同求出t的值．
【详解】（1）解：根据题意，把代入可得：，
∵以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，第时学生的注意力指数y达到最大值92，
∴可设抛物线的解析式为：，
把代入可得：，
解得：，
∴，
故答案为：84，；
（2）解：由学生的注意力指数不低于80，即，
当时，由可得：；
当时，则，即，
整理得：，解得：，
∴（分钟），
答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）解：设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，
由于，
要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，
则当和当时对应的函数值相同，
即，
整理得：
解得：（不合题意，舍去）
∴
答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
14．(1)
(2)跑道长度不够无人机降落
(3)无人机着陆后最后两秒滑行的距离为
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出最值，与进行比较，判断即可；
（3）求出时的函数值，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵函数图象过点，
∴设函数解析式为，
把代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，有最大值为，
∵，
∴跑道长度不够无人机降落；
（3）解：∵，有最大值为，此时无人机停止，
∴当时，，
∵，
∴无人机着陆后最后两秒滑行的距离为．
15．(1)4个月后
(2)
(3)第5个月
【分析】此题考查了二次函数、一元二次方程实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
（1）由图象可得，该种软件上市第4个月后开始盈利；
（2）设利用待定系数法即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由图象可得，
该种软件上市第 4个月后开始盈利；
（2）设，
∵函数图象过点，
∴，得，
∴累积利润（万元）与时间（月）之间的 函数表达式是：；
（3）由题意，当时，，
解得，，（舍去），
即截止到5月末，公司累积利润达到2.5万元．
16．(1)，
(2)700元
(3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解；
（2）把9600代入中，求解即可；
（3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可；
本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数）
．
（2）由题意得，
∴，
解得，，
∵民宿尽最大可能让利游客，，
∴每个房间的定价为（元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3），
∵，
∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．
17．(1)
(2)该船能安全通过
(3)此时该货船能安全过桥
【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答．
（3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答．
【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点
设抛物线的解析式为，
将分别代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）由题易知，点D的横坐标为，
把代入，
得
∵，
∴该船能安全通过．
（3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为
把代入，
得．
∵，
∴此时该货船能安全过桥
18．(1)
(2)每盒降价元
(3)当销售单价定为元盒时，最大纯利润为元
【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，求二次函数的最大值，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键．
（1）设，根据表格代入即可求解；
（2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解；
（3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在范围内求最值即可．
【详解】（1）解：设，
由题意得：，
解得：，
；
（2）解：日销售量为盒，
把代入，
得：，
解得：，
即原来日销售单价为元，
设当日销售单价为元时，销售利润为元，
根据题意得：，
解得：，，
为了使顾客获得最大实惠，销售单价应该定为元，
降价为：（元），
答：当乌馒头每盒降价元时，商店每天获利为元；
（3）解：设日销售纯利润为元，由题意得：
，
，，
当时，有最大值元，
答：当销售单价定为元盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为元．
19．(1)
(2)①第天和第天 ②第天；元
【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的形式，并掌握一次函数的待定系数法和二次函数的性质和最值是解题的关键．
（1）观察所给表格，可得时间增加天，日销售量减少件，符合一次函数关系式，待定系数法求解即可，注意检验其他值；
（2）先求出与第（天之间的关系式．
①求时的值即可；
②在自变量范围内求二次函数最值即可．
【详解】（1）解：时间增加天，日销售量减少件；时间增加天，日销售量减少件，
时间每增加天，日销售量就减少件，符合一次函数关系式，
设一次函数关系式为：，
经过点，，
，
解得：，
，
经检验，其他与的对应值均适合以上关系式，
日销售量（件与时间第（天之间的关系式为：；
（2）解：，
①当时，得，
即，
解得：，，
答：第天和第天的日销售利润为元；
②，
，
二次函数开口向下，
又∵，
当时，有最大值．最大值为：（元．
答：未来天中第天的日销售利润最大，最大日销售利润是元．
20．(1)
(2)乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为；
(3)发球口最多向右平移．
【分析】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点．
（1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数为一次函数，设，把表格中的前两组数据代入可得和的值，观察表格中的数据可得一次函数自变量的取值在0和8之间；
（2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取，求得相应的的值，取较大的值即为乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；
（3）取，代入抛物线解析式，求得对应的的值；易得球台长，那么球台的一半长，取球台的一半长减去较小的的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多平移的距离．
【详解】（1）解：球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，
设．
经过点，．
．
球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数解析式为：；
（2）解：当时，设抛物线的解析式为：．
．
解得：．
．
当时，．
整理得：．
．
解得：，（舍去）．
答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为；
（3）解：．
球台的一半长．
当时，
．
整理得：．
解得：（舍去），．
．
，，
发球口最多向右平移．
21．(1)
(2)①，；②当边长为时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最大利润是元
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意设，则，将表格中数据代入求解即可解答；
（2）设，从而得，将、代入即可解答；②将①中所求函数解析式配方成顶点式即可得出函数的最值．
【详解】（1）解：设，则，
由表可得：，
解得：，
．
（2）解：①根据题意，设，则，
将、代入得：，
解得：，
；
②，
当时，取得最大值，最大值为．
答：当边长为时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最大利润是元．
22．(1)
(2)10元或14元
(3)该超市销售这种水果每天获取的最大利润是787.5元
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二次函数的图像与性质，解题的关键是构建二次函数，利用二次函数性质解决实际问题，属于中考常考题型．
（1）先求出销售单价为13元千克时的销售量，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）列出方程即可解决问题．
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：当销售单价为13元/千克时，销售量为：（千克）．
设y与x的函数关系式为：，
把分别代入得：，
解得，
与x的函数关系是：．
（2）解：由题意：，
解得或10．
销售单价为每千克10元或14元时，每天获取利润600元．
（3）解：设每天水果的利润为w元，则
，
∵,
当时，w随x的增大而增大．
又水果每天的销售量均不低于225千克，
，
．
当时，W最大值（元）．
答：该超市销售这种水果每天获取的最大利润是787.5元．

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