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第72讲 垂直弦问题
知识梳理
1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，
9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
必考题型全归纳
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
例1．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点，动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
【解析】（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时，
设，则，，
由，
所以，故；
②当点P不在x轴上时，在△PAB中，
所以，
∴，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，
方程为：且；
由①②知：动点P的轨迹C的方程为：；
（2）显然两直线斜率存在，设AP：y=kx+1，代入椭圆方程得，
所以，代替k同理可得，
直线PQ：，化简得；
令x=0，得，故直线PQ过定点.
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)M，D分别为椭圆C的左 右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值.
【解析】（1）由题意得：
，
故可知
椭圆方程为：，离心率为：
（2）M，D分别为椭圆C的左 右顶点
又由（1）可知： 设直线AB的方程为：，，
联立方程可得：
有韦达定理可知：，
又
又
展开后整理得：，解得：或（舍去）
直线恒过定点
令
则
由对勾函数的单调性可知：
所以，当且仅当，即时取等号
此时的最大值为：
例3．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得，设点，则点，
因为，所以，则，
因为点在圆上，所以，则，即，
所以点轨迹方程为.
（2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线，
联立，得，
设直线与曲线两交点的坐标分别为，则，
；
直线，
同理可得：，
设直线与轴交于点，
则当直线斜率存在时，由得，
，即直线恒过点；
当直线斜率不存在时，由得，则，
则直线恒过点；
②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过，
综上：直线恒过点
在以中点为圆心，为直径的圆上，
取，则为定值；
存在点，使得为定值.
变式1．（2024·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．
【解析】（1）由椭圆方程可知：，，所以
右焦点坐标，该椭圆的离心率；
（2）证明：斜率均存在，
设，直线AB方程为，
则，
联立，
则有，
将上式中换为，可得，
若，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点，
下证动直线MN过定点，
若直线MN斜率存在，则，
直线MN方程为，
令得，所以此时直线MN也过定点，
当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率为0，
此时，
则直线的方程为，过点，
综上，动直线MN过定点；
（3）由（2）可知直线MN过定点，
，
令，
，
因为，所以在上递减，
所以时，取得最大值，此时.
变式2．（2024·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设分别是椭圆的左 右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直，
的横坐标为.当时，，即.
又直线的斜率为，所以，
即，即
则，解得或（舍去），
即.
（2）已知是椭圆的上顶点，则，
由（1）知，解得，
所以，椭圆的方程为，
设直线的方程为，
联立可得，
所以，
又，
，
化简整理有，得或.
当时，直线经过点，不满足题意；.
当时满足方程中，
故直线经过轴上定点.
变式3．（2024·全国·高二专题练习）设分别是圆的左 右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.
【解析】（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，
的横坐标为.当时，，即.
又直线的斜率为，所以，
即，即，
则，解得或（舍去），即.
（2）已知是椭圆的上顶点，则，椭圆的方程为，
易得直线AB的斜率必然存在，设直线的方程为，
由可得
所以，
又，.
，
化简整理有，得或.
当时，直线经过点，不满足题意；
当时满足方程中，故直线经过轴上定点.
又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且
变式4．（2024·云南昆明·高二统考期中）已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.
【解析】（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，
又长为，∴，∴
∴，故的标准方程为
（2）显然直线的斜率存在且不为0，
设，由得，
∴，同理可得
当时，，
所以直线的方程为
整理得，所以直线
当时，直线的方程为，直线也过点
所以直线过定点.
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
例4．（2024·高二课时练习）已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．
【解析】（1）已知双曲线C：经过点，
则，
右顶点为，不妨取渐近线为，即，
则，
从而可解得，
所以双曲线C的方程为；
（2）设，
联立，消得，
则，
则，
，
，
因为，则，
即，
即，
即，
整理得，
所以.
例5．（2024·江苏南京·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【解析】（1）设P(x，y)，
因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，
所以，
化简得，
所以曲线E的方程为.
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为，，
分别联立，解得M(，)，N(，－)，
此时直线MN的方程为，过点(，0)；
当直线MN斜率存在时设其方程为，()
由，消去y得，
所以，即，
，，
因为AM⊥AN，
所以，即，
即，
即，
将，代入化简得：，
所以或，
当时，直线MN方程为(不符合题意舍去)，
当时，直线MN方程为，MN恒过定点(，0)，
综上所述直线MN过定点(，0).
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，线段AM AN的中点分别为 ，
由已知，得；
两式相减，得，即①
根据中点坐标及斜率公式，得
，，，.代入①，
得②同理，得③，②③相乘，得.
∵，，∴④
由，与④联立，得，，
双曲线的方程为：.
（2）①当时，设，，，，
由AM AN互相垂直，得，
由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.
②当不成立时，设直线，
代入得，且
∵
∴，即，
解得：或.
当时，过点，与条件不符，舍去.
∴ ，，过定点
∴ AP中点，由于（D为垂足），故.
综上所述，存在定点，使得为定值.
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
例7．（2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点P），证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．
【解析】（1）设，
由题意知，则直线l方程为，
代入，得，，
∴，
由抛物线定义，知，，
∴，∴，
∴抛物线的方程为.
（2）证明：在抛物线上，，
由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
设，
由，得 ，
则，且，
又，
，
由题意，可知, ,
故，
故，
整理得 ，即，
或，即或．
若，则 ，
此时直线过定点，不合题意；
若，则，
此时直线过定点，符合题意，
综上，直线过异于P点的定点．
例8．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点，证明直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）由已知得，设，则中点为，
关于直线对称，
点R在直线l上，
，解得，即．
又由，得直线的斜率，
，解得，
∴．
（2）证明：设直线的方程为，、均不与M重合，
由得，
，．
由（1）得，
，，
又由得，即，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
直线的方程为，即，
∴直线恒过定点．
例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．
【解析】（1）由，可得，
代入．
解得或（舍），
所以抛物线的方程为：．
（2）解:由题意可得，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，设，
由，得，从而，
则．
所以，
，
∵，
∴，
故，
整理得．即，
从而或，
即或．
若，则，过定点，与Q点重合，不符合；
若，则，过定点．
综上，直线过异于Q点的定点．
变式5．（2024·浙江·高三专题练习）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，如图，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点.
(1)求的值；
(2)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
(3)设直线交抛物线于，两点，试求的最小值.
【解析】（1）椭圆的焦点坐标为，
由于抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，
故，即，；
（2）由（1）知，抛物线的方程为，
设，，，，
由题意，直线的斜率存在且
设直线的方程为，
代入可得，
则，
故，
故的中点坐标为，
由，设直线的方程为，
代入可得，
则，
故，
可得的中点坐标为，
令得，
此时，
故直线过点，
当时，，
所以，，，三点共线，
所以直线过定点.
（3）设，
由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入可得，
则，，
，
故，当即直线垂直轴时，取得最小值.
变式6．（2024·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【解析】（1），解得：
故抛物线C的方程为：..
（2）由题可得，直线的斜率不为
设直线：，，
联立，得：，
，..
由，则，即
于是
，所以
或.
当时，
直线：，恒过定点，不合题意，舍去.
当，，直线：，恒过定点
综上可知，直线恒过定点.
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，代入得：，即
由得：，解得：或（舍去）
故抛物线C的方程为：.
（2）由题可得，直线的斜率不为
设直线：，，
联立，得：，
，，
由，则，即.
于是
，所以
或
当时，
直线：，恒过定点，不合题意，舍去.
当，，直线：，恒过定点
综上可知，直线恒过定点
变式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知点与点的距离比它的直线的距离小2．
(1)求点的轨迹方程；
(2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
【解析】（1）（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，
即动点到的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，
则点的轨迹方程为；
（2）（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，
设直线的方程为，，
联立方程，消去，可得，即，
，，
由题意知，即，则，
故， ，，直线的方程为，
故直线过定点，且定点坐标为；
法二：假设存在定点，设定点，
， ， 故，
在抛物线上，即代入上式，可得，
故，三点共线， ，，
假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例10．（2024·福建龙岩·统考一模）双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.
【解析】（1）因为，
设 则且①，
因为动直线交双曲线于不同的两点，所以且，
因为直线的方程为②，
直线的方程为③，
②③得，
把①代入上式得，化简得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立得，
则，设，
，，
所以的中点，
同理的中点，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理得，
所以直线恒过定点，即过两弦中点的直线恒过定点.
例11．（2024·全国·高二期末）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）抛物线焦点坐标为，故.
设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为t.
，由余弦定理，得.
整理，得，解得或（舍去）.
由椭圆定义，得，
，
∴椭圆的方程为；
（2）设，
联立，
即，
，代入直线方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直线MN过定点.
例12．（2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）
取点，则有，所以四边形是平行四边形，
所以，因为，所以，
所以动点的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以，，
所以，所以动点的轨迹方程为．
（2）当垂直于轴时，的中点，
直线为轴，与椭圆，无交点，不合题意，
当直线不垂直于轴时，不妨设直线的方程为，
，，
由，得，
所以△，
所以，，
所以，
所以，
因为，以代替，得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在轴上，
令，则，
所以，
所以直线恒过定点，
当时，，，
所以直线恒过定点，
综上所述，直线恒过定点．
（3）由（2）得，，
所以
，
同理可得，
所以四边形的面积，
令，则，
所以，
因为，所以，
当，即时，，所以，
所以四边形的面积最小值为．
变式9．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形面积的最小值．
【解析】（1）由题意得椭圆过点，
，
解得，，，
；
（2）当直线、斜率均存在且不为0时，
设，，
则，，，
由，，
得，，
，
由，，
得，，
可得，
① 当时，
直线的斜率为，
直线的方程为，
化简得，过定点，
② 当时，
直线的方程为，过点，
当直线、斜率一个不存在一个为0时，、的中点坐标分别为、时．直线的方程为，过点，
综上，直线恒过定点；
（3）当直线或斜率一个不存在一个为0时，，
当直线、斜率均存在时且不为0时，
由（2）得
，
，
，
当且仅当即时等号成立，
综上，四边形面积的最小值为.
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．
【解析】（1）由椭圆定义知：，解得：，
又离心率，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知：；
当直线斜率存在时，设，，，
由得：，
则，解得：，
，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，直线，恒过定点；
当直线斜率不存在且恒过时，即，
由得：，，满足题意；
综上所述：直线恒过定点.
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例13．（2024·高二课时练习）已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
【解析】（1）依题意，c=2，，解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）点，当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为：，，，
由消去x并整理得：，显然，
则，有，于是得弦AB中点，
因，同理可得点，
当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率，
因此，直线MN的方程为：，化简得，
于是得直线MN恒过定点，
当直线MN垂直于x轴时，由得，直线MN：过定点，
则当直线AB不垂直于坐标轴时，直线MN恒过定点，
当AB垂直于x轴，即k=0时，则弦AB的中点M与F重合，弦CD的中点N与原点重合，此时MN为x轴，直线MN过，
当AB垂直于y轴时，则弦AB的中点M为原点，弦CD中点N与F重合，此时直线MN为x轴，直线MN也过点，
所以直线MN恒过定点.
例14．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
【解析】（1）设，根据题意可得，
化简得曲线的方程为.
（2）证明：设，，
①若直线，都存且不为零，
设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得，
当时，这个方程变为只有一解，
直线与曲线只有一个交点，不合题意，
当时，，
直线与曲线恒有两个交点，
由韦达定理， ，
故线段的中点为，
同理，线段的中点为，
若，则，
直线的方程为，
即，
此时，直线恒过点．
若，则，或，，直线的方程为，
此时直线也过点，
②若直线，中其中一条的斜率为，另一条的斜率不存在，
不妨设的斜率为，则直线：，：x＝2，
此时，直线的方程为，
此时，直线也过点，
综上，直线恒过点．
例15．（2024·山西大同·高三统考阶段练习）已知双曲线：的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.
【解析】（1）由题设可得，，所以，.
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：点，设过点的弦所在的直线方程为，，，
则有.
联立，可得.
因为弦与双曲线有两个交点，所以，
所以，所以.
（1）当时，点即是点，此时，直线为轴.
（2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得.
①当直线不垂直于轴时，
直线的斜率，
其方程，化简得，
所以直线过定点；
②当直线垂直于轴时，，此时，，直线也过定点.
综上所述，直线过定点.
变式11．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点 若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为，
依题意渐近线方程为，即，
有，
解得，
；
（2）由（1）可知右焦点，
设直线：，，，
由联立直线与双曲线，
化简得，，
故，，
，
又，则，
同理可得：
，
，
化简得，
故直线过定点.
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例16．（2024·全国·高二专题练习）已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【解析】（1）抛物线：焦点为，准线为，
设到的距离为，因为位于的上方区域，
根据抛物线的定义可知（当且仅当时取等号），
又的最小值为，所以，解得，
所以抛物线：.
（2）依题意直线和的斜率均存在且不为，
设直线的方程为，则直线的方程为，，，
联立方程得，消去并整理得，
则，则，，
所以，
因为为的中点，所以，同理，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线恒过点.
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
【解析】（1）由对称性可知等边三角形的顶点在上，
代入得：，解得：，
所以抛物线方程为：；
（2）由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，
则直线方程为，
由联立得：，
设，则，
故，同理得
故直线MN方程为
整理得：，故直线MN过定点
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）由题意，在中代入，得，解得，
所以．
由勾股定理得|，
则的周长为，解得，
故抛物线C的方程为．
（2）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为，，．
联立消去x，得，，
则，从而．
因为P是弦AB的中点，所以，同理可得．
当，即时，直线PQ的斜率，
则直线PQ的方程为，即．
故直线PQ过定点；
当，即时，直线PQ的方程为，也过点．
综上所述，直线PQ过定点．
变式12．（2024·山西·高二校联考期末）已知抛物线C：（），过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，抛物线C上一点到焦点F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．
【解析】(1)到焦点F的距离为3，则准线为，，
抛物线方程为．
(2)由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，
则直线方程为，
由联立得，
设，则，
故，同理得
故直线MN方程为
整理得，故直线MN过定点
变式13．（2024·全国·高三专题练习）动圆P与直线相切，点在动圆上．
(1)求圆心P的轨迹Q的方程；
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点．
【解析】（1）设，根据题意，有，化简，得，
即圆心P的轨迹Q的方程为．
（2）由题意，知直线AB的斜率存在且不为0．
设直线，
代入，得，所以．
因为M是线段AB的中点，所以．
因为，所以将点M坐标中的k换成，即得．
当，即时，直线；
当时．直线．
整理，得，所以直线MN过定点．
综上所述，不论k为何值，直线MN必过定点．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，是以为底边的等腰三角形，且的面积为．
(1)求抛物线C的方程．
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，试判断直线是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知．
因为是以为底边的等腰三角形，所以．
因为的面积为，所以，解得．
故抛物线C的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．
设直线的方程为，，．
联立，整理得，，
则，从而．
因为P是弦的中点，所以，
同理可得．
当，即时，直线的斜率，
则直线的方程为，即．
故直线过定点．
当，即时，直线的方程为，且过点．
综上，直线过定点．
变式15．（2024·安徽滁州·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，．
(1)求动点Q的轨迹的方程E；
(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标．
【解析】（1）∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，
∴RQ是线段FP的垂直平分线,
∵, ∴是点Q到直线l的距离,
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,
则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，
即动点Q的轨迹的方程为.
（2）设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，则，
代入可得，即点M的坐标为，
同理设，，直线的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，
则，代入可得，即点的坐标为，
则直线MN的斜率为，
即方程为，整理得，
故直线MN恒过定点.
变式16．（2024·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，已知点，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；
(3)过点任作两条互相垂直的直线，分别交轨迹 C 于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.
【解析】（1）设点P的坐标为，则，
由，得，整理得点P的轨迹的方程为：
（2）设，由得：
，
（3）证明：设点A,B的坐标为，则点E的坐标为.
由题意可设直线的方程为，
由，消去y得，
，∵直线与抛物线交于A，B两点，
，
∴点E的坐标为，由题知，直线的斜率为，同理可得F的坐标为.
当时，有.此时直线EF的斜率为：
∴直线EF的方程为，
整理得，恒过定点，当时，直线EF的方程为，也过点.
综上所述，直线EF恒过定点.
变式17．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）抛物线焦点为，故，易知点，
设点，其中，，且，
，整理可得，
即，，解得，所以，，
所以，，则，，
因此，椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，其中，设点、，
联立，
，所以，，
，故点，
同理可得点，
所以，，
所以，直线的方程为，即，
因此，直线过定点.
变式18．（2024·湖南·高三阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与轴的交点为．过点作圆的两条切线，两切点分别为，，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）如图，过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，两点和，两点，，分别为线段和的中点，求面积的最小值．
【解析】（1）由对称性知，轴，设与轴的交点为，则．在中，；（2）设直线的斜率为，由过：．代入点
，同理可得点：过定点的面积：（当且仅当时取等号）的面积的最小值为．
试题解析：（1）由对称性知，轴，设与轴的交点为，则．
连，则中，，则
因为为圆的切线，则．由射影定理，得，则
因为圆心的坐标为，则，所以，即，得．
所以抛物线的标准方程为
（2）设直线的斜率为，因为过焦点，则直线的方程为．代入，得
．设点，，则．因为为线段的中点，则点
因为，则直线的方程为．同理可得点
直线的方程为，即，显然过定点
设的面积为，与轴的交点为，则
，当且仅当时取等号．所以的面积的最小值为
题型七：内接直角三角形范围与最值问题
例19．（2024·江西·高二校联考开学考试）设椭圆的两焦点为，，为椭圆上任意一点，点到原点最大距离为2，若到椭圆右顶点距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为、，过作两条互相垂直的直线交椭圆于、，问直线是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出面积的最大值.如果不是，请说明理由.
【解析】（1）∵点到原点最大距离为2，故，
∵到椭圆右顶点距离为，∴，
解得：或5（舍去5），
∴椭圆的方程为.
（2）设：，联立，
得：，
∴，，
∵，∴，
即
，
利用韦达定理代入化简得：，
解得：（舍去）或，
∴直线过定点，
此时，，
，
令，上式①，
而，∴①，
∴面积的最大值为.
例20．（2024·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
【解析】（1）由椭圆的方程，可得，可得，所以，即右焦点的坐标为，离心率,所以椭圆右焦点的坐标为，离心率.
（2）证明：当直线AB，CD的斜率存在且不为0时，
设直线AB的方程为，
设联立，
整理可得：，
可得，，
所以AB的中点，
同理可得的坐标，即，
当，的横坐标不相等时，则，
所以MN的方程为，
整理可得
所以直线恒过定点.
当，的横坐标相等时，，即时，则轴，
且此时MN的方程为，显然也过，
可证得直线MN必过定点.
（3）由（2）可得直线MN必过的定点，
可得
，
设，则，
在上单调递减，所以，
所以面积的最大值为.
例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得，解得，，，，
所以椭圆的方程为.
（2）设的直线方程为，，，
联立方程整理得，
所以，
因为，
所以，
即.
所以.
整理得，解得或（舍去），
所以
所以，
令，
则，
此时最大值为.
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
例22．（2024·新疆·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为.
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线和，与抛物线交于P，Q两点，与抛物线交于C，D两点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
【解析】（1）设抛物线标准方程为，其中，
由题意得，解得，则焦点，
故抛物线标准方程为.
（2）,由题意知直线的斜率都存在且不为，
设直线的方程为,
则直线的方程为,
由得，则，
所以,
所以,
所以.
用替换可得，所以.
所以
,当且仅当,即时等号成立，
所以面积的最小值为16.
例23．（2024·广东珠海·高三校考开学考试）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
【解析】（1）
直线方程为，将其代入抛物线可得，
由已知得，解得，
故抛物线的方程为．
（2）
因为，若直线分别与两坐标轴垂直，
则直线中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为，
则直线的方程为．
联立，得，则，
设，
则，设，则，则，
所以，同理可得，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为6
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知识梳理
1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．
5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．
8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，
9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
必考题型全归纳
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
例1．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点，动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)M，D分别为椭圆C的左 右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值.
例3．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式1．（2024·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．
变式2．（2024·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设分别是椭圆的左 右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
变式3．（2024·全国·高二专题练习）设分别是圆的左 右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.
变式4．（2024·云南昆明·高二统考期中）已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
例4．（2024·高二课时练习）已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．
例5．（2024·江苏南京·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
例7．（2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点P），证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．
例8．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点，证明直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．
变式5．（2024·浙江·高三专题练习）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，如图，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点.
(1)求的值；
(2)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
(3)设直线交抛物线于，两点，试求的最小值.
变式6．（2024·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
变式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知点与点的距离比它的直线的距离小2．
(1)求点的轨迹方程；
(2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例10．（2024·福建龙岩·统考一模）双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.
例11．（2024·全国·高二期末）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
例12．（2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．
变式9．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形面积的最小值．
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例13．（2024·高二课时练习）已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
例14．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
例15．（2024·山西大同·高三统考阶段练习）已知双曲线：的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.
变式11．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点 若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例16．（2024·全国·高二专题练习）已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
变式12．（2024·山西·高二校联考期末）已知抛物线C：（），过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，抛物线C上一点到焦点F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）动圆P与直线相切，点在动圆上．
(1)求圆心P的轨迹Q的方程；
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，是以为底边的等腰三角形，且的面积为．
(1)求抛物线C的方程．
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，试判断直线是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．
变式15．（2024·安徽滁州·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，．
(1)求动点Q的轨迹的方程E；
(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标．
变式16．（2024·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，已知点，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；
(3)过点任作两条互相垂直的直线，分别交轨迹 C 于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.
变式17．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标.
变式18．（2024·湖南·高三阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与轴的交点为．过点作圆的两条切线，两切点分别为，，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）如图，过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，两点和，两点，，分别为线段和的中点，求面积的最小值．
题型七：内接直角三角形范围与最值问题
例19．（2024·江西·高二校联考开学考试）设椭圆的两焦点为，，为椭圆上任意一点，点到原点最大距离为2，若到椭圆右顶点距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为、，过作两条互相垂直的直线交椭圆于、，问直线是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出面积的最大值.如果不是，请说明理由.
例20．（2024·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.
例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
例22．（2024·新疆·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为.
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线和，与抛物线交于P，Q两点，与抛物线交于C，D两点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
例23．（2024·广东珠海·高三校考开学考试）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值
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