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第71讲 面积问题
知识梳理
1、三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或
（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型
3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直
（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．
必考题型全归纳
题型一：三角形的面积问题之底·高
例1．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆的左焦点为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
（i）求的斜率；
（ii）求的面积的取值范围.
【解析】（1）由题知，
椭圆C的右焦点为，且过点，
所以，所以.
又，所以，
所以C的方程为.
（2）（ⅰ）由题知，直线l的斜率存在，且不为0.
设，，，
则，所以，
所以，，
且，即.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
所以，即，
所以，且.
因为，所以，所以.
（ii）由（ⅰ）知，，
所以，且.
设点O到直线PQ的距离为d，所以.
因为，所以，，
所以
，
又，且.所以
即的面积的取值范围.
例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线 上运动，过点与垂直的直线和的中垂线相交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点是轨迹上的动点，点在轴上，圆内切于，求的面积的最小值.
【解析】（1）设点为轨迹上任意一点 ，由题意知，，
所以动点的轨迹是以为焦点 ，以 为准线的抛物线 ，
设其方程 为，所以，即，故抛物线方程为，
所以动点的轨迹的方程为.
（2）设 ， ，，且，
所以直线的方程为 ．
圆的圆心为 ，半径为 ，
因为圆内切于△PRN ，所以直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为 ，即，
则 ①，
因为，所以化简①得， ②，
圆内切于△PRN ，所以直线与圆相切，
同理可得 ③，
由②③可知， 为方程的两根，所以，
又，，，
所以 ，
故的面积为，
等号当且仅当，即等号成立，
此时点的坐标为 )或.
故当的坐标为或时，的面积取最小值.
例3．（2024·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.
(1)化简曲线的方程；
(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.
【解析】（1），由得．
所以曲线的方程是；
（2）设，直线方程是，则直线方程为，即,
直线与已知圆相切，所以，则，
由得，，
由题意（∵），
，，∴或，
，
又原点到直线的距离为，
∴，
由或得，设，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
∴时，，
∴，即时，．
变式1．（2024·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.
【解析】（1）设点，点，则直线的方程为，
与渐近线联立，得，解之得，
即直线与双曲线的一条渐近线交点为，
又直线与双曲线的一条渐近线的交点为，
所以，即，因此双曲线方程为.
（2）
设，把代入，
得，
则 ，，
，
点到直线的距离，所以的面积为
，
令，所以，令，则，
因为，所以，由，得，由，
得，由，得，
即当时，等号成立，
此时满足，所以面积的最小值为.
变式2．（2024·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.
【解析】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点的坐标分别为，
显然均不为零，依题意，令，有且，
又四点共线，从而，
即，，
于是，从而①，②，
又点在椭圆上，即③，④，
①+②并结合③，④得，即动点总在定直线上，因此直线方程为，
由消去y得，，
设，则，
于是，设，
则点到直线的距离，其中锐角由确定，
因此，当且仅当时取等号，
所以的面积最大值为.
题型二：三角形的面积问题之分割法
例4．（2024·全国·高三专题练习）设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
【解析】（1）设，则，
化简得，，
当时，，轨迹为一条直线；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的双曲线；
综上：当时，轨迹方程为，轨迹为一条直线，
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线；
（2）当时，，
当直线斜率不存在时，又与相切，故此时直线，此时三点共线，不合要求，舍去，
设直线，联立得，
由得，显然，
联立得，，
由，结合，解得，
设，
则，
设直线与轴交于点，则，
则
，
将代入得，
因为，令，则，
，
设，则设，则
，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故最大值为.
例5．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．
【解析】（1），
设椭圆的标准方程为，即，
过点，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，且不过点，
设直线的方程为，，
由消去整理得，
，，
，
，
，
，
将，代入整理得，
，
又因为，
解得：，
三角形的面积，
令，
导函数，
当，，
当，，
增区间为，减区间为，
当时，三角形的面积取得最大值，最大值为18．
例6．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．
【解析】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，
∴，
又∵，所以，解得，
又因为离心率，解得，，
∴双曲线的标准方程为；
（2）解法1：的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，此时，直线方程为，代入渐近线方程，
得到，故，又，
故的面积；
当直线的斜率存在时，设其方程为，直线与双曲线联立得
，
因为相切，所以，解得，
另设，，
联立，
∴，，
，
，
在中，，，
∴，
所以，
所以，
因为，所以，
综上所述，，其最小值为；
解法2：由条件知，若直线的斜率存在，则斜率不为零，
故可设，直线与双曲线联立得，
，
因为相切，所以，即，
又因为直线与双曲线的渐近线交于两点，设为，，
联立，
由于，所以，
则,
由直线的方程得，直线与轴的交点坐标为，
∴
，
∵，
∴即，且，
∴时，的最小值为，
综上所述，，其最小值为.
变式3．（2024·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦，.，的中点分别为，.
(1)证明：直线过定点；
(2)若，的斜率均存在，求面积的最大值.
【解析】（1）由题可知.
若直线，有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，其中点分别为直线与轴的交点、原点，过此两点的直线方程为.
若直线，的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的斜率为，
由题，可设直线的方程为，直线的方程为.
联立，消元，整理得，
因为直线所过定点在椭圆内部，则该直线与椭圆必然有两交点，
设，，则，，
从而，，即；
用替换点坐标中得.
若，解得，此时，
当时，则，
则直线的方程为，
整理得，即直线过定点，
而直线的斜率不存在时也过定点，直线也满足过定点，
综上，直线过定点.
（2）因为，的斜率均存在，则，由（1）可得
令，则，当且仅当，即时取等号.
从而在上单调递增，
当，即时取得最小值.
所以，即当时，取得最大值为.
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
例7．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，
又因为，，，
因为，所以，，轴，
点的横坐标为，所以，，，可得，即点，
过点且与渐近线平行的直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，点到直线的距离为，
且，因此，四边形的面积为；
（2）四边形的面积为定值，理由如下：
设点，双曲线的渐近线方程为，
则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，即，
点到直线的距离为
，且，
因此，（定值）.
例8．（2024·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.
（1）求面积的最大值；
（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.
【解析】解法一 当直线的斜率不存在时，由对称性，设直线方程为，则，
，
当且仅当时取等号.
设直线：，，，联立方程，消去得：
，
判别式，则，于是
.
原点到的距离，所以
，
当且仅当时取等号.
（2）不妨设，根据垂径定理得：，则的方程为.
将的方程代入椭圆方程，消去得.注意、在直线的两侧，所以
，.
又点在直线上，所以，化简得：，则
.
解法二 （1）设，则，.
设原点到直线的距离为，则
.
（2）要四边形为平行四边形，则四边形为菱形，由（1）知
.
解法三 （1）设，，则
，
当且仅当，时取等号.
（2），则，
即，移项整理得，则，
故.
例9．（2024·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知，，
，，设，
，，
由椭圆的性质可知，
，
，故，即.
(2)设，，联立消去整理可得，
，，
，，
直线的方程为：，
根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为
，
，
，
，
四边形的面积为
，当且仅当即时，上式取等号，
所以的最大值为.
变式4．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.
(1)求证：；
(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时点的坐标.
【解析】（1）设点，则.因为点在第一象限，
可设函数，则，所以，
所以直线方程为，令，则，即点.
设直线，与联立得，所以，同理.
因为，，所以，则，
设直线，与联立得，
又因为直线与抛物线交于两点，所以.
因为点，所以，代入抛物线，
又因为在第四象限，可知.
因为，，
所以，
即，原命题得证.
（2）由（1）知，所以，得，即.
所以，
另由（1）知，，，
所以，即；
，，
设函数，，
则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取得最小值为，此时点的坐标为.
变式5．（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值；
(3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为，
所以有，，则，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）因为为椭圆的右焦点，所以，
过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，
所以设直线方程为，，，
则，则，
，，，
，，
因为满足，所以，
即，
即，
则有，
整理得，
解得（舍），.
（3）
由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，
设直线BC的方程为，，，不妨设，
则，，
由得，
所以，，，
因为，，，
所以
，
，
要使，，总成等比数列，则应有解得，
所以存在，使得，，总成等比数列.
变式6．（2024·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知圆，点，圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的动直线与椭圆相交于两点，直线的方程为.过点作于点，过点作于点.记的面积分别为，，.问是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）圆的圆心，半径，
因为线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，所以，又，
所以，
所以点Q的轨迹是以，为焦点的椭圆，
这里，，所以，，则，
所以曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，
设，，则，，
联立，消去并整理得，
恒成立，
，，
所以
，
，
同理得，
所以
，
所以，所以，
所以，所以存在实数，使得成立.
变式7．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线：的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.
(1)若，求点的坐标；
(2)若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；
(3)若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在中，设，，则的面积为
【解析】（1）设，因为，又，得到，
将代入，得到，
所以点的坐标为或.
（2）设，直线，
由，消得到，由韦达定理知，，所以，
又，由，
故为钝角，原点总在以线段为直径的圆的内部.
（3）设，由，得到，
又，得到或，即或（舍），
故，所以直线的斜率，
由题可设的方程为，由，消得到，
由题知，，得到，代入，得到，所以，
设，则，，即，
所以，
故的面积为，
当且仅当时取等号，
由，得，所以最小值为2， 点的坐标为.
变式8．（2024·四川眉山·高三校考阶段练习）在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为6；记的重心的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若圆：，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值.
【解析】（1）设的中点为，的中点为，
所以，，
所以，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长，的椭圆.
所以，所以，，
所以曲线的方程为.
（2）设直线为（不妨设），设，，
所以，
，
，解得（舍去），则，
由于是单位圆的直径，所以，
所以直线的斜率为，直线的方程为，
同理可求得，则，
由上述分析可知，而，
所以
，
所以，
令，当且仅当时等号成立，
则，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值为.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
例10．（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）.
(1)求的准线方程；
(2)若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值.
【解析】（1）将代入，则，
由，故为等腰直角三角形，故，即，
所以，故准线方程为.
（2）设，直线，联立抛物线得，
所以，则，故，
由，则，故，直线，
令，则，故，
设直线，联立抛物线得，
所以，则，故，
综上，直线，令，则，故，
由直线的倾斜角为锐角，故，则，，
所以，令，则，
则，仅当，即时等号成立，
所以与面积之比的最大值.
例11．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆，且过两点．
(1)求椭圆E的方程和离心率e；
(2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：与的面积之比是否为定值？
若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得，解得，
则的方程；
（2）
由已知可得直线的斜率存在，且不为，也不为，
设直线，（且），联立可得，
方程的判别式，
设，，，
则，.
所以，，
所以，
因为两直线斜率互为倒数，则，
用代换点坐标中的得.
所以，
所以直线即
所以恒过定点，
设点、到直线的距离分别是，，
则.
与的面积之比是定值，定值为4.
例12．（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【解析】（1）如图，
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
变式9．（2024·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点，关于原点对称的动点，到定直线的距离分别为，，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线？
(2)已知点，是直线与曲线的两个交点，，在轴上的射影分别为，（，不同于原点），且直线与直线相交于点，求与面积的比值.
【解析】（1）设，.
由有，，
两边平方得，
化简得，
即曲线的方程为或.
曲线是以点，为焦点，长轴长为的椭圆与轴组成的曲线.
（2）设直线与椭圆相交于，两点，则，.
令，将代入并整理得，，，.
直线的方程为：.
设，则，
同理直线与直线相交于点，.
，其中.
从而，与重合.
因为，所以.
又，，则.
所以与面积的比值为1.
变式10．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于两点，直线与圆E：的另一交点分别为为坐标原点，求与面积之比的最小值．
【解析】（1）依题意得，解得，所以抛物线方程为.
（2）抛物线的焦点为，直线与轴不重合，
设直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，则，
所以，
所以.
，由，而，
故解得.同理可求得.
，
同理，
所以
，
故当时，取得最小值为.
变式11．（2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8．
(1)求的方程；
(2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得，即①．
当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，
所以，即②．
联立①②，得．
故的方程为．
（2）
与的面积之比为定值．
由（1）可得，
由题意设直线．
联立得，
则，
，
所以．
直线的方程为，
令，得，即．
同理可得．
故与的面积之比为
，
即与的面积之比为定值．
变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.
（i）求的面积与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
【解析】（1）∵、是椭圆，的两个顶点，且，
直线的斜率为，由，，得，
又，
解得，，
∴椭圆的方程为；
（2）
设直线的方程为，则，，
联立方程消去，
整理得，，得
设，，∴，.
（i），，
∴，
∴的面积与的面积之比为1；
（ii）证明：
综上，.
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
例13．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．
【解析】（1）由离心率为，且经过点可得，又，
解得，所以椭圆；
（2）设，则，，
令，，
可得，
代入，得，
又，得，
设，，
可得，
代入，得，
又，得，
∵，∴，
∵，，∴．
例14．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为.
设点P的坐标为，则由直线与的斜率之积等于，得，
化简得，故动点P的轨迹方程为.
（2）若存在点P使得与的面积相等，
设点P的坐标为，则，
因为，所以，即.
作直线，作于，于，则，
所以，同理，所以可得，
整理得，解得；
因为，所以.
故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.
例15．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线的方程为，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延长，分别与椭圆交于P，Q两点．

(1)求的值；
(2)若恒成立，求椭圆的方程；
(3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程（其中，分别是和的面积）．
【解析】（1）设直线OM的斜率为，直线ON的斜率为，
由题可知，直线MN的斜率不为0，设，
设直线，
则由，可得，
易知，且，
则；
（2）设，
由题可知，，其中，
联立方程，同理，
因为：
．
因为为定值，所以上式与无关，
所以当，即时，此时，所以，
所以椭圆的方程为．
（3）因为，
由（2）可知，当时，
，
故，当且仅当时，等号成立，
此时抛物线方程为.
变式13．（2024·四川·校联考一模）已知点在椭圆上，点在椭圆C内．设点以为的短轴的上、下端点，直线分别与椭圆C相交于点，且的斜率之积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求的取值范围．
【解析】（1）设，依题意知，，
则，整理有：．
因为椭圆C过点，所以，所以椭圆的方程为．
（2）由椭圆，可得，，
可得，代入椭圆，整理得，
解得，则，所以，
又由，代入椭圆，整理有，
解得，则，所以，
所以，
，
于是
，
因为，所以，所以，
故的范围为．
变式14．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.
【解析】（1）设，依题意，，
可得，整理可得，
又椭圆C过点，所以，故椭圆C的方程为；
（2）依题意，可知AM：，代入椭圆方程，
整理得，从而得到，
又BM：，代入椭圆方程，
整理得，从而得到，
所以，
，
则
,
由于，所以，解得.
变式15．（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.
【解析】（1）因为的周长为，即
所以，可得，
由椭圆的离心率，可得，从而，
所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立方程，整理得，
则，
同理可得，．
因为，
所以
所以是定值．
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
例16．（2024·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【解析】（1）由题意，得的渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，
又因为，所以，则，
故的方程为．
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，
用替换，可得，
所以．
令，所以，
则，
当，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为．
例17．（2024·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.
【解析】（1）设，由，有.
又由，有（O为坐标原点），可得，，
可得椭圆E的方程为，
代入点N的坐标，有，解得，，
故椭圆E的标准方程为；
（2）①当直线AB的斜率不存在或为0时，为长轴长或，
不妨设，，
故；
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：，，，
联立方程，消去y得，
则，，
所以
，
同理可得，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，而，
综上：四边形ACBD的面积的最小值为.
例18．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，.
(1)求；
(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.
【解析】（1）设，
由，可得，
易得，所以，
则，
即，因为，所以.
（2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为.
联立，化简可得，则，
设，则，
则，
因为，所以.
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
例19．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
【解析】（1）依题意将和两点代入椭圆可得
，解得；
所以椭圆方程为
（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，
所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，
四边形的面积最大，最大值为6.
例20．（2024·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知椭圆C：经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
【解析】（1）由题意可设：直线l，，则，
可得：直线l的斜率，直线OM的斜率，
因为A，B两点在椭圆C上，则，
两式相减得整理得，即，
所以，可得，
又因为点在椭圆C上，则，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）因为四边形OAPB为平行四边形，则M为的中点，可得，
则，可得直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即，
可得点到直线l的距离，
由（1）可知：椭圆C的标准方程为，即，
联立方程，消去y得，
可得，且，
则，
所以四边形OAPB的面积.
例21．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
【解析】（1）依题意，椭圆的另一焦点为，
因此 ，
于是，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上，
依题意，直线l的方程为，整理得，
所以直线的方程为.
（3）由（2）知，直线：，由，解得或，则，，
设点，，则，两式相减得，
又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分，
设点到直线的距离为d，则四边形的面积，
而，则有，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离，
所以.
变式16．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆：（）左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点， 为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足.
（ⅰ）若，求直线的斜率；
（ⅱ）若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围.
【解析】（1）依题意得，则，，而，
于是，
从而. 又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）如图，设直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，
由，故，由椭圆对称性，，且四边形为平行四边形.
（ⅰ）由题意直线的斜率不为0，设直线：，
由，消去整理得，
设，，则，，
由（*）带入上式，解得：，
故，由于，，所以，
所以，故的斜率为1.
（ⅱ）由，消去整理得，由得.
所以，
与间的距离（即点到的距离），
故，
令，函数在区间上单调递增，
所以，
则，
所以四边形的面积的取值范围为.
变式17．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆的离心率，且经过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形的面积；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）由已知可得：，，
可得：，，椭圆E的方程为.
（2）四边形OAMB的面积为定值，理由如下：
将代入可得：，
设，则，，
且，
由于四边形OAMB为平行四边形，则，
则点，代入椭圆E的方程，化简可得：，
此时恒成立，
由于点O到直线AB的距离为，
而，
又由，可得，
从而，
又.
所以四边形OAMB的面积为定值.
变式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.
【解析】（1）设，因为，
，代入椭圆得：，
点的轨迹方程为：.
（2）
设，由（1）则，
①当直线不与坐标轴重合时，由，知为中点，
，
直线：，
代入椭圆：的方程得：
即：，设，，
由根与系数关系，
，
设表示点到直线的距离，表示点到直线的距离，
；
它法：利用比例关系转化：，酌情给分.
②当直线与坐标轴重合时，
不妨取，，，
或，，，
综上所述：四边形的面积是.
变式19．（2024·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；
(3)当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．
【解析】（1）将代入，并化简得，解得或，
代入抛物线方程可得
，，，
；
（2）联立抛物线与圆的方程有，可得．
不妨设与的四个交点的坐标为，，，．
直线的方程为，
由对称性，对角线交点肯定在轴上，令，
解得交点坐标为．若交点为点，则，则，不可能．
（3）联立抛物线与圆的方程有，可得．
由于四边形为等腰梯形，因而其面积
则，
设，则，
将，代入上式，并令，
得
求导数，
令，解得：，（舍去）．
当时，；此时单调递增，
当时，；当时，．此时单调递减，
故当且仅当时，取得最大值，即此时四边形的面积最大，
此时．
变式20．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆上，试探究梯形的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，，且，
解得，．
（2）梯形的面积是定值，该定值为．
理由如下：
由（1）知：，：,
设，，，则，
因为，，所以A，B分别为PD，PC的中点，
则，，则，
作差可得，．
因为，即，所以．
同理可得，，所以C，D都在直线上，
即直线CD的方程为．
联立，可得，，
则，
即．
又因为点P到直线CD的距离，
所以的面积为．
又因为∽，，所以，
所以梯形ABCD的面积为．
变式21．（2024·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
【解析】（1），，，
，
点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，
点的轨迹的方程为：.
（2）连接，延长交椭圆于点，连接，
由椭圆对称性可知：，又，四边形为平行四边形，
，，且三点共线
四边形的面积，
设直线，，
由得：，
，，
，
又，点到直线的距离即为点到直线的距离，
点到直线的距离，，
设，则，，，
又，当，即时，四边形面积取得最大值，最大值为.
变式22．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知为坐标原点，，是椭圆的两个焦点，斜率为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，直线过原点且与交于，两点，椭圆过的切线为，的中点为.
(1)求椭圆的方程.
(2)过作直线的平行线与椭圆交于，两点，在直线上取一点使，求证：四边形是平行四边形.
(3)判断四边形的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题知，设椭圆方程为，
设：，，则，
联立得，
因为线段的中点坐标为，
所以，
，
所以，再代入得，
又，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
则，因的中点为，所以，
根据已知，过点的切线方程斜率为，
又，知，
所以：，
即，，
联立得，
所以，
，
可得，
即是的中点，
又，知是的中点，
所以四边形是平行四边形.
（3）由（2）知，，，
，
：，即，
设点到直线的距离为，
所以
，
，
所以，
所以四边形的面积为.
即四边形的面积是定值，且为.
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：与圆：相交于四个点．

(1)当时，求四边形面积；
(2)当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．
【解析】（1）将代入，并化简得，解得或，代入抛物线方程可得.
故；
（2）不妨设与的四个交点的坐标为．
则直线的方程分别为 ，，两方程相加可得，故，解得点的坐标为．
联立抛物线与圆的方程有，即，可得.
设，则，由（1）知由于四边形为等腰梯形，因而其面积
则将代入上式，并令，得．
求导数， 令 ，解得：（舍去）．
当时，；当时，；当时，.
故当且仅当时，此时．
变式24．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围.
【解析】（1）由题知过点，则，解得，
.
（2）设直线的方程为，
联立，得，
，
则，而，则，
故以为切点的切线为，即，
同理以为切点的切线为，则，
由，故两式作差得：，所以，
两式求和得：，
所以点由在椭圆上，即.
点到直线的距离，
所以，，
，
而、在上递增且恒正，
则在上递增，.
变式25．（2024·山东潍坊·三模）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线：与椭圆交于两点，且在坐标平面内存在两个定点，使得（定值），其中分别是直线的斜率，分别是直线的斜率．
①求的值；
②求四边形面积的最大值．
【解析】（1）由题意得，
解得，
则椭圆的标准方程为.
（2）①设，
把与椭圆的标准方程联立，
消去，可得，
注意到为方程的两根，
故有恒等式，
则，
同理，把与椭圆的标准方程联立，
消去，可得，
注意到为方程的两根，
故有恒等式，
则，
则，
所以，
若为定值，则必有，
计算可得或，
故．
②不妨设点，点，点，点到直线的距离分别是，
因为，，，
所以，
四边形面积
（当时取等号），
所以四边形面积的最大值是
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第71讲 面积问题
知识梳理
1、三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或
（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型
3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直
（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．
必考题型全归纳
题型一：三角形的面积问题之底·高
例1．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆的左焦点为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
（i）求的斜率；
（ii）求的面积的取值范围.
例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线 上运动，过点与垂直的直线和的中垂线相交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点是轨迹上的动点，点在轴上，圆内切于，求的面积的最小值.
例3．（2024·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.
(1)化简曲线的方程；
(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.
变式1．（2024·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.
变式2．（2024·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.
题型二：三角形的面积问题之分割法
例4．（2024·全国·高三专题练习）设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
例5．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．
例6．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．
变式3．（2024·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦，.，的中点分别为，.
(1)证明：直线过定点；
(2)若，的斜率均存在，求面积的最大值.
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
例7．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
例8．（2024·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.
（1）求面积的最大值；
（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.
例9．（2024·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
变式4．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.
(1)求证：；
(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时点的坐标.
变式5．（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值；
(3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
变式6．（2024·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知圆，点，圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的动直线与椭圆相交于两点，直线的方程为.过点作于点，过点作于点.记的面积分别为，，.问是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
变式7．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线：的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.
(1)若，求点的坐标；
(2)若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；
(3)若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在中，设，，则的面积为
变式8．（2024·四川眉山·高三校考阶段练习）在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为6；记的重心的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若圆：，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
例10．（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）.
(1)求的准线方程；
(2)若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值.
例11．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆，且过两点．
(1)求椭圆E的方程和离心率e；
(2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：与的面积之比是否为定值？
若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
例12．（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
变式9．（2024·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点，关于原点对称的动点，到定直线的距离分别为，，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线？
(2)已知点，是直线与曲线的两个交点，，在轴上的射影分别为，（，不同于原点），且直线与直线相交于点，求与面积的比值.
变式10．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于两点，直线与圆E：的另一交点分别为为坐标原点，求与面积之比的最小值．
变式11．（2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8．
(1)求的方程；
(2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.
（i）求的面积与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
例13．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．
例14．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
例15．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线的方程为，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延长，分别与椭圆交于P，Q两点．

(1)求的值；
(2)若恒成立，求椭圆的方程；
(3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程（其中，分别是和的面积）．
变式13．（2024·四川·校联考一模）已知点在椭圆上，点在椭圆C内．设点以为的短轴的上、下端点，直线分别与椭圆C相交于点，且的斜率之积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求的取值范围．
变式14．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.
变式15．（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
例16．（2024·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
例17．（2024·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.
例18．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，.
(1)求；
(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
例19．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
例20．（2024·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知椭圆C：经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
例21．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
变式16．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆：（）左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点， 为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足.
（ⅰ）若，求直线的斜率；
（ⅱ）若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围.
变式17．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆的离心率，且经过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形的面积；若不是定值，请说明理由.
变式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.
变式19．（2024·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；
(3)当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．
变式20．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆上，试探究梯形的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
变式21．（2024·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
变式22．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知为坐标原点，，是椭圆的两个焦点，斜率为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，直线过原点且与交于，两点，椭圆过的切线为，的中点为.
(1)求椭圆的方程.
(2)过作直线的平行线与椭圆交于，两点，在直线上取一点使，求证：四边形是平行四边形.
(3)判断四边形的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：与圆：相交于四个点．

(1)当时，求四边形面积；
(2)当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．
变式24．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围.
变式25．（2024·山东潍坊·三模）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线：与椭圆交于两点，且在坐标平面内存在两个定点，使得（定值），其中分别是直线的斜率，分别是直线的斜率．
①求的值；
②求四边形面积的最大值
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