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专题1.4 基本不等式及其应用【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 基本不等式及其应用】 2
【题型2 直接法求最值】 3
【题型3 配凑法求最值】 4
【题型4 常数代换法求最值】 4
【题型5 消元法求最值】 4
【题型6 齐次化求最值】 5
【题型7 多次使用基本不等式求最值】 5
【题型8 利用基本不等式解决实际问题】 5
【题型9 与其他知识交汇的最值问题】 8
1、基本不等式及其应用
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解基本不等式的推导过程
(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2020年天津卷：第14题，5分 2021年乙卷：第8题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2023年新高考I卷：第22题，12分 基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.
【知识点1 基本不等式】
1. 两个不等式
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
3．常见的求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成
立；
(3)模型三：，当且仅当时等号成立；
(4)模型四：，当且仅当时
等号成立.
4．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型1 基本不等式及其应用】
【例1】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·湖南长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【题型2 直接法求最值】
【例2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【变式2-1】（2023·北京东城·一模）已知，则的最小值为（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．
【变式2-2】（22-23高三下·江西·阶段练习）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数（）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【题型3 配凑法求最值】
【例3】（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式3-1】（2024·辽宁·一模）已知，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
【变式3-3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【题型4 常数代换法求最值】
【例4】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式4-2】（2024·广东湛江·一模）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·广东广州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【题型5 消元法求最值】
【例5】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【变式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足，则的最小值为 ．
【变式5-2】（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ．
【变式5-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C． D．或3
【变式6-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24 B．25 C． D．
【变式6-2】（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）设，则的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式6-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2023·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．6 D．
【变式7-3】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．
C． D．
【题型8 利用基本不等式解决实际问题】
【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【变式8-1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为.
(1)比较与的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
【变式8-2】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小 并求最小面积.
【变式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
(1)求实数的取值范围；
(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.
【题型9 与其他知识交汇的最值问题】
【例9】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知内接于单位圆，且，
（1）求角
（2）求面积的最大值．
【变式9-1】（23-24高三上·山东青岛·期末）《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.
(1)求证:四棱锥为阳马;
(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.
【变式9-2】（2024·广东珠海·一模）已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【变式9-3】（2024·黑龙江大庆·一模）已知椭圆，过点且离心率为，是椭圆上纵坐标不为零的两点，若且，其中为椭圆的左焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段的垂直平分线在轴上的截距的取值范围．
一、单选题
1．（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数满足，则有最小值4
B．若正实数满足，则
C．的最小值为
D．若，则
7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
8．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知实数，下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则的最小值为4
C．若且，则
D．若，则的最小值为
10．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；
乙：第一次涨幅，第二次涨幅；
丙：第一次涨幅，第二次涨幅.
其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（ ）
A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多
C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多
11．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．的最小值为
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
13．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少.
14．（2024·全国·模拟预测）记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知正实数x，y满足等式．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
16．（2023·全国·模拟预测）已知，且．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
17．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)设，若的最小值为2，求的最小值．
18．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4 . 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.4 基本不等式及其应用【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 基本不等式及其应用】 2
【题型2 直接法求最值】 4
【题型3 配凑法求最值】 5
【题型4 常数代换法求最值】 7
【题型5 消元法求最值】 8
【题型6 齐次化求最值】 9
【题型7 多次使用基本不等式求最值】 11
【题型8 利用基本不等式解决实际问题】 13
【题型9 与其他知识交汇的最值问题】 16
1、基本不等式及其应用
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解基本不等式的推导过程
(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2020年天津卷：第14题，5分 2021年乙卷：第8题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2023年新高考I卷：第22题，12分 基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.
【知识点1 基本不等式】
1. 两个不等式
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
3．常见的求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成
立；
(3)模型三：，当且仅当时等号成立；
(4)模型四：，当且仅当时
等号成立.
4．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型1 基本不等式及其应用】
【例1】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.
【解答过程】因为且，所以或，
对A：若，则，若，则，A错误；
对B：∵，，∴，B错误；
对C：由或，知且，∴，C正确；
对D：当时，有，从而
当，则且，∴，D错误.
故选：C.
【变式1-1】（2023·湖南长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【解答过程】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答过程】若，，，则，充分性成立；
若，可能，，此时，所以必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
【变式1-3】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【解答过程】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C.
【题型2 直接法求最值】
【例2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【解题思路】由基本不等式即可求解.
【解答过程】由题意当时，，等号成立当且仅当.
故选：B.
【变式2-1】（2023·北京东城·一模）已知，则的最小值为（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．
【解题思路】由基本不等式求得最小值．
【解答过程】∵，∴，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
【变式2-2】（22-23高三下·江西·阶段练习）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依题意可得，再利用基本不等式计算可得.
【解答过程】，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
【变式2-3】（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数（）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【解题思路】根据均值不等式即可求得函数最大值.
【解答过程】因为 且，
故可得.
当且仅当，即时取得最大值.
故选：A.
【题型3 配凑法求最值】
【例3】（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.
【解答过程】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：D.
【变式3-1】（2024·辽宁·一模）已知，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【解答过程】由，
，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
【变式3-2】（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
【解题思路】由题意，，，利用基本不等式求解.
【解答过程】因为，所以，
.
当且仅当，即时等号成立，
所以函数有最大值.
故选：D.
【变式3-3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题思路】
根据基本不等式即可求解.
【解答过程】
由于，所以，
由,
（当且仅当时取等号），可得的最小值为3，
故选：D．
【题型4 常数代换法求最值】
【例4】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【解题思路】由不等式“1”的代换求解即可.
【解答过程】因为，所以，
因为，，所以
.
当且仅当，即时取等.
故选：C.
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解题思路】利用基本不等式计算即可.
【解答过程】易知，则
，
当且仅当，即时取得等号.
故选：B.
【变式4-2】（2024·广东湛江·一模）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用不等式，将等式左边转化为因式表示，求解即可.
【解答过程】因为，得：（当且仅当时成立），
即得：，
则，
得：，
所以的最小值为，
故选：A.
【变式4-3】（2023·广东广州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【解题思路】由已知可得，再利用基本不等式求最值可得答案.
【解答过程】因为正实数x，y满足，所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号.
故选：C.
【题型5 消元法求最值】
【例5】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【解题思路】依题意可得，再由基本不等式计算可得.
【解答过程】因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
【变式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足，则的最小值为 ．
【解题思路】运用基本不等式进行求解即可.
【解答过程】由且且a、b异号，
由，
所以，
当且仅当时取等号，
即当或时取等号，
故答案为：.
【变式5-2】（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 4 ．
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】由，
故
，当且仅当时等号成立，
故最小值为4，
故答案为：4.
【变式5-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
【解题思路】
因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】因为为正实数，
故，
即，
，
当且仅当，即，此时，
所以的最小值为.
故答案为：.
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C． D．或3
【解题思路】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果.
【解答过程】由，得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．
故选：B.
【变式6-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24 B．25 C． D．
【解题思路】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【解答过程】因为x，y为正实数，且，所以
，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25.
故选：B.
【变式6-2】（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）设，则的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解题思路】由条件可得利用均值不等式结合符号可得答案.
【解答过程】由，则则且
因为，所以当且仅当时，取得等号.
当时，有
当且仅当，即 时取等号
当时，有
当且仅当，，即 时取等号
综上可得的最小值为5
故选：C.
【变式6-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B.
【题型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2023·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【解题思路】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，，，.
因为 ，
当且仅当，即时等号成立.
所以，，
当且仅当，即时，两个等号同时成立.
所以，.
故选：D.
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【解答过程】因为为非零实数，，，均为正实数，
则
，
当且仅当且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：B．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．6 D．
【解题思路】基本不等式乘1法，构造法解决即可.
【解答过程】，
当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）
所以 ，
当且仅当，即且时，等号成立，
故最小值为，
故选：D.
【变式7-3】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．
C． D．
【解题思路】由题意，根据基本不等式先求解，从而将的最小值转化为的最小值，再利用乘“1”法求解不等式最小值.
【解答过程】因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为的最小值，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：D.
【题型8 利用基本不等式解决实际问题】
【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；
（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：设矩形花园的长为，
因为矩形花园的总面积为，所以，可得，
又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）解：由（1）知，，
则
，当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
【变式8-1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为.
(1)比较与的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
【解题思路】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案.
（2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值.
【解答过程】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元，
由题意得，
，
，
所以.
（2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元，
设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元，
2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
所以.
解法一：
，设，
则，两边平方得，
由得，所以，
当时取等号.
所以，.
所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元.
解法二：
，
当且仅当，即时取等号，
所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元.
【变式8-2】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小 并求最小面积.
【解题思路】（1）由题意知，再代入化简即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【解答过程】（1）由题意，，
.
（2），
当且仅当，即时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
【变式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
(1)求实数的取值范围；
(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.
【解题思路】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.
（2）由题意可得，由基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，
所以，解得：
直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，
所以，解得：,
故实数的取值范围为.
（2）依题意可得：
，
当且仅当，即时取等.
所以当点满足时，最小，最小值为亿元.
【题型9 与其他知识交汇的最值问题】
【例9】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知内接于单位圆，且，
（1）求角
（2）求面积的最大值．
【解题思路】（1）变形已知条件可得，代入可得，可得值；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理和基本不等式可得的取值范围，进而可得面积的最值．
【解答过程】解：（1）
，
，
（2）得外接圆为单位圆，
其半径
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入数据可得
，
，当且仅当时取等号，
得面积，
面积的最大值为：.
【变式9-1】（23-24高三上·山东青岛·期末）《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.
(1)求证:四棱锥为阳马;
(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.
【解题思路】(1)按照题目定义，只要证明面即可，而由，即可证出面；
(2)先根据基本不等式求出当时，鳖膈体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角的余弦值．
【解答过程】(1)∵底面，面
∴
又，
∴面，
又四边形为矩形
∴四棱锥为阳马．
(2)∵，，∴
又∵底面，
∴
当且仅当时，取最大值
∵，底面
∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系
，，
，，
设面的一个法向量
由得
同理得
∴
二面角的余弦值为．
【变式9-2】（2024·广东珠海·一模）已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【解题思路】（1）由得出，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.
【解答过程】（1），，，
，
由正弦定理得，整理得，
，
，；
（2）在中，，，
由余弦定理知，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，，
，因此，面积的最大值为.
【变式9-3】（2024·黑龙江大庆·一模）已知椭圆，过点且离心率为，是椭圆上纵坐标不为零的两点，若且，其中为椭圆的左焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段的垂直平分线在轴上的截距的取值范围．
【解题思路】（1）由离心率和椭圆过点，得到关于的方程，解出的值，得到答案；
（2）由且得三点共线，设方程为，与椭圆联立，得到，并得到交点的中点坐标，从而表示出弦的垂直平分线的方程，得到与轴的坐标，由基本不等式，得到其范围.
【解答过程】（1）由已知，得
，解得
故椭圆的方程为
（2）是椭圆上纵坐标不为零的点，
且
三点共线，且直线的斜率存在且不为0.
又，则设方程为
代入，
整理得
显然，
设，中点为.
，
直线的垂直平分线方程为.
令，得，
当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时，等号成立.
或，
或
所以所求的取值范围是.
一、单选题
1．（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为，，且，
由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；
由基本不等式知，则，
即（当且仅当时取等号），B正确；
由题得，
由已知，故，所以，
故，C正确；
由基本不等式可得，
即（当且仅当时取等号），D错误.
故选：D.
2．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用基本不等式即可得解.
【解答过程】由题意知，所以，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.
【解答过程】对A：由，故，即，故A错误；
对B：由，，则，且，
当且仅当时，等号成立，故，故B正确；
对C：由，故，即有，
又由B可得，即，故C错误；
对D：由，故，即，故D错误.
故选：B.
4．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】根据题意可得，利用基本不等式求解.
【解答过程】由可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为.
故选：A.
5．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.
【解答过程】因为
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
6．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数满足，则有最小值4
B．若正实数满足，则
C．的最小值为
D．若，则
【解题思路】对于A，利用即可证明，再给出取等的情况即可得到A正确；对于B，利用即可证明，得到B正确；对于C，利用换元法与对勾函数单调性判断；对于D，验证当，时不等式不成立，得到D错误.
【解答过程】对于A，若正实数满足，则，而当时，有，，从而的最小值是，故A正确；
对于B，若正实数满足，则，故B正确；
对于C，设，则，由对勾函数单调性得最小值是，故C正确；
对于D，当，时，有，但，故D错误.
故选：D.
7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
【解题思路】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【解答过程】由题意得，，
因为，故，，
即，
故选：B.
8．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【解题思路】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得.
【解答过程】因为，所以，，
又，
所以，即，
因为，，所以，所以，所以，
又，即，
所以，所以，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
则实数的最大值为.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知实数，下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则的最小值为4
C．若且，则
D．若，则的最小值为
【解题思路】根据题意，由基本不等式代入计算，即可判断ABD，举出反例即可判断C
【解答过程】
，
当时，
，
当且仅当，时取等号，故选项A正确；
由，，可得，
当且仅当，即，时，
等号成立，故选项B正确；
取，时，不成立，故选项C错误；
，设，，
则且，，
则，
当且仅当，即时取等号，故选项D正确，
故选：ABD．
10．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；
乙：第一次涨幅，第二次涨幅；
丙：第一次涨幅，第二次涨幅.
其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（ ）
A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多
C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多
【解题思路】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.
【解答过程】方案甲：两次涨幅后的价格为：；
方案乙：两次涨幅后的价格为：；
方案丙：两次涨幅后的价格为：；
因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立，
故，因为，所以，，
所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，
故选：.
11．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．的最小值为
【解题思路】利用基本不等式可判断各选项.
【解答过程】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；
B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；
C选项：由，得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；
D选项：由A的分析知且，时取等号，
所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确；
故选：ABD．
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
【解题思路】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【解答过程】由，得，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
13．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少.
【解题思路】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果.
【解答过程】由题知，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为 ．
【解题思路】由题意可确定与的不等关系，结合基本不等式即可得最值.
【解答过程】因为，所以，，
又都是正实数，所以，所以，即，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故答案为：．
四、解答题
15．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知正实数x，y满足等式．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
【解题思路】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）根据条件，，再利用基本不等式求解即可.
【解答过程】（1），即，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为3．
（2），
当且仅当，即，时等号成立，
即．
16．（2023·全国·模拟预测）已知，且．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
【解题思路】（1）通过，，，三式相加，可得：
.
再根据，，∴，，且，可得结果.
（2）先用公式和把原式转化为：
，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值.
【解答过程】（1）因为，
所以，
以上三式相加得，
所以，当且仅当时取等号．
因为，且，所以，，所以，
所以．
故.
（2），
，
当且仅当，时取等号，
的最大值为．
17．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)设，若的最小值为2，求的最小值．
【解题思路】（1）讨论范围，去掉绝对值符号，解不等式即可；
（2）根据三角不等式得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【解答过程】（1）当时，，
当时，解得，故，
当时，无解，
当时，解得，
综上不等式的解集为.
（2）由绝对值不等式的性质可知，
因为的最小值为2，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，也即时取等号，
所以的最小值为4．
18．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4 . 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解题思路】（1）依据题意列出该产品的利润y万元关于年促销费用m万元的解析式即可；
（2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
【解答过程】（1）由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4
则2022年的利润．
（2）∵当时，，
∴，（当且仅当时等号成立）
∴，当且仅当万元时，（万元）．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
19．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明．
【解题思路】（1）运用基本不等式证明即可；
（2）构造，，，采用叠加法即可证明.
【解答过程】（1）因为x，，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，则，
同理由可得，
所以，当且仅当时取等号．
（2）因为x，y，，所以，，，
以上三式相加得，
所以，当且仅当时取等号．
因为x，y，，且，所以，，
所以，，所以．
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