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第61讲 圆中的范围与最值
知识梳理
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
必考题型全归纳
题型一：斜率型
例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点在圆上运动，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，最小值为；
C．的最大值为，最小值为；
D．的最大值为，最小值为；
【答案】BC
【解析】（1）设，整理得，则表示点与点连线的斜率．
当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得，
所以的最大值为，最小值为；
（2）设，整理得，则表示直线在轴上的截距．
当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得，
的最大值为，最小值为．
故选：BC.
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知为圆：上任意一点，则的最大值为 .
【答案】
【解析】
由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，
设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得，
故的最大值为.
故答案为：.
变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知为圆C：上任意一点，且点．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【解析】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，
即，
与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为；
（2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.
可设，则C到其距离为，解得，
故最大值为，最小值为
（3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1.
题型二：直线型
例4．（2024·全国·高三专题练习）点是圆上的动点，则的最大值是 .
【答案】
【解析】由，则，当且仅当时等号成立，
∴的最大值是.
故答案为：.
例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【解析】由，令，则，
所以当时，的最大值为.
故选：A
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆：经过点，
．又，所以，
可看成是直线在轴上的截距.如图所示，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，
所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为.
故选：C．
题型三：距离型
例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为
【答案】/
【解析】由题可知,
不妨设：
所以有，
因为
得，整理得，得，
显然，得，解得：
有=
因为，
所以当时，有最大值为
故答案为：
例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知为圆上任意一点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，求的最大值和最小值．
【解析】（1）因为，即在圆外，
圆的圆心，半径，
，
因为，即，
所以的最大值为，最小值为；
（2）圆的圆心，半径，
令可得，即圆和直线总有公共点求的最大值和最小值，
即，解得，
所以的最大值为，最小值为；
（3），
令，
当即时，
此时点在圆外，所以，求的最大值和最小值转化为求
圆与圆总有公共点求的最大值和最小值，而
两圆心的距离为，
当两圆外切时，解得，此时，
当两圆内切时，两圆心的距离，所以只能圆在圆的内部，
所以，解得，此时，
所以的最大值为，最小值为．
例9．（2024·高一课时练习）已知点在直线上运动，求的最小值及取得最小值时点的坐标．
【解析】因为，可看作定点与直线上任意一点距离的平方，所以距离最小值即是点到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得最小值为；
此时直线与直线垂直，所以直线的方程为，即，
由得，即.
故的最小值为，此时点P的坐标为.
变式2．（2024·高二课时练习）已知点在直线上运动，则取得最小值时点的坐标为 ．
【答案】
【解析】转化为直线上的点到点的距离的平方，
又点到直线的距离最小，
过点且与直线垂直的直线为
因此两直线联立，，解得
故点的坐标为
变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知为圆上任意一点．则的最大值为
【答案】/
【解析】圆即，
故圆心，半径为，
又表示圆C上的点M到点的距离，
故其最大值为，
故答案为：
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
所以对任意都恒成立，
所以.
不妨设又.
当，设，
所以，
所以，
所以，
所以对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
所以可以看成是到的距离，
所以的最小值为.
当时，同理可得的最小值为1.
故选：A
变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．22 B．26 C．30 D．32
【答案】C
【解析】设点,点在圆上运动,满足,且,
当时,取得最大值是;
故选:.
题型四：周长面积型
例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最大值为 ，最小值为 .
【答案】
【解析】因为两点，，
所以直线的方程为：，即，，
圆，其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离最大值为，距离最小值为，
所以面积的最大值；
面积的最小值.
故答案为：；.
例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有，，
因此有，
要想四边形周长最小，只需最小，即当时，
此时，此时，
即最小值为，
故选：A
例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线：与圆：相交于不同两点，，位于直线异侧两点，都在圆上运动，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆：可以化为标准方程，
则其圆心为，半径，
则直线与圆心的距离，
故由勾股定理可得半弦长为，
所以.
又，两点位于直线异侧且都在圆上运动，
所以四边形的面积可以看作是和的面积之和，
则当为弦的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大，
即四边形的面积最大，
最大面积.
故选：A.
变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为
【答案】
【解析】由圆，得到圆心，半径
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形的面积的最小值为；
故答案为：
变式7．（2024·高二课时练习）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：，
于是点到直线：的距离，而点在圆上，
因此点到直线距离的最大值为，又，
所以面积的最大值为.
故选：D
题型五：数量积型
例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是 .
【答案】24
【解析】设圆的圆心为，则，椭圆的右焦点坐标也为，
且是圆的一条直径，因此
，
因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，
所以，所以，
即，所以的最大值为24.
故答案为：24.
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则
所以得，所以，，
所以直线方程为，圆的方程为，所以，，
的中点，
则
因为，
所以
故，所以的最大值为
故答案为：
例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点，点为圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】
【解析】圆的标准方程为：，圆心为，半径为，
，
当点动到点时，取得最大值，即为在上的投影，
.
故答案为：.
变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知：等于与在上的投影的乘积，
故当在上的投影最大时，数量积最大，此时点在以为圆心的圆的最上端处，此时投影为，故数量积为，
故当在上的投影最小时，数量积最小，此时点在以为圆心的圆的最下端处，此时投影为，故数量积为,
故，
故选：A
变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
A．. B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
可得为与在方向上的投影之积.
正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，
过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的
切线与圆切于点N与延长线交点为，
则在方向上的投影最小值为，最大值为,
又，，
则，
则的取值范围是.
故选：A
变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记圆心为，则，
因为互为相反向量，
所以，
因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心，
所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2，
当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时.
所以.
故选：B
题型六：坐标与角度型
例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（ ）
A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
【答案】B
【解析】
如图所示，当与圆相切时对应的最大和最小，设最小时切于，最大时切于，
由，可得，所以，同理得
由点，，可知，
所以，
.
故选：B.
例17．（2024·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 .
【答案】
【解析】
如图圆，在直线上，
若圆存在点，使得，
当在直线上运动，极端情况，与圆相切，.
在中，，所以.
所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点.
符合条件的点在线段之间.
所以或.
故的取值范围为.
故答案为：
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点在圆上，,
则，
如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点.
故选：C
变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可化为，
故圆N的圆心为，半径为，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以且，故，
当的坐标为时，，
在△NAB中，，
又，在上单调递减，
故为锐角，且当时，最大，
又在上单调递增，
所以当最大时，取得最大值，且最大值为，
故选：D
变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，
，当且仅当时取等号，即，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆，圆是以圆上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆与圆交于，两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，．如图所示：
当公共弦最大，即为圆的直径时，
最大，又可得为锐角，即取得最大值．
此时，则．
故选：D
题型七：长度型
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】作出点A关于直线的对称点，如图：
设点，则有，解得，即，而C(2，0)
由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离满足(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取“=”)，
连接交直线于点O，P为直线上任意一点，连(线段PC交圆C于点Q)，
则，当且仅当点P在线段上，即与点O重合时取“=”，
所以的最小值为3.
故答案为：3
例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍.
由题可知，为等边三角形，则，
∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故点到直线的最大距离为，
∴的最大值为，
∴的最大值为＝.
故答案为：.
例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最大值为 .
【答案】15
【解析】注意到，
则，又，
则，又由垂径定理可知，，则.
故P点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆.
注意到，表示P到直线距离的5倍，又圆上一点到距离的最大值为：，
则的最大值为15.
故答案为：15
变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数满足，，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】设圆，直线，，，
则，都在圆上，
∵，
，
∴△MON是等边三角形，∴．
表示和到直线的距离和，
由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．
取、的中点，过作，垂足为，则，
∵为等边三角形，为的中点，∴，
则在圆上运动，
则当MN∥l时，到直线距离的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：
变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为
【答案】
【解析】如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
.
故答案为：.
变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，知：且，即圆的半径为4，
∴圆：，
如上图，坐标系中则，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共线且最大值为的长度.
∴.
故选：A
变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得，
由，得.
因为，所以或.
当时，；当时，.
所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.
根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.
故选：B.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）在中，，，点在内部，，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】因为，，所以.
在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：.
如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以，.
所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）.
因为点在内部，所以（其中满足，）.
所以
因为满足，，所以，
所以当时最小.
故答案为：2
变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，
则 ，解得：，
故圆B的圆心为，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为：，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为
故选：D.
题型八：方程中的参数
例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，，
故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设，
则，又，
故，则，其中，
显然当时，取最大值.
故选：D.
例23．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点，因为，所以，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为
则面积的最大值为.
故选：.
例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
变式20．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，连接、，则、，所以四边形对角互补，则、、、四点在以为直径的圆上.
设，则该圆的圆心为，半径为，则该圆的方程为
，又该圆和圆的交点弦即为，故直线所在的方程为，整理得，又因为点在直线上，故，即点的轨迹为，又因为的坐标为，因为，所以在圆上运动，故的最小值为到直线的距离减去半径，即，即的最小值为.
故答案为：
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知识梳理
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
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例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点在圆上运动，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，最小值为；
C．的最大值为，最小值为；
D．的最大值为，最小值为；
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知为圆：上任意一点，则的最大值为 .
变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知为圆C：上任意一点，且点．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
题型二：直线型
例4．（2024·全国·高三专题练习）点是圆上的动点，则的最大值是 .
例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
题型三：距离型
例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为
例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知为圆上任意一点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，求的最大值和最小值．
例9．（2024·高一课时练习）已知点在直线上运动，求的最小值及取得最小值时点的坐标．
变式2．（2024·高二课时练习）已知点在直线上运动，则取得最小值时点的坐标为 ．
变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知为圆上任意一点．则的最大值为
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．22 B．26 C．30 D．32
题型四：周长面积型
例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最大值为 ，最小值为 .
例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线：与圆：相交于不同两点，，位于直线异侧两点，都在圆上运动，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为
变式7．（2024·高二课时练习）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
题型五：数量积型
例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是 .
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为 ．
例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点，点为圆上的动点，则的最大值为 .
变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
A．. B． C． D．
变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
题型六：坐标与角度型
例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（ ）
A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
例17．（2024·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 .
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆，圆是以圆上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆与圆交于，两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型七：长度型
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为 .
例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为 .
例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最大值为 .
变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数满足，，则的最大值为 .
变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为
变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）在中，，，点在内部，，则的最小值为 ．
变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型八：方程中的参数
例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
例23．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式20．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为
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