资源简介

第74讲 存在性问题的探究
知识梳理
题型一：存在点使向量数量积为定值
例1．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．
求椭圆E的方程；
过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．（2024·山西大同·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值 若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
例3．（2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为.点在椭圆上，且满足的周长为6.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一定点，使得恒为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式2．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知为双曲线的左、右焦点，的离心率为为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式3．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
变式4．（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．
(1)求的内心坐标；
(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.
(1)求点的轨迹；
(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.
例5．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.
例6．（2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点
(1)求的方程.
(2)在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
变式5．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.
变式6．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式7．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
题型三：存在点使两角度相等
例7．（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
例9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交AC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若过点且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点．问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
变式9．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点.
(1)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
变式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式11．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
题型四：存在点使等式恒成立
例10．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上 请你给出结论并证明.
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
(3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
例12．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
变式12．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点和右焦点分别为，动点满足，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)设点在上，过作的两条切线，分别与轴相交于两点.是否存在点，使得等于的短轴长？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
变式14．（2024·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
题型五：存在点使线段关系式为定值
例13．（2024·全国·高三专题练习）椭圆经过两点，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；
(3)设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．
例14．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
例15．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
变式15．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足，且在直线上.
(1)求的方程；
(2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值.
变式16．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式17．（2024·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
变式18．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到y轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件： 求曲线的方程；
(2)在轴正半轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
变式19．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)是否存在点P，使得过点P作圆的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由
本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiaoyu2 ,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内99%以上资料为纯word解析版），群内资料每周持续更新！
高一资料群内容：
1、高一上学期同步讲义（word+PDF）
2、高一下学期同步讲义（word+PDF）
3、寒暑假预习讲义（word+PDF）
4、专题分类汇编（纯word解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）
6、期中期末考试串讲（word+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高二资料群内容：
1、高二上学期同步讲义（word+PDF）
2、高二下学期同步讲义（word+PDF）
3、寒暑假预习讲义（word+PDF）
4、专题分类汇编（纯word解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）
6、期中期末考试串讲（word+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高三资料群内容：
1、高三大一轮复习讲义（word+PDF）
2、高三二轮冲刺讲义（word+PDF）
3、高三三轮押题（纯word解析版）
4、高考真题分类汇编（纯word解析版）
5、专题分类汇编（纯word解析版）
6、圆锥曲线专题（word+PDF）
7、导数专题（word+PDF）
8、全国名校期中期末一模二模（纯word解析版）
…………………………………………
更多内容不断完善
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第74讲 存在性问题的探究
知识梳理
解决存在性问题的技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
必考题型全归纳
题型一：存在点使向量数量积为定值
例1．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．
求椭圆E的方程；
过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设椭圆E的方程为，
由已知得，解得：，
所以．
所以椭圆E的方程为．
假设存在符合条件的点，
设，，
则，，
，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由，得：，
，，
，
，
对于任意的k值，上式为定值，
故，解得：，
此时，为定值；
当直线l的斜率不存在时，
直线l：，，，，
由，得为定值，
综合知，符合条件的点M存在，其坐标为．
例2．（2024·山西大同·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值 若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，
所以，
因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，
所以，
可求得a=2.
故椭圆的方程为.
（2）假设存在满足条件的点，
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，
由得，
设，
所以，
则
，
要使为定值，令，即，
此时.
当直线的斜率不存在时，不妨取，
由，可得，
所以.
综上所述，存在点，使为定值.
例3．（2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为.点在椭圆上，且满足的周长为6.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一定点，使得恒为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）所以椭圆的方程为
（Ⅱ）假设存在这样的定点，设，直线方程为
则
=
联立消去得
令即，
当轴时，令,仍有
所以存在这样的定点，使得
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，，，得，所以椭圆C的方程为.
（2）当的斜率存在时，设，，，，则
联立方程组消去y得，.
∴，.
∵
为定值.
∴，解得.此时的值为.
当的斜率不存在时，的方程为，解得，.
又，则.∴，此时也满足条件.
综上所述，在x轴上存在定点，使为定值.
变式2．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知为双曲线的左、右焦点，的离心率为为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，
又，所以，则，所以，
因为，所以，
故双曲线的方程为.
（2）因为点满足，
所以点在双曲线的左支上，又因为点在坐标轴上，则，
设，当的斜率存在时，设的方程为，
联立方程，整理得,则，,即,
，因为在以线段为直径的圆上，所以，
则，又，，
则，
所以，
即，整理得，
即，解得或，经检验均满足，
当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，则直线恒过定点，符合题意.
当的斜率不存在时，， ，，
，又，解得（舍去）或，
所以直线方程为，则直线恒过定点.
综上，直线恒过定点.
因为，所以是以为斜边的直角三角形，
即点在以为直径的圆上，则点为该圆的圆心即斜边的中点，
又，，所以，为该圆的半径，即，
故存在点，使得为定值.
变式3．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由得
直线是抛物线的一条切线．所以
，所以椭圆
（2）
当直线与轴平行时，以为直径的圆方程为
当直线与轴重合时，以为直径的圆方程为
所以两圆的交点为点猜想：所求的点为点．
证明如下．当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点
当直线与轴不垂直时，可设直线为：
由得，设，则
则
所以，即以为直径的圆过点
所以存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点．
变式4．（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．
(1)求的内心坐标；
(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
∴椭圆的标准方程为，
不妨取，则；
因为中，，所以的内心在轴，设直线平分，交轴于，则为的内心，且，所以，则；
（2）∵椭圆和弦均关于轴上下对称．若存在定点，则点必在轴上∴设
当直线斜率存在时，设方程为，直线方程与椭圆方程联立，
消去得，
则①
∵点的横坐标为1，均在直线上，
，整理得，
因为点在椭圆外，则直线的斜率必存在．∴存在定点满足题意
题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.
(1)求点的轨迹；
(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.
【解析】（1）设点，，
，即，
点坐标为，
，即，
点坐标为，
根据两点坐标可得，
直线方程为：，
直线方程为：，
两式移项相乘得：，
整理得，
点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆，
即其方程为.
（2）假设存在定点，
设点坐标为，，
联立方程组消得，
直线与椭圆交于两点，
即，
，
，
，
，
，
整理得：
，
，对恒成立，
，得，
，
所以存在定点坐标为或.
例5．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，即，
又直线，的斜率存在，所以点的轨迹方程为
（2）若存在这样的定点，不妨设为，令，，，
直线的方程为，
，
由韦达定理得：，，，
，
，
对任意成立，所以
由得，
所以，
对任意成立，，经检验，符合题意，
所以，存在满足题意.
例6．（2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点
(1)求的方程.
(2)在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，
圆与直线切于点，所以代入得，①
设，直线FQ有斜率，则，即，②
又③
由①②③解得，
所以双曲线的方程为.
（2）假设存在满足条件的定点，因为直线不与坐标轴垂直，
故设的方程为.
由消去整理得，
则即
且
因为，所以直线的斜率为.
设为定值，即，
即，
即，
整理得，
所以，
所以.
因为为定值，且上式对任意恒成立，
所以
解得.
将代入式解得或且.
综上，存在满足条件的定点.
变式5．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）圆C的方程可化为：，
由，解得，所以圆C过定点.
（2）圆C的方程可化为：，
圆心到直线l的距离为，
所以直线与圆C相切.
（3）当时，圆C方程为，圆心为，半径为10，
与直线，即相切，所以椭圆的左准线为，
又椭圆过点，则，所以，解得，
所以椭圆方程为.
在椭圆上任取一点（），设定点，，
则对恒成立，
所以对恒成立，
所以，故或，
所以，或者，.
变式6．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，
即，，
解得，，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，设点，，，，，
因为直线不与轴重合，
所以设直线的方程为，
联立，得，
所以，
所以，，
又，
直线，的斜率分别为，，
所以
，
要使得直线，的斜率之积恒为定值，直线，解得，
当时，存在点，使得，
当时，存在点，使得，
综上，在轴上存在点，使得，的斜率之积恒为定值，
当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值，
当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值．
变式7．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由椭圆的定义知的周长为，所以，
又因为椭圆的离心率，
所以，联立解得，，
所以，
所求椭圆方程为.
（2）若存在满足条件的点.
当直线的斜率存在时，设，联立，
消得.
设，，则，x，
∵
，
∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，.
当直线与轴垂直时，若，也有.
故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值0.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点，
因此，,解得，
所以椭圆E方程为；
（Ⅱ）设点的坐标为，
当直线与x轴垂直时，直线与的倾斜角均为，满足题意，
此时，且；
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，
联立，得，
其判别式，
，，
直线的倾斜角互补，
，
∴，
即，
整理得，
把，代入得，
所以，即，
综上所述存在与点不同的定点满足题意．
题型三：存在点使两角度相等
例7．（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）中由面积公式得，
即，得，
椭圆方程为；
（2）如图，
假设存在点使得，设，
，即，
，即，
直线与椭圆交于不同的两点，易知关于对称，
设，则，
由（1）知，直线的方程是，令得，
直线方程是，令得，
由，得，
又在椭圆上，所以，即，
，即.
所以存在点，使得成立．
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意可得，，又，解得，
所以椭圆方程为，则离心率
（2）因为、、三点共线，根据椭圆的对称性可知、关于点对称，
设点，则，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以点，．
假设存在M使，，
所以，又，所以，
即，所以，
设，则，，
所以，即，
又，所以，所以，解得，
所以.
例9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交AC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若过点且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点．问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由圆，可得圆心坐标为，半径，
如图所示，线段的垂直平分线交于点，
所以，
根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
可得，则，
所以动点的轨迹方程为.
（2）由题意，设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则，解得且，
设，所以
根据椭圆的对称性，不妨令在轴上方，且，显然，
假设存在使得恒成立，即恒成立，
可得，即恒成立，即恒成立，
又由，
所以，
所以
，
所以存在点，使得恒成立，
变式9．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点.
(1)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）将代入椭圆方程，
得到，故，
故椭圆方程为.
当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
设，则，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为，
此时直线的方程为或.
（2）在x轴上存在点使得恒成立，
理由如下：
因为，所以，即，
整理得，
即，
所以，
则，解得，
故在x轴上存在点，使得恒成立.
变式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）椭圆上顶点与右顶点的距离为，；
又椭圆过点，；
两式联立可解得：，，椭圆的方程为：.
（2）当直线与轴不重合时，设其方程为，，
由得：，
则，解得：或，
，，
假设存在点使得，即存在点使得，
设点，则，
，
，又，，解得：，
；
当直线与轴重合时，分别为椭圆左右顶点，
若，此时显然成立；
综上所述：轴上存在点满足题意．
变式11．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，
所以，
化简得.
所以曲线的方程为.
（2）存在两点满足.
设
联立直线与双曲线方程，有，
由韦达定理，有，
，，
所以上式当时，上式恒成立，
即过定点，经检验两点恰在双曲线上，且不与重合，
故存在双曲线上两点满足.
题型四：存在点使等式恒成立
例10．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上 请你给出结论并证明.
【解析】（1）圆的圆心为，半径，
因为，所以，又因为，
所以，
所以，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为，
则，.
所以，，
又不可能在轴上，所以曲线的方程为.
（2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上.
证明如下：由条件可设：.代入，
得，
设，，则
，得，
所以
所以，
取，
则
又，都在轴上方，所以的平分线为定直线，
所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上.
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
(3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意知，由得是线段的中点，故.
又因为直线与垂直，所以，即，
所以椭圆的离心率为.
（2）由（1）得过、、三点的圆的圆心为，半径为.
因为过、、三点的圆恰好与直线相切，所以，解得.
又，所以，从而.
故椭圆的方程为.
（3）由（1）及得，，椭圆的方程为.
设直线方程为，，则，
联立得，
，.
直线的方程为，
令得
.
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.
例12．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知可设双曲线方程为，椭圆方程，则双曲线的一条渐近线方程为，即，故，即，又，
解得，所以双曲线方程：，
椭圆方程为：；
（2）设，，，，，
P、A、N三点共线，，
P、B、M三点共线，，
相除：，
令，则设：，
联立椭圆方程：，
由在椭圆内，故，所以，
∴，
，
若存在，即，
，得，
又P在第一象限，所以，；
法二：，，，，，
直线AP：，
，显然，
由，又因为P在双曲线上，满足，即，
所以，
即，
同理BP：，可得，所以，
若存在，即，
而P在第一象限，所以，即.
变式12．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点和右焦点分别为，动点满足，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)设点在上，过作的两条切线，分别与轴相交于两点.是否存在点，使得等于的短轴长？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）依题意知，，
设，则由，得，
即，
曲线的方程为.
（2）（方法一）设点，则，
由题意知，的斜率存在，不妨依次设为，
则直线的方程为，即，
直线与圆相切，
即，
同理，可得，
显然是方程的两根，
，
即，.
设，则，
由，得，
由，得，
存在点，或满足题意.
（方法二）设点在上，，
由题意知，的斜率存在，分别为，
则直线的方程为，
直线与圆相切，，
即，
同理，可得，
显然是方程的两根，
，
由，得，.
由，得，
存在点或满足题意.
变式13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小，
所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离，
则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线E的方程为.
（2）设，
由得：，且，得，
即，所以，
代入抛物线方程，得，
整理得，同理可得
故是方程的两根，，
由韦达定理可得①，
由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为，
与抛物线方程联立可得，
易得，由韦达定理可得②，
由①②可得，
故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.
变式14．（2024·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为椭圆的焦距为，长轴长为，
所以，，则椭圆的离心率，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）存在定点，使得恒在直线上.
设直线为，，，则，
联立，消去得，
，解得，
则，，
又直线的方程为，
又，
，恒过定点，
故存在定点，使得恒在直线上.
题型五：存在点使线段关系式为定值
例13．（2024·全国·高三专题练习）椭圆经过两点，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；
(3)设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．
【解析】（1）设椭圆方程为，，，，
椭圆经过两点，，
，解得，，
椭圆的方程为．
（2）设，，则，，
由题意，，
，,,，
，，
，
，
若，则，结论成立．
若，则，
．
（3）当与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，
如果存在定点满足条件，则有，
，在轴上，设，，
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于，两点，
则，的坐标分别为,，,，
由，有，
解得，
若存在不同于点不同的定点满足条件，则点坐标只可能为，．
下面证明：对任意直线，均有，
记直线的斜率为，直线的斜率为，
设，，则，．
由题意，,，
，，
，
，
若，则，符合题意；
若，则，
，
设点关于轴对称的点，，，A，三点共线，
，
对任意直线，均有．
例14．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
【解析】（1）依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，
于是，双曲线C的方程为，即，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，
由消去y并整理得，
有，且，即且，
有，又，
，由，得，
整理得，
于是，化简得，
即，解得或，均满足条件，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，
由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，
综上得直线过定点，
由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，
所以存在定点，使为定值.
例15．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）可得：，
根据题意可设直线，
联立方程，消去y得，
则，
可得，①
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则，
可得，
因为，可得，
整理得，②
将①代入②得：，解得，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时.
变式15．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足，且在直线上.
(1)求的方程；
(2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值.
【解析】（1）设的方程为，
则，解得，
所以的方程为.
（2）
由题意可知直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
设点，，则，.
联立，消去，得，
则，
且，.
所以，所以的方程为.
令，则，
所以直线恒过定点，设为点.
又因为，在上，
所以，
则点在以为直径的圆上，从而的中点，使为定值.
变式16．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，所以，，，
因为点在线段上，且满足，所以点，
因为直线的斜率为1，所以，所以，
因为，所以，解得，，.
所以双曲线的方程为.
（2）假设在轴上存在与不同的定点，使得恒成立，
当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有；
当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为，
直线与双曲线的右支相交于，两点，则且，
设，，
由，得， ，，
所以，，
因为，即，所以平分，，
有，即，得，
所以，由，解得.
综上所述，存在与不同的定点，使得恒成立，且.
变式17．（2024·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）由题意，可得，则椭圆方程为；
（2）若直线斜率为，则直线斜率为，而，
所以，，
联立与椭圆，则，整理得，
所以，则，故，
联立与椭圆，则，整理得，
所以，则，故，
综上，，
，
当，即时，，
此时，
所以，即直线过定点；
当，即时，
若，则且，且，故直线过定点；
若，则且，且，故直线过定点；
综上，直线过定点，又于，
易知轨迹是以为直径的圆上，故的中点到的距离为定值，
所以，所求定点T为.
变式18．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到y轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件： 求曲线的方程；
(2)在轴正半轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）选①：
如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，
设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为，
在梯形中，由中位线性质可得，
所以，又，所以，
由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为：.
选②：
设动圆的圆心为，则，
由圆与轴相切可得，
即，整理可得.
（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，点，
由，得，则.
又，同理可得，
则有
.
若为定值，则，此时点为定点.
又当时，，所以，存在点，
当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值1．
变式19．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)是否存在点P，使得过点P作圆的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题知解得，，故椭圆C的方程为．
所以点，，．
设点，则
所以．
（2）设点，，，
则直线PD的方程为，即，因为圆心到直线PD的距离为1，即，
即，即，
同理．由此可知，m，n为方程的两个实根，所以，．
．
因为点在椭圆C上，则，则，
则，
则，因为，则，，即，
故存在点满足题设条件
本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiaoyu2 ,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内99%以上资料为纯word解析版），群内资料每周持续更新！
高一资料群内容：
1、高一上学期同步讲义（word+PDF）
2、高一下学期同步讲义（word+PDF）
3、寒暑假预习讲义（word+PDF）
4、专题分类汇编（纯word解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）
6、期中期末考试串讲（word+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高二资料群内容：
1、高二上学期同步讲义（word+PDF）
2、高二下学期同步讲义（word+PDF）
3、寒暑假预习讲义（word+PDF）
4、专题分类汇编（纯word解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）
6、期中期末考试串讲（word+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高三资料群内容：
1、高三大一轮复习讲义（word+PDF）
2、高三二轮冲刺讲义（word+PDF）
3、高三三轮押题（纯word解析版）
4、高考真题分类汇编（纯word解析版）
5、专题分类汇编（纯word解析版）
6、圆锥曲线专题（word+PDF）
7、导数专题（word+PDF）
8、全国名校期中期末一模二模（纯word解析版）
…………………………………………
更多内容不断完善
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑