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第70讲 弦长问题
知识梳理
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
必考题型全归纳
题型一：弦长问题
例1．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ．
【答案】/
【解析】设直线，
直线与圆相切，
，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
所以，因为，
所以，
由对称性，不妨取，
故答案为：.
例2．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
【答案】
【解析】在椭圆中，，，则，故点，
设点、，由题意可知，直线的方程为，即，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
所以，.
故答案为：.
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 ．
【答案】6
【解析】如图，连接，
因为的离心率为，所以，即，
所以，
因为，所以为等边三角形，
又，所以直线为线段的垂直平分线，
所以，，
则的周长为，
，
而，所以直线的方程为，
代入椭圆的方程，得，
设，，则，
所以，
故答案为：6.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
【答案】
【解析】双曲线双曲线：的渐近线方程为，
而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，
与双曲线方程联立，化简可得，
由，得或．
设，，则，，
则，所以，
，解得：（舍去）或，
所以直线的方程为，令，可得.
故点P的坐标为.
故答案为：.
变式2．（2024·贵州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则 .
【答案】
【解析】因为，设，，
由双曲线定义可得，所以，
即，，即.
故答案为：.
变式3．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
【答案】
【解析】如图，由题意可知轴，，
将代入中得，即,
又，则，故的方程为，联立，
可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则，故，
故答案为：.
变式4．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 ．
【答案】8
【解析】由题意得，，当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线的方程为，不妨设，
联立，可得，易得，
设，则，
则，
则，
，
由正弦定理得，，
因为，，
所以，，即，
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，解得，
则，解得，
故，
当时，同理可得到.
故答案为：8
变式5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【解析】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有，
又因为离心率为2，
所以有代入中，可得，
∴C的标准方程为：；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：
，
设，则有，
变式6．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以抛物线的方程为.
（2）如图，
设，.
将代入，
消去整理得 .
当时，
， .
，
化简得：，解得，
经检验，此时，故.
题型二：长度和问题
例4．（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．
【解析】（1）由两圆的方程知：圆心分别为，，即，，
，解得：，.
（2）由题意知：；
，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长，
设，其与椭圆交于点和
由得：，则
，，
，
当时，取得最小值，的最小值为.
例5．（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．
(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；
(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．
【解析】（1）设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，，
所以为关于的方程的两根，
所以，．
又点在椭圆上，
所以，
所以．
（2）由椭圆，得其离心率，
所以当，即时，椭圆的标准方程为，
所以，，，恰好为椭圆的左、右焦点，
易知直线的斜率均存在且不为，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为．
由，得，
设，则，，
所以
，
同理可得，
所以．
例6．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
【解析】（1）的周长为，由椭圆的定义得，即，
又面积的最大值为2，，即，
，，，解得，
椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，，椭圆的离心率，
设椭圆的方程为，则有，，解得，
椭圆的标准方程为，
设，，，点在曲线上，，
依题意，可设直线，的斜率分别为，
则的方程分别为，，
于是，
联立方程组，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，
，，
为定值.
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
【解析】（1）∵，所以.
设椭圆方程为，将代入，得.
故椭圆方程为.
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
易得其中一条弦为长轴，另一条弦长为椭圆的通径为，即；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：
，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，则，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
综合②可知，的取值范围为.
题型三：长度差问题
例7．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：将点代入，得，即．
联立得，
由，设，，则，．
因为，所以恒成立，则，
所以的方程为，故直线过定点．
（2）联立得，则
且，即，
，
设，同理可得．
因为直线在的右侧，所以，则，即．
所以，即，解得，
因为，所以满足条件的存在，.
例8．（2024·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为椭圆：的右焦点F，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且，求直线l的方程.
【解析】（1）由抛物线可知：，
故由得：，故，则，
则对于有：，解得，
故椭圆方程为：；
（2）过点的直线的斜率不存在时，，，，
所以直线在点的右侧，与两曲线的交点顺序变成A，B，D，C的顺序，
不满足题意，如下图；
所以过点的直线的斜率存在，
故设直线的斜率为k，则直线方程为，
联立抛物线方程：，整理得： ，
设 ，则，
故 ，
联立，整理得，
设，则，
则
，
又，
即，整理得 ，
解得，因为，，而，
且A，B，C，D依次排序，所以，如下图，
故，故直线的方程为.
综上，直线的方程为.
题型四：长度商问题
例9．（2024·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设，其渐近线方程为，
因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
所以，
因为双曲线的离心率是，
所以，，解得
所以，双曲线的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，
直线.
联立整理得，
所以，.
故.
设直线的斜率为，同理可得.
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，所以，
则，即，
所以.
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
【解析】（1）因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标，圆C半径为，
则，，
所以<4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为；
（2）设直线为，
联立，消去y得：，
所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，
，
直线GP的方程为:，
，
所以，
所以=1.
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得，
解得
故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得，
此时有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因为，故.
因为，故，
故实数的取值范围是.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
【解析】（1）设双曲线方程为
由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为代入
整理得，设
所以：
由弦长公式得：
设AB的中点
则， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得，即，所以：为定值.
变式9．（2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.
【解析】（1）由，得，
又的周长为，即，
，
椭圆的标准方程为.
（2）设，
当直线的斜率为0时，得；
当直线的斜率不为0时，设直线，直线，
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，
.
由根与系数的关系得，
所以.
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，由根与系数的关系得，
，
所以.
令，则
不妨设
，
，
，
，
综上可得，的取值范围为.
变式10．（2024·陕西·统考一模）在椭圆C：，，过点与的直线的斜率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．
【解析】（1）过点与的直线的斜率为，所以，即，
又，即，解得，．
所以椭圆C的标准方程是．
（2）如图所示，
由题知，设点，则直线FP的斜率为．
当时，直线MN的斜率，直线MN的方程是；
当时，直线MN的方程是，也符合的形式，
将直线MN的方程代入椭圆方程得，且，
设，，则，，
所以
．
又，令，则，
当且仅当，即时等号成立，由，解得，
即当时取最大值时，此时直线MN的方程为或．
变式11．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆）中，，过点与的直线的斜率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的右焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于两点，求的最大值.
【解析】（1）过点与的直线的斜率为，
所以，即，
又，即，解得，
所以椭圆的标准方程是.
（2）由题知，作出图形如图所示
设点，则直线的斜率为.
当时，直线的斜率，直线的方程是；
当时，直线的方程是，也符合的形式，
将直线的方程代入椭圆方程得
，且，
设，则.
所以
又，令，则
，
当且仅当，即时等号成立，
由，解得，
所以的最大值为.
变式12．（2024·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
【解析】（1）由题意设，由点到直线距离公式得
，，
∴，
∴，又∵垂足位于第一象限，
垂足位于第四象限，，
∴的轨迹方程为.
（2）由对称性，不妨设在第一象限，设，则，
设直线的斜率为，记，由为的角平分线，
则有，
其中，，，，
∴，
同理得：，代入中，
∴，化简得：.
将代入，中，
解得：，，
∴，，
设直线的方程为，将代入，
解得：，
∴直线的方程为，，
由点到直线距离公式得：.
由直线的斜率为，设直线的方程为，
将点代入，解得：，
∴直线的方程为，将其与联立得：
，
设，则，，
由可知，，
由均值不等式，，
当且仅当，即时，等号成立，
∵，故，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴的最大值为.
变式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点．且，P为椭圆上一点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，若的中点为为坐标原点，直线交直线于点．求的最大值．
【解析】（1）依题意，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，
，，，
设，则，
，
.
.
的中点为，则，即，
直线的方程为，
令，得，即，
而，所以，
所以，
令，则，
则，
当且仅当时等号成立.
所以的最大值为.
变式14．（2024·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可设直线的方程为：，，
联立抛物线方程，
所以，
又，
化简得，
解之得，即直线为：，显然过定点；
（2）由抛物线，
则点的切线方程分别为，
易知，联立切线方程可得，
结合（1）可知，∴，
故，，
由弦长公式及（1）可得，
所以，
易知，
即的取值范围为.
变式15．（2024·四川绵阳·统考三模）过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值.
【解析】（1）由题意直线l的斜率 ，所以l得方程为 ，
联立方程 ，解得 ， ，
由弦长公式得： ，
，解得 ， 抛物线方程为 ；
（2）由（1）知：抛物线方程为，设 ，直线l的方程为 ，显然 时存在的，
如图：
联立方程 ，得 ， ，① ，
直线MB的方程为： ，即 ，
， ②，
直线PN的方程为： ，
令 得 ， ，
， ，
由①②得： ；
综上，抛物线方程为， .
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．
【解析】（1）因为点，在抛物线C：上，
所以，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义得：，解得，即抛物线C的方程为；
（2）由题意可设，，，
因为，所以，即，
故，整理得，
设点，同理可得，
则直线AB方程为：，
令得，即点，
因为直线NF与直线AB垂直，
所以直线NF方程为：，
令得，即点，
∴，
当且仅当时，时上式等号成立，
联立，得，
∴，，，
，
∴．
变式17．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
【解析】（1）由题意得，设F关于直线的对称点为，则，解得，
∴抛物线E的标准方程为．
（2）由可得，设，，则，，
∴，
，∴线段AB的中点坐标为，则线段AB的垂直平分线方程为，令，得，故，
又，得．
∴，令，
则，，∴，
易知函数在 上单调递增，∴当时，取得最小值，
此时，故的最大值为．
变式18．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为2p．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
【解析】（1）由题意， ，又 ， ，
抛物线方程为： ，椭圆方程为 ；
（2）由（1）知： ，由题意 的斜率不为0，
设直线 的方程为： ，直线 的方程为： ， ，
联立方程 ，得： ，
；
联立方程 ，得 ，
，
又点P是 的交点， ，得 ，
点P在抛物线上， ， ， ，
，考察函数 ，
是增函数， ，
，即最大值为 ；
综上，抛物线方程为： ，椭圆方程为， 的最大值为 .
题型五：长度积问题
例12．（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
(1)求的方程；
(2)证明：．
【解析】（1）由题意知，将代入，解得，
所以当与轴垂直时，，所以，
故抛物线的方程为．
（2）
证明：法一：根据题意知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立得，
所以，，．
对求导，得，
所以，所以．
由得所以．
当时，根据对称性得，，所以；
当时，，所以，
所以，所以，即．
综上，．
法二：根据题意知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立得，所以，，．
对求导，得，由得所以．
因为，，
所以．
又，所以．
例13．（2024·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设直线的方程为，，
由得，
则，
，
，
又，
所以，
又，
所以，
所以抛物线方程为；
（2）由（1）可知：，
所以，
设，
由得，
则，
所以，
若是与的等比中项，
则，
即，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
所以方程无解，
所以不存在直线，使得是与的等比中项．
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆截得的弦长为，可得．
又，，解得：，，，
椭圆的方程为．
（2）由（1）可得：圆的方程为：．
设，则以为直径的圆的方程为：，
与相减可得：直线的方程为：，
设，，，，联立，化为：，
，则，，
故．
又圆心到直线的距离，
，
，
令，则，
，可得，可得：．
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.
【解析】（1）由题意知，，得，
当轴时，设，
代入椭圆方程，得，解得，即，
由椭圆的定义知，，又，
所以，由，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为，此时点P与点Q重合，等式成立；
当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；
当切线斜率存在时，设，
由，得，则，
所以切线的斜率为，得切线方程为，
即，
整理得，
即，所以切线方程为，
令，得，即，
由(1)知，，
则，
，
又，得，
所以，
，
所以，即，即证.
变式20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点作轴的垂线，与交于两点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，，交于点，求的取值范围．
【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，即①，
将代入椭圆方程得，则，
由，得，即②，
由①②并结合，得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，，所以；
②当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，此时，，所以；
③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为（），
联立，整理得．
设，，
则，，
所以
．
因为，所以可用替换表达式中的得，
所以．
令，因为，所以，，，
所以，
因为， 则，所以；
综上所述：的取值范围为．
变式21．（2024·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
【解析】（1）根据题意可得解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）
由(1)得，设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，
，,
，
，
因为以为直径的圆过点A，故，所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或舍去，
当时，，且，点A到MN的距离为，
所以，
化简得，
令，则，
，
由对勾函数的单调性知，在上单调递增，
即时取得最小值，此时.
变式22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【解析】（1）由椭圆的焦距为2，故，则，
又由椭圆经过点，代入得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，
由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设，，且，
设存在点，设点坐标为，由，可得，
又因为，
所以，所以，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合题意，即存在点满足题意．
题型六：长度的范围与最值问题
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点作垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．
【解析】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得 ①
由与关于轴对称，可得与的公共点为，
可得②
由①②解得，，
即有椭圆的方程为；
（2）设，，代入椭圆方程，可得，
设，，，，则，，
即有 ，
由为中点，可得，又的斜率为，
即有 ，令，可得，
即有
可得
又
，
即有 ，
由，可得 ，
即有 ，
则有的取值范围为．
例16．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．
【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，
动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，
所以椭圆的方程是.
（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为.
设，连接OA，
因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行，
若，则，故，
故直线的方程为：，
整理得到：；
当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，
满足.
故直线的方程为，同理直线的方程为，
又在直线和上，即，
故直线的方程为.
联立，消去得，
设，．
则，
从而
，
又，从而，所以.
例17．（2024·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.
【解析】（1）由题可知，，解得，所以双曲线的标准方程为；
（2）由题可知，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，
联立消去，得，
所以，解得，
且，
所以
.
联立可得，同理可得，
所以，
所以，
其中，则，所以.
变式23．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意得：，
故，
双曲线渐的近线方程为，
故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，
因为，解得：，
故，
所以椭圆方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线为，
联立与，得：
，
由得：，
设，
则，
因为，所以，
其中
，
整理得：，
将代入中，解得：，
又，解得：，综上：或，
原点到直线的距离为，
则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，
该圆的半径即为，故圆的方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，
与椭圆的两个交点为，或，，
此时，满足要求，
经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，
综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；
，
将代入上式，
令，则，
因为，则，
所以，
因为，所以，
故当时，取得最大值，最大值为，
又，
当直线的斜率不存在时，此时，
综上：的取值范围为.
变式24．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.
【解析】（1）由的周长为，得，即，
又离心率，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知的坐标为，
①当直线的斜率不存在时，，，则；
②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，
联立，得，
设，，则，，
，
设点，则，即，代入椭圆方程得，
解得，，所以，
所以，
又，所以的取值范围是.
综上所述，的取值范围是.
变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
【解析】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，.
（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以
，
同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求的取值范围．
【解析】（1）设双曲线的标准方程为，由题意知，且，
即，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）设点，由题可知，则，，
所以，
而由点在双曲线上，可知，即有，
从而，故；
（3）由上可知，且，且不能同时取或，
所以可设直线的方程为，则直线的方程为，
把直线的方程为代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此，
同理可得，
因此，又，
所以，所以，
所以的取值范围为.
变式27．（2024·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．
【解析】（1）设，由题意，
因为，所以，
即，两边平方并整理得．
故点的轨迹的方程为；
（2）设直线方程为，
联立，消并整理得，，显然，
设，，则，，
又，可得线段中点坐标为，
所以线段中垂线的方程为，
令，可得，
对于直线，令，可得，
所以
又，
所以，
令，则，
因为在上单调递增，
所以，故．
变式28．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.
(1)求证：
(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.
【解析】（1）由题意得椭圆焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，
所以，解得，所以的方程为，
由，消y得，
所以得，
设，，则，
所以
，
化简得，得证；
（2）由消x，得，
所以，即，
结合，及，可得，
设，，则，
所以，
所以，
设，由，得，所以，
所以，
所以.
变式29．（2024·广东深圳·高三校联考期中）已知点在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆，直线与圆O相切且与点的轨迹交于不同两点，当且时，求弦长的取值范围.
【解析】（1）由关系式，结合椭圆的定义，
点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.
∴ ，
∴点M的方程为.
（2）由题意，联立方程，则
设，，
则，,
因直线与圆相切，且，
∴ ，
，
， ①
②
将①代入②.
因为，所以.
变式30．（2024·四川遂宁·统考三模）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围．
【解析】（1）由题设因为，
所以：
，所以，
所以椭圆方程为
（2）由（1）知的坐标为，
①当直线的斜率不存在时，，，则；
②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，
联立，得，
设，，则，，
，
设点，则，即，代入椭圆方程得，
解得，，所以，
所以，
又，所以的取值范围是．
综上所述，的取值范围是．
变式31．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
【解析】（1）椭圆:过点，且离心率为
所以，解得，所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，则直线：，代入椭圆方程得，
所以；直线：，代入椭圆方程得，所以，
所以；
当直线的斜率不存在时，同理可得；
当直线,的斜率均存在，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，
则，消去得，
恒成立，所以，
所以
；
同理可得，将换成可得
所以，
综上所述，的取值范围是.
变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围.
【解析】（1）由题意得，，两边平方化简得，
即可整理得曲线C的标准方程为；
（2）i.当直线l的斜率k不存在时，由椭圆对称性有，又，故为等腰直角三角形，
故，代入方程有，
则弦长；
ii.当直线l的斜率k存在时，设直线l为，联立椭圆消y得，
∴，，
由，
即
，整理得.
从而
.
当时，；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上，弦长的取值范围为.
变式33．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.
(1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.
【解析】（1）∵在椭圆，∴，有，所以，
又∵，所以，∵，∴；
（2）由（1）可知，又，
所以，椭圆.
因为直线与相切，故.
若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段.
若直线的斜率存在，可设直线的方程为：.
由直线与相切，故，可得：.
联立得，所以，
线段.
又因为，所以.
当且仅当，故当时，的最大值为2.
综上所述：当时，线段的最大值2.
变式34．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆E上，，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，与圆相交于C，D两点，求的取值范围．
【解析】（1）因为点在椭圆上．所以，又因为|，所以 ， ，
因为，所以，又，
解得，，所以椭圆的标准方程为
（2）设，，
联立直线与椭圆的方程： ，整理可得．
，有， ，
所以弦长 ，
圆的圆心到直线的距离为 ， 所以 ，
所以 ，
由，得，则 ，
所以以的取值范围为.
变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．
【解析】（1）由题意可知：，， ，则，
∴椭圆的标准方程：；
（2）由题意可知：，
设，则，
∴，
由，当时，，当时，，
∴的取值范围；
题型七：长度的定值问题
例18．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．
(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．
【解析】（1）由题意知：，，双曲线的，
又双曲线离心率，，，；
设，，，则，
，
即为定值.
（2）设直线的方程分别为，，，，
由（1）知：，
由得：，
，，
；
同理可得：，
，
即为定值．
例19．（2024·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆．
(1)点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；
(2)和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．
【解析】（1）设，，则，，
当时，，当时，.
（2）如图所示：过点作轴于，过点作轴于，设，
例20．（2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物线E：的焦点F重合，且椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）抛物线E：的焦点，设椭圆标准方程为，由右焦点得椭圆C的半焦距，
又椭圆C的离心率 ，所以，，
所以椭圆C的标准方程.
（2）如图所示：
当过点F的直线l的斜率为0时，其与抛物线E只有一个交点，不符合题意，∴直线l的斜率不为0，
设直线，，联立方程组，
消去x，得，
所以 ， ，
所以
.
联立方程组，消去x，得，
设，则，，
所以，
所以 ，
令 ，得 .
当时， ，
即存在.使 为定值.
变式36．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明：．
【解析】（1）抛物线E的焦点关于其准线的对称点为，
所以，即．
因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以，，
所以线段的中点为，所以，．
故C的方程为．
（2）由题意知，直线l的斜率存在，设为k．
当时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，
，，，则．
当时，直线l的方程为，设，，线段AB的中点为，．
联立，消去y，得，
则，，
所以，
则．
由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为，
令，得，
则．
又，
所以．
综上，．
变式37．（2024·天津红桥·统考一模）设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率；
(3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．
【解析】（1）由离心率，长轴为4，得， ，
所以，
故椭圆C的标准方程为：．
（2）由（1）得椭圆的右焦点的坐标为，
设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，，
由得，，
则，，
所以，
因为，
所以，即，
解得，
故直线的斜率为．
（3）是定值，理由如下，
由（2）得：直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，，
，，
则
，
由是椭圆经过原点的弦，设，，直线的斜率为，
则，
由得，，且，
得，
所以，为定值．
变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.
(1)求椭圆及抛物线的标准方程；
(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意可设，可得，
所以，所以，，
所以，所以，
点P坐标代入椭圆方程得，所以椭圆C方程为，
所以，即，所以抛物线E方程为.
（2）设.
直线l的方程为，与椭圆C的方程联立得，
则恒成立，所以
则.
直线l的方程为，与抛物线E的方程联立得.
.
.
要使为常数，则，得.
故存在，使为常数.
变式39．（2024·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值.
【解析】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为，
将代入C的方程有，，
所以M，N到直线的距离之和为，
所以，C的方程为.
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，故.
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，，
故.
设，代入C的方程有：，
设，，则，，
所以，
所以.
综上，的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，
故.
当l不垂直于x轴时，设，
代入C的方程有：.
设，，则，，
所以.
综上，的值为6.
变式40．（2024·安徽淮北·统考二模）已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，过点任意作直线分别交抛物线于，交椭圆于.当垂直于轴时，.
(1)求和的方程；
(2)是否存在常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知可得，的方程为，
代入抛物线方程可得，，解得，所以.
由题意知，得，
所以，抛物线方程是.
所以直线的方程为，焦点，所以.
将直线的方程代入椭圆方程可得，，解得，
所以.
由已知可得，，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）
假设存在常数，使为定值.
设直线的方程为：，设，，
联立方程，消化简得.
则恒成立，且，
所以.
设，，
联立方程，消化简得.
则恒成立，且，
所以，.
所以，.
因为为定值，
所以有，所以.
所以，假设成立.
所以，存在常数，使为定值.
变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.
【解析】（1）根据题意，
所以，
椭圆顶点围成的四边形周长为：，
所以，
又因为，
所以，，
故椭圆方程为：，
椭圆离心率为.
（2）①当直线PQ斜率不存在时，
|PQ|，|MN|，
此时.
②当直线PQ斜率为0时，
|PQ|，|MN|，
此时.
③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ:，直线MN：
联立
所以
所以，
所以，
PQ
同理可得，.
此时.
综上所述，的值为.
变式42．（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C：的长轴长为4，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：为定值.
【解析】（1）由题设可得，
设椭圆的半焦距为，则，故，故，
故椭圆的方程为：.
（2）当时，，此时，而，故，故.
当时，直线的方程为，，
由可得，
此时，
，，
且.
的中垂线的方程为：，
令，则，故，
故.
变式43．（2024·天津河北·高三统考期末）已知椭圆点，且离心率，F为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，，连接OT与PQ交于点H.
①若，求；
②求的值.
【解析】（1）由题意可得，解得,
椭圆C的方程为.
（2）①当时，即，直线的斜率为，
∴直线的斜率为，则直线的方程，
联立方程，消去得：，解得，
∴.
②∵，则直线的斜率为，
当时，则直线l与x轴垂直，点H即为点F，则；
当时，则直线的斜率为，则直线的方程，
联立方程，消去得：，显然，
设，则，
∴线段的中点的横坐标为，
∵直线的方程为，联立方程，解得，
即点H为线段的中点，则；
综上所述：.
变式44．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：．焦距为2c，，左、右焦点分别为，．在椭圆E上任取一点，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点关于原点的对称点为Q．过右焦点作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A，B两点，求的取值范围；
(3)若过点的直线与椭圆E交于C，D两点，求的值．
【解析】（1）焦距为2c，，可得，
又的周长为，所以，即，
所以可得
所以椭圆的方程为：；
（2）设,
当直线的斜率为0时,得:,,
当直线的斜率不为0时,设直线,
直线,
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得:
,
由韦达定理得:
,
联立直线和椭圆的方程,并消去整理得:
由韦达定理得:
所以.
令,则
，，所以，所以当即时，取得最小值，，
综上,的取值范围为.
（3）
因为与椭圆E交于C，D两点，而在直线上，
设直线CD的参数方程为，代入椭圆中可得，
设C，D的参数分别为，，
所以，
所以;
所以的值为．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）长轴是短轴的2倍，且右焦点为,
所以，
因为，
所以，解得：，
故，
椭圆的标准方程为：；
（2）若点B在第一象限且为等边三角形，
设，，
则，
又，故，
该等边三角形的边长为；
（3）是定值4，理由如下：
因为P为椭圆E上异于B，C的任意一点，
所以直线的斜率存在，
设，，则，，，
则，
则直线，
令得：，则，
直线，
令得：，则，
所以
因为，
所以，
故，
故是定值，为4.
变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线C以为渐近线，
设双曲线方程为，即,
∵，∴，即：，
∴，∴，即.,
所以双曲线C的方程为：.
（2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：，，，
，
化简得：，，
此方程的两根为，则，
∴
.，
中点M坐标为，即，
∴PQ中垂线方程为：，
令，∴，∴，
则，
∴，即为定值，定值为.
变式47．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
【解析】（1）由题意可得，则．
因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为，
所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，则，
设、，则，，
所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
变式48．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线的焦点且与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)是否存在常数，使得为一个与k无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由椭圆可知：，
所以直线的方程为：，即，
因为四边形的内切圆的面积为，所以原点O到直线的距离为，
即①，因为离心率，所以②，又③，
由①②③可得：，所以椭圆的方程为：，
因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
所以，所以，从而抛物线的方程为：.
（2）由（1）知：抛物线焦点为．由题意，设直线l：，
设，，，，
由可得：，
所以，
所以
，
由可得：，所以，
因为直线l过抛物线的焦点，所以，
所以，
设，则，
由可得：.
变式49．（2024·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）如图，，，，是抛物线：上的四个点（，在轴上方，，在轴下方），已知直线与的斜率分别为和2，且直线与相交于点．
(1)若点的横坐标为6，则当的面积取得最大值时，求点的坐标．
(2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题可知，点的坐标为，直线的方程为，
则的长度为定值．
将直线平移到与抛物线相切，切点为，此时的面积取得最大值．
设切线的方程为，联立方程组
消去整理得．
，解得，
将代入，
解得，，故点的坐标为．
（2）设，则直线的方程为，
联立方程组消去整理得，
则，．
同理可得，，．
，，
，，
所以．
故是定值，且该定值为2
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第70讲 弦长问题
知识梳理
1、弦长公式的两种形式
①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．
必考题型全归纳
题型一：弦长问题
例1．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ．
例2．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 ．
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
变式2．（2024·贵州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则 .
变式3．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
变式4．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 ．
变式5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
变式6．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
题型二：长度和问题
例4．（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．
(1)求的方程；
(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．
例5．（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．
(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；
(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．
例6．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
题型三：长度差问题
例7．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
例8．（2024·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为椭圆：的右焦点F，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且，求直线l的方程.
题型四：长度商问题
例9．（2024·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
变式9．（2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.
变式10．（2024·陕西·统考一模）在椭圆C：，，过点与的直线的斜率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．
变式11．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆）中，，过点与的直线的斜率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的右焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于两点，求的最大值.
变式12．（2024·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
变式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点．且，P为椭圆上一点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，若的中点为为坐标原点，直线交直线于点．求的最大值．
变式14．（2024·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.
变式15．（2024·四川绵阳·统考三模）过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值.
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．
变式17．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
变式18．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为2p．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
题型五：长度积问题
例12．（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．
(1)求的方程；
(2)证明：．
例13．（2024·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由．
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.
变式20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点作轴的垂线，与交于两点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，，交于点，求的取值范围．
变式21．（2024·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
变式22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
题型六：长度的范围与最值问题
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点作垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．
例16．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．
例17．（2024·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.
变式23．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
变式24．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.
变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求的取值范围．
变式27．（2024·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．
变式28．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.
(1)求证：
(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.
变式29．（2024·广东深圳·高三校联考期中）已知点在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆，直线与圆O相切且与点的轨迹交于不同两点，当且时，求弦长的取值范围.
变式30．（2024·四川遂宁·统考三模）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围．
变式31．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围.
变式33．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.
(1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.
变式34．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆E上，，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，与圆相交于C，D两点，求的取值范围．
变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．
题型七：长度的定值问题
例18．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．
(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．
例19．（2024·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆．
(1)点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；
(2)和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．
例20．（2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物线E：的焦点F重合，且椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．
变式36．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明：．
变式37．（2024·天津红桥·统考一模）设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率；
(3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．
变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.
(1)求椭圆及抛物线的标准方程；
(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
变式39．（2024·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值.
变式40．（2024·安徽淮北·统考二模）已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，过点任意作直线分别交抛物线于，交椭圆于.当垂直于轴时，.
(1)求和的方程；
(2)是否存在常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.
变式42．（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C：的长轴长为4，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：为定值.
变式43．（2024·天津河北·高三统考期末）已知椭圆点，且离心率，F为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，，连接OT与PQ交于点H.
①若，求；
②求的值.
变式44．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：．焦距为2c，，左、右焦点分别为，．在椭圆E上任取一点，的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点关于原点的对称点为Q．过右焦点作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A，B两点，求的取值范围；
(3)若过点的直线与椭圆E交于C，D两点，求的值．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
变式47．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
变式48．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线的焦点且与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)是否存在常数，使得为一个与k无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
变式49．（2024·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）如图，，，，是抛物线：上的四个点（，在轴上方，，在轴下方），已知直线与的斜率分别为和2，且直线与相交于点．
(1)若点的横坐标为6，则当的面积取得最大值时，求点的坐标．
(2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由
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