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第87讲 二项式定理
知识梳理
知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
知识点3、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
必考题型全归纳
题型一：求二项展开式中的参数
例1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】的展开式中的常数项为，
展开式中的常数项,
所以,即,
故选：D.
例2．（2024·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】二项式的展开式的通项为，
令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.
故选：C
例3．（2024·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【解析】的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴
∴
故选：B.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
【答案】B
【解析】展开式的通项为：，
取得到常数项为，解得.
故选：B
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】的展开式的通项，
当时，
则，解得．
故选：A
【解题方法总结】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
题型二：求二项展开式中的常数项
例4．（2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
【答案】C
【解析】令，则可得所有项的系数和为且，解得，
∵的展开式中的通项，
∴当时，展开式中的常数项为.
故选：C
例5．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120
【答案】C
【解析】因为，
令，得，
所以二项式展开式中的常数项为．
故选：C.
例6．（2024·北京房山·高三统考开学考试）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题目可知，，
令，解得，
所以当时为常数项，此时，
故选：A
变式3．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）的展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．20 C．－10 D．10
【答案】D
【解析】因为，
的展开式的通项公式为，
令,得，
令,得，
所以的展开式中的常数项为：
.
故选：D
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中存在常数项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的二项展开通式为，
令，则一定是5的倍数，
故选：C.
变式5．（2024·全国·高三对口高考）若展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．12 D．10
【答案】A
【解析】，
令，得，则时，取最小值.
故选：A
【解题方法总结】
写出通项，令指数为零，确定，代入．
题型三：求二项展开式中的有理项
例7．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，有理项的系数为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【解析】的通项为 ，
.当为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以，
故展开式中有理项的系数为；
故选：A.
例8．（2024·全国·高考真题）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
【答案】D
【解析】二项式的通项，
若要系数为有理数，则，，，且，
即，，易知满足条件的，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
例9．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85 B．29 C． D．
【答案】C
【解析】展开式的通项为：
，其中，
当时为有理项，故有理项系数和为
，
故选：C.
变式6．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式展开式中，有理项共有（ ）项．
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【解析】二项式展开式中，
通项为，其中，
的取值只需满足，则，
即有理项共有7项，
故选：D.
变式7．（2024·安徽宣城·高三统考期末）在二项式的展开式中，有理项共有（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】A
【解析】写出通项公式，然后代入的值：，分别计算判断是否为有理项.的通项公式为，
可知当时，或或，可得有理项共有项.
故选：A.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【解析】首先写出二项展开式的通项公式，由条件可知为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数的值.的通项公式是
设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数，
注意到，对照选择项知、、，
逐一检验：时，，不满足条件；
时，、、，成立；
时，、5、8，成立
故选：B.
【解题方法总结】
先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
例10．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4 B．84 C．―280 D．560
【答案】B
【解析】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则
又因为的展开式的通项公式为，
令，所以展开式中的项的系数为．
故选：B.
例11．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A．270 B．240 C．210 D．180
【答案】A
【解析】展开式的通项公式为，
则原展开式中的系数为.
故选：A
例12．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．20 B． C．10 D．
【答案】D
【解析】因为,
展开式中的项是,
则展开式中的系数是.
故选:D.
变式9．（2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（ ）
A． B．240 C． D．160
【答案】C
【解析】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得，得．
∵的展开式的通项公式为，
令，则，所以其展开式中的系数为．
故选：C.
变式10．（2024·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．28 B．56 C．70 D．112
【答案】A
【解析】∵二项式的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得含的项的二项式系数为，
故选：A.
变式11．（2024·北京·高三专题练习）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】由题设，，
∴当时，.
∴含项的二项式系数.
故选：A.
【解题方法总结】
写出通项，确定r，代入．
题型五：求三项展开式中的指定项
例13．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，的系数为 .
【答案】66
【解析】由题意，表示12个因式的乘积，
故当2个因式取x，其余10个因式取1时，可得展开式中含的项，
故的系数为.
故答案为：66.
例14．（2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）展开式中含项的系数为 ．
【答案】-160
【解析】变形为，
故通项公式得，
其中的通项公式为，
故通项公式为，其中，，
令，解得，
故.
故答案为：-160
例15．（2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】因为，
设其展开式的通项公式为：，
令，
得的通项公式为，
令，
所以的展开式中，的系数为，
故答案为：
变式12．（2024·福建三明·高三统考期末）展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
【答案】
【解析】的展开式的通项为 ， ,
令,则 或，或 ，
所以常数项为，
故答案为：
变式13．（2024·江苏·金陵中学校联考三模）展开式中的常数项为 .
【答案】/6.5625
【解析】可看作7个相乘，要求出常数项，
只需提供一项，提供4项，提供2项，相乘即可求出常数项，
即.
故答案为：
变式14．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）的展开式中，的系数为 ．
【答案】30
【解析】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案．
表示5个因式的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是.
故答案为：30
变式15．（2024·广东汕头·统考三模）展开式中的系数是 .
【答案】
【解析】因为是7个相乘，
的展开式中项可以由4个项、3个项和0个常数项，或3个项、1个项和3个常数项相乘，
所以展开式中的系数是.
故答案为：.
【解题方法总结】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
例16．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）的展开式中的系数为 ．
【答案】90
【解析】的通项，
令，则；
令，则，
故的展开式中的系数为.
故答案为：90．
例17．（2024·河北保定·高三校联考开学考试）在的展开式中含项的系数是 .
【答案】
【解析】二项式展开式的通项公式为，
令，解得；令，解得.
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中含项的系数是.
故答案为：
例18．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）展开式中的系数是 .
【答案】5
【解析】由题意知项和展开式中的相乘出现项，
的通项公式为，
分别令可得项的系数为，
故展开式中的系数是，
故答案为：5
变式16．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）的展开式常数项是 .（用数字作答）
【答案】7
【解析】展开式第项，
所以展开式中常数项是：，
所以的展开式常数项是7.
故答案为：7
变式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知多项式，则 .
【答案】16
【解析】令，则，
因为的展开式的通项为，，
所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为1，
又因为的展开式的通项为，，
所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为，
所以.
故答案为：16.
变式18．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）的展开式中含项的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】展开式通项为：，
令可得展开式中含项的系数为：；
令可得展开式中含项的系数为：；
展开式中含项的系数为.
故答案为：.
变式19．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）设展开式中的常数项为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】的展开式通项为，
，
在的展开式中，令，可得，不合乎题意；
在的展开式中，，
令，可得，
所以，展开式中的常数项为，解得.
故答案为：.
变式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）展开式中的系数为 .
【答案】56
【解析】展开式中含的项为：．
故答案为：56．
【解题方法总结】
分配系数法
题型七：求二项式系数最值
例19．（2024·山东青岛·统考三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
【答案】28
【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得，
则展开式为，
可得第项的系数为，
令，即，解得，
所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为.
故答案为：28.
例20．（2024·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是 ．
【答案】
【解析】因为二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，
所以展开式中共有项，，
故展开式的通项为，
令，解得，故展开式中含的项是.
故答案为：．
例21．（2024·人大附中校考三模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为 .
【答案】/0.5
【解析】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以，二项式的通项为，令，解得， 所以展开式中项为，，解得.
故答案为：.
变式21．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则 ，展开式中含的项的系数为 ．
【答案】 6
【解析】第4项的二项式系数为且最大，根据组合数的性质得，，令，所以，则展开式中含的项的系数为.
故答案为：6；.
变式22．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 .
【答案】
【解析】由题意得，得，
所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，
所以，
故答案为：.
变式23．（2024·湖北·校联考模拟预测）在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 ．
【答案】252
【解析】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，
通项公式为，令，求得，
可得二项展开式常数项等于，
故答案为：252．
【解题方法总结】
利用二项式系数性质中的最大值求解即可．
题型八：求项的系数最值
例22．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）在的展开式中，系数最大的项为 .
【答案】
【解析】因为的通项为，的通项为，
∵展开式系数最大的项为，
展开式系数最大的项为，
∴在的展开式中，系数最大的项为.
故答案为：.
例23．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为 .（不用计算，写出表达式即可）
【答案】和
【解析】由题意可得，，所以，解得，
的展开式的通项为
令，解得，
由于，所以或12，
时，；时，，
所以展开式中系数最大的项为和.
故答案为：和
例24．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）的二项式展开中，系数最大的项为 ．
【答案】
【解析】由题意知：的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等，
因为展开式的通项为，所以时，系数最大，该项为，
故答案为：.
变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 ．
【答案】
【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第项的系数最大，
则，化简可得：
经验证可得，
则该展开式中系数最大的项为.
故答案为: .
变式25．（2024·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为 ．
【答案】5376
【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，
设展开式中项的系数最大，则
解得，
又∵，∴，
故展开式中系数最大的项为.
故答案为：5376.
变式26．（2024·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 .
【答案】210
【解析】由已知展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，
所以，即，又展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.
故答案为：210.
变式27．（2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试）若二项式展开式中第4项的系数最大，则的所有可能取值的个数为 .
【答案】4
【解析】因为二项式展开式的通项公式为
由题意可得，即，故，又因为为正整数，所以或9或10或11，故的所有可能取值的个数为4个，
故答案为：4.
【解题方法总结】
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
例25．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项的系数的和为
C．展开式中所有偶次项的系数的和为
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，的展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，则，
，
所以展开式中所有奇次项的系数的和为，
展开式中所有偶次项的系数的和为，故B错误，C正确；
对于D，，，故D正确.
故选：ACD.
例26．（多选题）（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，得到，故A正确；
对于B，的通项公式为，
令，得到，
令，得到，
所以，故B错误；
对于C，令，得到，故C正确；
对于D，令，则，又因为，
两式相减得，则，故D正确.
故选：ACD
例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，则，所以A正确，
对于B，令，则，
因为，所以，所以B错误，
对于C，令，则，
因为，
所以，
所以，所以C正确，
对于D，令，则，
因为 ，所以，所以D正确，
故选：ACD.
变式28．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】令，可得，A正确.
，所以，B正确.
令，可得①，则，C正确.
令，可得②，①－②可得，
所以，D错误.
故选：ABC.
变式29．（多选题）（2024·山东日照·三模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由，
令得，故A正确；
由的展开式的通项公式，
得，故B错误；
令，得①，
再由，得，故错误；
令，得②，
①-②再除以2得，故D正确.
故选：AD
变式30．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，令得，故B错误；
对于C，令得①，
令 得，②，
由①+②再除以2可得，故C正确；
对于D，令得①，
令 得，②，
①-②再除以2可得，故D正确．
故选：ACD．
变式31．（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由，令得，故A正确；
由的展开式的通项公式，得，故B错误；
令，得①，再由，得，故C错误；
令，得②，①②再除以2得，故D正确；
故选：AD
变式32．（多选题）（2024·全国·校联考三模）若在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】令，则，故A错误；
令，则，故B正确；
由题可得，故C错误；
由题，故D正确．
故选：BD.
变式33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，若，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令，则，已知式变为，
解得，
，，
，
，
令，则有，
两边对求导得，
再令得，
所以，
故选：BCD．
变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由等式右边最高为项，且不含项，则且，即，故A错误，B正确；
所以.
C：等式两边同乘，原等式等价于，令，则，正确；
D：，可得：，令，则，错误；
故选：BC
变式35．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）已知，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，令，则，A正确；
对于B，展开式通项为：，
展开式通项为：，
展开式通项为：，
令，则，又，，，
或，，B错误；
对于C，令，则；
令，则；
两式作和得：，，
又，，C错误；
对于D，，，
，
令，则，D正确.
故选：AD.
变式36．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令，则，即，故A正确；
令，则，
令，则，
则，故B正确；
，则，令，则，故C错误；
由两边求导，
得，
令，则，故D正确.
故选：ABD.
变式37．（多选题）（2024·广西柳州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，
令，得，故A正确；
展开式的通项为 ，则，故B错误；
令，得，故C正确；
展开式的通项为，则，其中且，
当为偶数时，；当为奇数时，，
令，可得，故D正确.
故选：ACD.
变式38．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】当时，，故A对；
，B对；
令，则，
∴，故C错；
对等式两边求导，
即
令，则，
∴，故D对，
故选：ABD．
【解题方法总结】
二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．
题型十：求奇数项或偶数项系数和
例28．（2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）设，则 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】因为，
令，则①，
令，则②，
∴①－②得，
所以，
故答案为：
例29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式， 则 .
【答案】
【解析】依题意，令，得到：，令，得到：
，两式相加可得：，故.
故答案为：
例30．（2024·新疆·高三八一中学校考开学考试）已知，若，则 ．
【答案】1
【解析】令，可得，所以．
令，得；
令，得，
两式相减求得．
故答案为：1.
变式39．（2024·全国·模拟预测）在的展开式中，的所有奇次幂的系数和为，则其展开式中的常数项为 ．
【答案】
【解析】设，
令得：；令得：；
两式作差得：，，
；
令得：，即展开式的常数项为.
故答案为：.
变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为 ．
【答案】78
【解析】令，可得，
令，可得 ①
令，则②
所以②①可得：，
所以，即
故答案为：
变式41．（2024·安徽·高考真题）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 ．
【答案】－256
【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，
两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，
两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，
则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，
所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
故答案为：－256
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，则 ．
【答案】255
【解析】设，且奇次项的系数和为，偶次项的系数和为，
则，，由已知得．
令，得，
即，即，
所以，所以．
所以．
故答案为：
变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为 .
【答案】313
【解析】令求得，再令求得，两者结合可得结论．令得，令得，
∴．
故答案为：313．
【解题方法总结】
，令得系数和：①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
题型十一：整数和余数问题
例31．（2024·河北·高三校联考期末）除以1000的余数是 ．
【答案】24
【解析】因为
，
所以除以1000的余数是：.
故答案为：24
例32．（2024·全国·高三专题练习）若，则被5除所得的余数为 ．
【答案】1
【解析】由题知时，， ，
故
所以被5除得的余数是1.
故答案为：1.
例33．（2024·浙江金华·模拟预测）除以100的余数是 ．
【答案】1
【解析】
，
,
由于是100的倍数，
故除以100的余数等于，
故答案为：1
变式44．（2024·辽宁沈阳·统考一模）若，则被5除的余数是 ．
【答案】4
【解析】由题知，时，①，
时，②，
由①＋②得，，
故，
所以被5除的余数是4.
故答案为：4.
变式45．（2024·全国·高三专题练习）写出一个可以使得被100整除的正整数 .
【答案】1（答案不唯一）
【解析】由题意可知，
将利用二项式定理展开得
显然，能被100整除，
所以，只需是100的整数倍即可；
所以，得
不妨取，得.
故答案为：1
变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知能够被15整除，其中，则 .
【答案】14
【解析】
，
所以，
因为是的整数倍，
所以能够被15整除，
要使能够被15整除，
只需要能够被15整除即可，
因为，
所以.
故答案为：14.
题型十二：近似计算问题
例34．（2024·全国·高三专题练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
【答案】1.105
【解析】
.
故答案为：1.105
例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习） （精确到0.01）
【答案】30.84
【解析】原式
故答案为：30.84．
例36．（2024·全国·高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是 .
【答案】
【解析】根据二项式定理可得：
,
故答案为：
变式47．（2024·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【解析】
故答案为：
变式48．（2024·全国·高三专题练习） （小数点后保留三位小数）．
【答案】1.172
【解析】，
由二项展开式的性质易知，远小于，依次类推，
故.
故答案为：1.172.
题型十三：证明组合恒等式
例37．（2024·全国·高三专题练习）求证：
【解析】构造发生函数，
由此易发现，中所对应的系数应为恒等式的左端．
所以，
所以
，
所以，
由此可得，所对应的项的系数为，
既左边等于右边，则恒等式成立．
例38．（2024·全国·高三专题练习）证明：．
【解析】取函数，，则：
①，
②，
将②用替换n，有：．其中的系数为．
将①，②对应相乘，根据上述形式幂级数乘法定义有：，
其中的系数为，由展开式的唯一性有：，，
因此可得：．
例39．（2024·全国·高三专题练习）证明：．
【解析】由中n取，可得；
由两边同乘或除得：．
将以上两等式两边对应相加可得：．
而等式左边，
所以有．
变式49．（2024·全国·高三专题练习）求证：.
【解析】左边=
=1=右边.
即证.
变式50．（2024·全国·高三专题练习）（1）设、，，求证：；
（2）请利用二项式定理证明：.
【解析】证：（1）；
（2）当，时，
,
所以结论成立.
变式51．（2024·江苏·校联考模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.
（1）根据恒等式两边的系数相同直接写出一个恒等式，其中；
（2）设，利用上述恒等式证明：.
【解析】（1），
等式左边的系数为，
右边的系数这样产生：
中的1与中的的系数的的积，即，
中的系数与中的系数的的积，即，
中的系数与中的系数的的积，即，
中的系数与中的系数的的积，即，
中的系数与中的系数的的积，即，
所以.
（2）当，且时，，
由（1）得
左边=，
，
，
，
右边，
所以.
题型十四：二项式定理与数列求和
例40．（2024·北京·高三强基计划）设n为正整数，为组合数，则（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】D
【解析】解法一 设题中代数式为M，则
．
解法二 设题中代数式为M，倒序相加可得，
于是．
故选：D.
例41．（2024·全国·高三专题练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，两边求导得，
，两边乘以后得，
，两边求导得，
，
取得.
故选：A
例42．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，两边同时除以x，
得，
又
展开式中的系数为，
所以，
所以．
故选：A．
变式52．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，
当时，，
于是得
.
故选：B
变式53．（2024·湖南邵阳·高三统考期末）已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，展开式中的系数为，
∴则
，
故选：B．
变式54．（2024·北京·高三强基计划）设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用二项式定理可求平均值或者就的取值分类讨论后可求平均值.
解法一 分别计算1，2，3，4的“价值”，可得所求平均值为
．
解法二 按的取值分类．
N 总数
1 4
2 84
3 144
4 24
于是所求平均值为．
故选：C.
题型十五：杨辉三角
例43．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
【答案】BCD
【解析】对于A，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错；
对于B，由二项式系数的性质知，B对；
对于C，由于故C正确；
对于D，取，则，
因为，所以数列为公差为的等差数列，D对.
故选：BCD.
例44．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）

A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
【答案】BC
【解析】对于A：第行是二项式的展开式的系数，
所以第行中第个数最大，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：第行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为，
所以第个数为，第个数为，所以第个数与第个数之比为，故C正确；
对于D：第行是二项式的展开式的系数，故第行的所有数字之和为，故D错误；
故选：BC
例45．（多选题）（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．记“杨辉三角”第行的第i个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
【答案】AC
【解析】A：所以本选项正确；
B：第2022行是二项式的展开式的系数，故第2022行中第个数最大，所以本选项不正确；
C：“杨辉三角”第行是二项式的展开式系数，
所以，
，
因此本选项正确；
D：第34行是二项式的展开式系数，
所以第15个数与第16个数之比为，因此本选项不正确，
故选：AC
变式55．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：、、、、、、、、、、，其前项和为，则下列说法正确的有（ ）（参考公式：）
A． B．第一次出现是
C．在中出现了次 D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，且，
故在第行第个，则，A对；
对于B，因为第行最后一个数为，该数为奇数，由，可得，
所以，第一次是出现在第行倒数第个，
因为，即第一次出现是，B错；
对于C，因为第一次是出现在第行倒数第个，在第行至第行，在每行中各出现一次，
故在中出现了次，C对；
对于D选项，设第行的数字之和为，则，
故
，D对.
故选：ACD
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第87讲 二项式定理
知识梳理
知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
知识点3、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
必考题型全归纳
题型一：求二项展开式中的参数
例1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
例2．（2024·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
例3．（2024·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中第3项是常数项，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题方法总结】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
题型二：求二项展开式中的常数项
例4．（2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
例5．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120
例6．（2024·北京房山·高三统考开学考试）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）的展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．20 C．－10 D．10
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中存在常数项，则（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·全国·高三对口高考）若展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．12 D．10
【解题方法总结】
写出通项，令指数为零，确定，代入．
题型三：求二项展开式中的有理项
例7．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，有理项的系数为（ ）
A． B． C．5 D．10
例8．（2024·全国·高考真题）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
例9．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85 B．29 C． D．
变式6．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式展开式中，有理项共有（ ）项．
A．3 B．4 C．5 D．7
变式7．（2024·安徽宣城·高三统考期末）在二项式的展开式中，有理项共有（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
变式8．（2024·全国·高三专题练习）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【解题方法总结】
先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
例10．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4 B．84 C．―280 D．560
例11．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A．270 B．240 C．210 D．180
例12．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．20 B． C．10 D．
变式9．（2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（ ）
A． B．240 C． D．160
变式10．（2024·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．28 B．56 C．70 D．112
变式11．（2024·北京·高三专题练习）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【解题方法总结】
写出通项，确定r，代入．
题型五：求三项展开式中的指定项
例13．（2024·全国·高三专题练习）在的展开式中，的系数为 .
例14．（2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）展开式中含项的系数为 ．
例15．（2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
变式12．（2024·福建三明·高三统考期末）展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
变式13．（2024·江苏·金陵中学校联考三模）展开式中的常数项为 .
变式14．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）的展开式中，的系数为 ．
变式15．（2024·广东汕头·统考三模）展开式中的系数是 .
【解题方法总结】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
例16．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）的展开式中的系数为 ．
例17．（2024·河北保定·高三校联考开学考试）在的展开式中含项的系数是 .
例18．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）展开式中的系数是 .
变式16．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）的展开式常数项是 .（用数字作答）
变式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知多项式，则 .
变式18．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）的展开式中含项的系数为 ．（用数字作答）
变式19．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）设展开式中的常数项为，则实数的值为 .
变式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）展开式中的系数为 .
【解题方法总结】
分配系数法
题型七：求二项式系数最值
例19．（2024·山东青岛·统考三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
例20．（2024·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是 ．
例21．（2024·人大附中校考三模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为 .
变式21．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则 ，展开式中含的项的系数为 ．
变式22．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 .
变式23．（2024·湖北·校联考模拟预测）在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 ．
【解题方法总结】
利用二项式系数性质中的最大值求解即可．
题型八：求项的系数最值
例22．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）在的展开式中，系数最大的项为 .
例23．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为 .（不用计算，写出表达式即可）
例24．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）的二项式展开中，系数最大的项为 ．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 ．
变式25．（2024·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为 ．
变式26．（2024·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 .
变式27．（2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试）若二项式展开式中第4项的系数最大，则的所有可能取值的个数为 .
【解题方法总结】
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
例25．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项的系数的和为
C．展开式中所有偶次项的系数的和为
D．
例26．（多选题）（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式28．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式29．（多选题）（2024·山东日照·三模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式30．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式31．（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知．则（ ）
A． B．
C． D．
变式32．（多选题）（2024·全国·校联考三模）若在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，若，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式35．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）已知，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
变式36．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
变式37．（多选题）（2024·广西柳州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式38．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．
题型十：求奇数项或偶数项系数和
例28．（2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）设，则 ．（用数字作答）
例29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式， 则 .
例30．（2024·新疆·高三八一中学校考开学考试）已知，若，则 ．
变式39．（2024·全国·模拟预测）在的展开式中，的所有奇次幂的系数和为，则其展开式中的常数项为 ．
变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为 ．
变式41．（2024·安徽·高考真题）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 ．
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，则 ．
变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的值为 .
【解题方法总结】
，令得系数和：①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
题型十一：整数和余数问题
例31．（2024·河北·高三校联考期末）除以1000的余数是 ．
例32．（2024·全国·高三专题练习）若，则被5除所得的余数为 ．
例33．（2024·浙江金华·模拟预测）除以100的余数是 ．
变式44．（2024·辽宁沈阳·统考一模）若，则被5除的余数是 ．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）写出一个可以使得被100整除的正整数 .
变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知能够被15整除，其中，则 .
题型十二：近似计算问题
例34．（2024·全国·高三专题练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习） （精确到0.01）
例36．（2024·全国·高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是 .
变式47．（2024·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
变式48．（2024·全国·高三专题练习） （小数点后保留三位小数）．
题型十三：证明组合恒等式
例37．（2024·全国·高三专题练习）求证：
例38．（2024·全国·高三专题练习）证明：．
例39．（2024·全国·高三专题练习）证明：．
变式49．（2024·全国·高三专题练习）求证：.
变式50．（2024·全国·高三专题练习）（1）设、，，求证：；
（2）请利用二项式定理证明：.
变式51．（2024·江苏·校联考模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.
（1）根据恒等式两边的系数相同直接写出一个恒等式，其中；
（2）设，利用上述恒等式证明：.
题型十四：二项式定理与数列求和
例40．（2024·北京·高三强基计划）设n为正整数，为组合数，则（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
例41．（2024·全国·高三专题练习）（ ）
A． B． C． D．
例42．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A． B． C． D．
变式52．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
变式53．（2024·湖南邵阳·高三统考期末）已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式54．（2024·北京·高三强基计划）设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（ ）
A． B． C． D．
题型十五：杨辉三角
例43．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
例44．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）

A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
例45．（多选题）（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．记“杨辉三角”第行的第i个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
变式55．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：、、、、、、、、、、，其前项和为，则下列说法正确的有（ ）（参考公式：）
A． B．第一次出现是
C．在中出现了次 D．
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