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第03讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新Ⅱ卷，第10题,6分 圆中切线问题 切线长 根据抛物线方程求焦点或准线 直线与抛物线交点相关问题
2023年新I卷，第6题,5分 圆中切线问题 给值求值型问题 余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14题,5分 圆的公切线方程 判断圆与圆的位置关系
2021年新I卷，第11题,5分 切线长 直线与圆的位置关系求距离的最值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分
【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解
2.熟练掌握圆系方程的快速求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习
知识讲解
一、圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程(标准方程)
二、常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;
(2)与圆同心圆的圆系方程为:;
2、过线圆交点的圆系
过直线与圆交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为,此圆系不含)
(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
考点一、过圆上一点的切线问题
1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程
【答案】
【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：，
圆心到直线的距离为，不成立；
当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，
圆心到直线的距离等于半径为：，
解得，所以直线方程为：，
即.
故答案为：.
2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.
【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，
可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．
故选：B．
1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解.
【详解】点在圆上,圆心为，
，所以切线的斜率，
则过点的圆的切线方程为,
即.
故答案为：.
2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解.
【详解】将圆的方程化为标准方程得，
∵点在圆上，∴点P为切点．
从而圆心与点P的连线应与切线垂直．
又∵圆心为，设切线斜率为k，
∴，解得．
∴切线方程为．
故选：D.
考点二、过圆外一点的切线问题
1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为
【答案】或
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】圆：即，圆心为，半径，
当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，
解得，所求切线方程为，
综上可得过点与圆相切的直线方程为或.
故答案为：或
2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．
【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为，
则，可得，所以，即；
斜率不存在时，，显然与圆相切，
综上，切线方程为或．
故选：D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出切线方程，然后根据圆心到直线的距离等于半径求出斜率，然后根据几何图形的性质得答案.
【详解】由题可得，圆的圆心为，半径．
易知切线的斜率都存在，
设切线的方程为，即，
圆心到切线的距离，
解得或，
如图，设点在点下方，
，
（提示：由圆的性质可知）．

另法： 由题可得，圆的圆心为，半径．
易知直线是圆的一条切线，不妨设切点为，则．
又（提示：圆的切线的性质），．
故选：A．
1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.
【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外，
，即，则其圆心为，半径为1，
当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去，
则设切线方程为：，即，
则有，解得，此时切线方程为.
故选：C.
2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，
由到切线距离为得，
此时切线方程为即.
故选：C
3．（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出，进而求出即可.
【详解】解法1：如图，圆，即，
则圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，连接.
因为，则，得，
则，即为钝角，且为锐角，
所以.
故选：A.
解法2：如图，圆，即，则圆心，半径，
过点作圆的切线，切点为，连接.因为，则，
因为，
且，则，
即，解得，
即为钝角，且为锐角，则.
故选：A.
解法3：圆，即，则圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，则设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得，
所以，又为锐角，
由解得.
故选：A.
考点三、切点弦方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程.
【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为:
，
化简得：.
故答案为：.
2．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离.
【详解】由图可知，，，
则四点共圆，圆的直径是，点，，
，的中点坐标为，
所以四边形的外接圆的方程为，
即，圆，
两式相减得直线的方程，
则原点到直线的距离.
故选：A
1．（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：利用直线，得出，在中，利用几何关系求出及，进而可求出点到直线MN的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出结果；方法二：利用直线为圆和以AC为直径的圆的公共弦，求出以AC为直径的圆，即可求出结果.
【详解】由题意得直线垂直平分线段，又圆：，所以圆心，，
又由，得直线AC的斜率，所以直线MN的斜率，
可设直线的方程为，又，
在中，，，
得到，则点到直线MN的距离，
即，解得或，
当时，直线MN与圆C相离，不符合题意，所以直线MN的方程为．

一题多解 因为分别是圆C的切线，所以，
所以点在以AC为直径的圆上．因为，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为
故以为直径的圆的方程为，又因为圆C：，
所以直线MN的方程为，化简得，
故选：B．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程
【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为：
，
化简得：.
故答案为：.
考点四、切线长
1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解.
【详解】
由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为，
设点到圆心的距离为，则有，所以，
所以取最小值时，取得最小值，
因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，
所以，故的最小值为.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【详解】连接，则，
而的最小值为点C到直线l的距离，
所以.
故选：A.
1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.
【详解】由圆的方程，得圆心，半径，
如图，切线长，当最小时，最小，
最小值为圆心到直线的距离，
所以切线长的最小值.
故选：C.

2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】求出切线长，得出最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得.
【详解】连接，则，当最小时，最小，
又圆的圆心为，半径为，
则，故的最小值为.
故选：C.
考点五、圆中的公切线问题（含根轴）
1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.
【详解】由题知，两圆半径，
所以，
故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，
当直线过的中点，且与垂直时，
因为，所以直线的方程为，即；
当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
故选：ABC．
1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．
【答案】
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，
因为，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆化为一般式得：
，，
两式相减得，即，
所以圆的公切线的方程为.
故答案为：
2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ．
【答案】
【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程.
【详解】设圆的圆心为，半径为，则，，
设圆的院系为，半径为，则，，
所以，所以两圆内切.
联立方程，解得，
所以两圆的公切线方程为.
故答案为：.
考点六、圆系方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 .
【答案】
【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线.
【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上，
设圆的切线为，即，
所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为.
故答案为: .
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可设经过点，的圆的方程，化简整理可得圆心为，圆和圆方程相减，求出直线的方程，再把圆心代入直线的方程求出的值即可．
【详解】由题意可设经过点的圆的方程为，
整理得，则圆心为．
圆①，圆②，
由①-②得，，即直线的方程为．
因为为直径，圆心在直线上，所以，解得，
故以为直径的圆的方程为．
故答案为：．
1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，）
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．两圆有两条公切线与
【答案】CD
【分析】
根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到为两圆的公切线，得到关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确.
【详解】
对于A中，圆系方程（其中，）此时不含圆M，所以A错误．
对于B选项，联立方程组，
两式相减得到直线AB的方程为，所以B错误．
对于C中，原点O到直线AB的距离为，
根据勾股定理得，所以C正确．
对于D中，由圆，可得，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
又由圆，可得圆心，半径为，
可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，
则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，
由和，可得两圆心所在直线为，即，
联立方程组，解得，即交点坐标为，
在直线上任取一点，
设点关于直线对称点为，可得，
解得，即对称点的坐标为，
所求的另一条切线过点，，可得其方程为，
故所求切线方程为或，所以D正确.
故选：CD.

一、单选题
1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可.
【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程，
易知圆心，半径，所以到的距离为，
解之得，即切线.
故选：A
2．（2023高三·全国·专题练习）过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据圆的切线的特点求出的长，然后得出以为圆心，长为半径的圆的方程，两圆的交点就是、，再把两圆的方程作差即可求出直线的方程.
【详解】把（1）
转化为，圆心，半径，
则，，
圆的方程为（2），
（1）（2），得．
故选：B.
二、填空题
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知，，则切线斜率，
所以切线方程为，整理为．
故答案为：
4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则 ．
【答案】
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，即可得解.
【详解】如图所示，设圆心为点，则，
，则点在圆上，且，
由与圆相切可得，所以切线方程为，
令，解得，故，
所以
故答案为：.
5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
设切点为，因为，可得，
所以切线长为.
故答案为：.
6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ．
【答案】（或写为）
【分析】分析可知，点在圆上，根据圆的几何性质可知，求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角.
【详解】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，则，故.
即直线的倾斜角为（或）.
故答案为：（或写为）.
7．（2023·江西·二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程： .
【答案】或
【分析】由题可知两圆相交，两圆有2条公切线，求出切线与两圆圆心连线的交点，点斜式设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径，计算即可.
【详解】圆圆心，半径，
圆圆心，半径，
由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为，
如图所示，
则 ，即，所以，
解得，所以，
设公切线l︰，所以圆心到切线l的距离 ，解得 ， 所以公切线方程为，即或.
故答案为：或
8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
【答案】（或或，写出一个即可）
【分析】根据题意，得到圆与圆相外切，将两圆的方程相减，求得其中一条公切线的方程，再由圆与圆的半径相等，得到外公切线与平行，求得，设，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可得到公切线的方程.
【详解】由题意得，圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
因为，可得，所以圆与圆相外切，
将两圆的方程相减，可得，此方程为圆与圆的公切线，
又由圆与圆的半径相等，故外公切线与直线平行，
因为，所以圆C与圆D的外公切线的方程可设为，
即，则，解得或，
所以两条外公切线的方程为或，
综上所述，圆C与圆D公切线的方程为或或.
故答案为：或或.

9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为 .
【答案】或
【分析】若直线斜率存在，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解, 若直线斜率不存在，直接验证可得答案.
【详解】圆的方程为，即.
因为，所以点P在圆外，
若直线斜率存在，设切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以，解得.
所以切线方程为，
若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意.
综上过点的圆的切线方程为或
故答案为：或
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程．
【答案】
【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，
其圆心，半径，
，∴这两圆外切，
∴，
可得，
∴所求的两圆内公切线的方程为：．
一、单选题
1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.
【详解】
由两圆方程得：圆心，，半径，
两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；
两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，
经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，
，解得：或，即公切线方程为：或；
，与平行的公切线方程为，即，
，解得：，即公切线方程为或；
综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.
故选：C.
2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式、四边形的性质进行求解即可.
【详解】化为标准方程为，
所以，圆的半径为，设：，
由直线与圆相切得，解得，：，
令得，
若，交于点，且，设原点为，
因为，，
所以四边形对角互补，点，，，都在圆上，
点为线段的中点，，直线的方程为，
到直线的距离为；
若，设与轴交于点，
四边形是等腰梯形，对角互补，点，，，都在圆上，
此时点既在线段的垂直平分线上，
又在线段的垂直平分线上，所以，
此时直线的方程为，
到直线的距离为，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的切线性质、四点共圆的性质.
3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.
【详解】设点P的坐标为，如图所示：
由可知：，而，∴
∴，整理得，即.
∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，
只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得.
故选：D
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】把四边形面积转化为和的面积的和，而和均为直角三角形且面积相等，进而面积的最小值转化为求最小，由此求得答案.
【详解】圆M的方程可化为，
所以x轴与圆M相离.
又，且和均为直角三角形，
，为圆的半径，且，
所以面积的最小值转化为求最小，
当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值，
此时，所以四边形面积最小值为.
故选：B.

5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由题意确定当三点线时，最大，进而得到即可得解.
【详解】
，当最大时，也即取最大，
因为，在直角三角形中，当最短时，最大，
又，当且仅当三点线时最小，
此时，，
所以直线的斜率为.
故选：.
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C：，P是直线l:上的一个动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1
C．的最小值为 D．直线AB恒过定点
【答案】BCD
【分析】用点到直线的距离可判断A，由圆的切线长可判断B，用面积法可判断C，两圆联立得直线方程，可判断D.
【详解】如图，由圆C：，可知圆心，半径．
对于A，圆心到直线l：的距离为，
则圆上任意一点到直线l的距离的取值范围为．
而，所以圆C上有两个点到直线l的距离为．故A错误．
对于B，由圆的性质可得切线长，
所以当最小时，最小．故B正确．
对于C，四边形ACBP的面积，
，而，故．故C正确．
对于D，设，因为PA，PB为过点P的圆C的切线，
所以点A，B在以PC为直径的圆D上．
圆D上任意一点满足，
则以PC为直径的圆为，
即，与圆C：联立，
两式相减得直线AB的方程为．
由得即直线AB恒过定点．故D正确．
故选：BCD.

7．（2023·广西·模拟预测）已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．圆上有2个点到直线的距离等于1
C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点
【答案】ABD
【分析】A、B应用点线距离公式求圆心到直线的距离，结合圆的半径，判断直线与圆的位置及点到直线的距离等于1的个数；C由圆切线性质求最小切线长；D设点，写出以为直径的圆，结合已知圆求公共弦的方程为，进而求定点即可判断.
【详解】A：圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．正确；
B：圆心到直线的距离，
所以，则圆上有2个点到直线的距离等于1，正确；
C：由切线的性质知，为直角三角形，，
当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，错误；
D：设点，，，所以四点，，，共圆，
以为直径，圆心为，半径，圆的方程为，
又圆：，两圆相减得，所以直线的方程为，
因为点在直线上，所以，
所以，整理得，
由，得，所以直线过定点，正确．
故选：ABD

三、填空题
8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果.
【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以，即两圆外离，故共有4条公切线；
又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线.
设过原点的公切线为，则，即，解得或，
所以公切线为或；
设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1，
则，即，
所以公切线为.
故答案为：或或
9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为
【答案】
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，再利用切线的性质结合已知求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
设点，因为分别切圆，圆于点，且，
于是，则，
整理得，所以动点P的轨迹方程为.
故答案为：
10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用的最小值，即可求解.
【详解】如图，连结，，，和交于点，
，
因为，所以,
设，易知其在为增函数，
则的最小值为圆心到直线的距离，
所以的最小值为，那么的最小值为.
故答案为：
1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

3．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
4．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
5．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
6．（2020·全国·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新Ⅱ卷，第10题,6分 圆中切线问题 切线长 根据抛物线方程求焦点或准线 直线与抛物线交点相关问题
2023年新I卷，第6题,5分 圆中切线问题 给值求值型问题 余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14题,5分 圆的公切线方程 判断圆与圆的位置关系
2021年新I卷，第11题,5分 切线长 直线与圆的位置关系求距离的最值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分
【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解
2.熟练掌握圆系方程的快速求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习
知识讲解
一、圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程(标准方程)
二、常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;
(2)与圆同心圆的圆系方程为:;
2、过线圆交点的圆系
过直线与圆交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为,此圆系不含)
(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
考点一、过圆上一点的切线问题
1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程
2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为 .
2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点二、过圆外一点的切线问题
1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为
2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2023·全国·模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
3．（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
考点三、切点弦方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
2．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
考点四、切线长
1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．3
考点五、圆中的公切线问题（含根轴）
1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．
2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ．
考点六、圆系方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 .
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ．
1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，）
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．两圆有两条公切线与
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则 ．
5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 .
6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ．
7．（2023·江西·二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程： .
8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为 .
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程．
一、单选题
1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．2 D．
5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C：，P是直线l:上的一个动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1
C．的最小值为 D．直线AB恒过定点
7．（2023·广西·模拟预测）已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．圆上有2个点到直线的距离等于1
C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点
三、填空题
8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为
10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ．
1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
4．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
5．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
6．（2020·全国·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
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