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专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】
【新高考专用】
【题型1 终边相同的角】 4
【题型2 象限角】 5
【题型3 弧度制及其应用】 6
【题型4 任意角的三角函数的定义及应用】 9
【题型5 三角函数值符号的判定】 10
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解任意角的概念和弧度制
(2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性
(3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 2023年北京卷：第13题，5分 2024年北京卷：第12题，5分 任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察任意角的概念、三角函数的概念，一般以选择题、填空题的形式出现，试题比较简单.
【知识点1 三角函数的基本概念】
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
4．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；
②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离
为r.则=，=，=.
【知识点2 任意角和弧度制的解题策略】
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集
合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【知识点3 三角函数的定义及应用的解题策略】
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角
的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各
象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【题型1 终边相同的角】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用终边相同角的定义即可求得与的终边相同的角.
【解答过程】与的终边相同的角为.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高一上·内蒙古·期末）若角与角的终边相同，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据观察选项得答案.
【解答过程】由已知
观察选项可得只有，所以可能是.
故选：D.
【变式1-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合.
【解答过程】由题意知角的终边在直线上，
故或，
即或，
故角的取值集合为.
故选：C.
【变式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角终边相同的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意设，解出即可；
【解答过程】设，
解得，
所以与角终边相同的角的集合为，
故选：D.
【题型2 象限角】
【例2】（2024·全国·模拟预测）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据象限角的概念判断即可.
【解答过程】若是第一象限角，则，
，则是第四象限角，故D错误；
，则是第一象限角，故A错误；
，则是第二象限角，故B错误；
，则是第三象限角，故C错误.
故选：C.
【变式2-1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解题思路】，再根据终边相同的角的集合，判断是第几象限角，即可求出结果.
【解答过程】因为，又是第三象限角，
所以是第三象限角，
故选：C.
【变式2-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解题思路】先确定点P在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线，即可得出答案.
【解答过程】，，即，
故点P在第四象限，即角的终边在第四象限，
的终边为角终边的反向延长线，那么的终边在第二象限．
故选：B．
【变式2-3】（2024·贵州·模拟预测）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.
【解答过程】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A.
【题型3 弧度制及其应用】
【例3】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.
【解答过程】显然为等腰三角形，，
则，，又，
所以，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C.
【变式3-1】（2024·新疆克拉玛依·三模）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（ ）米．
A． B． C． D．
【解题思路】由已知结合弧长公式可求，进而可得答案．
【解答过程】根据题意作出下图，弧的长为，，
所以．
故选：C．
【变式3-2】（2024·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】根据弧田面积可求得，利用勾股定理可构造方程求得半径，并根据长度关系得到圆心角弧度数，利用扇形弧长公式可求得结果.
【解答过程】如图，

由题意得：，
弧田面积，解得：.
设圆半径为，则有，即，解得：，
，则在中，，，
所求弧长为.
故选：D.
【变式3-3】（2023·浙江嘉兴·二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
【解题思路】利用圆心角所对应的弧长是即可求解.
【解答过程】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为，
的圆心角所对应的弧长就是圆周长，
的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：，
.
当为5000古希腊里，，即时，
古希腊里.
故选：B.
【题型4 任意角的三角函数的定义及应用】
【例4】（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A． B．4 C． D．1
【解题思路】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
【解答过程】始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点，
则，且，解得．
故选：D．
【变式4-1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角函数的定义求解.
【解答过程】根据题意，
由三角函数的定义得.
故选：A.
【变式4-2】（2023·河南开封·三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角函数的定义先解得，再求正切值即可.
【解答过程】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，
故，所以.
故选：B.
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.
【解答过程】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限，
所以，，.
故选：A.
【题型5 三角函数值符号的判定】
【例5】（2024·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.
【解答过程】因为是第二象限角，所以，，
进而硧定，.
所以点在第四象限.
故选：D.
【变式5-1】（2023·四川宜宾·三模）已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据定义求出，然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【解答过程】因为角的终边上一点的坐标且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，，，，
选项A，，故选项A正确；
选项B，，因为的正负不知，故选项B错误；
选项C，，因为的正负不知，故选项C错误；
选项D，，因为的正负不知，故选项D错误；
故选：A.
【变式5-2】（2023·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】利用诱导公式化简再确定象限.
【解答过程】由题意知：，，进而得到，，
所以点（，）位于第三象限.
故选：C.
【变式5-3】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【解答过程】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用任意角的定义与集合所表示的角即可得解.
【解答过程】因为，
所以集合中的最大负角为.
故选：C.
2．（2024·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】借助的值，直接分别判断充分性和必要性.
【解答过程】由角的终边在同一条直线上，得，
即，所以.
反之，由，得，
当为偶数时，角的终边在同一条射线上；
当为奇数时，角的终边在同一条直线上.
综上，“角的终边在同一条直线上”是“”的充要条件.
故选 ：C.
3．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.
【解答过程】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
4．（2024·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0 B． C． D．
【解题思路】由三角函数的定义即可求得，从而得到结果.
【解答过程】由题意可得，则，所以，
所以.
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积.
【解答过程】
延长与交于点．由，，得，．
因为所对的圆心角为直角，所以，．
所以该梅花砖雕的侧面积，
扇环的面积为，
则该梅花砖雕的表面积．
故选：C．
6．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．11 B． C．10 D．
【解题思路】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得的值，代入计算即可.
【解答过程】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点，
所以，，
所以.
故选：B.
7．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【解题思路】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【解答过程】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故选：C.
8．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.
【解答过程】显然为等腰三角形，，则，，
即，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是终边相同的角
B．若角的终边过点，则
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若，则角的终边在第一象限或第三象限
【解题思路】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.
【解答过程】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；
对于B：，当时，，故B错误；
对于C：由，得，故C正确；
对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD.
10．（2023·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【解题思路】根据三角函数的定义及已知列方程求参数x即可.
【解答过程】由题设，故，整理得，
所以或.
故选：BC.
11．（2023·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
【解题思路】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.
【解答过程】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，故选项正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，
故选：.
三、填空题
12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是
平方厘米．
【解题思路】根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得．
【解答过程】时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积（平方厘米）．
故答案为：.
13．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
【解题思路】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.
【解答过程】由题设知，
即，且，
即，且，
解得，
故答案为：.
14．（2023·广东佛山·一模）若点关于原点对称点为，写出的一个取值为 （答案不唯一，，均可以） .
【解题思路】根据、关于原点对称，所以两角的终边在一条直线上，得：，.再令随意取值，可得结论.
【解答过程】∵和关于原点对称.
∴与的终边在一条直线上.即：，.
∴，.
令得.
故答案为：（满足，即可）.
四、解答题
15．（2024高一下·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
【解题思路】（1）由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得角终边所在区域，分类讨论可得角终边所在的位置；
（2）由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得角终边所在区域，分类讨论可得角终边所在的位置.
【解答过程】（1）由于为第四象限角可知，.
所以
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二、第三或第四象限.
16．（23-24高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素.
【解答过程】（1）解：与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（2）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（3）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得、、，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（4）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，.
所以，适合不等式的元素为、、.
17．（23-24高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合．
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
（2）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案.
【解答过程】（1）

如图1，为直线与单位圆的两个交点，可知，.
设的终边落在射线上，的终边落在射线上，，
根据三角函数的定义可知，，，，
所以，，.
又当的终边落在射线或上时，有，
所以，满足条件的的集合为 .
（2）

如图2，为直线与单位圆的两个交点，可知，.
设的终边落在射线上，的终边落在射线上，，
根据三角函数的定义可知，，，，
所以，，.
根据图2可知，当，且时，有.
所以，当时，由可得，.
18．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P．
(1)如图，若，求点P的坐标；
(2)若点P的横坐标为，求的值．
【解题思路】（1）过点作于点，则，求得即可得出的坐标；
（2）由题意设，结合条件求出的坐标，利用三角函数的定义求出.
【解答过程】（1）
过点作于点，
若，则，
又，则，
由题意点在第四象限，所以的坐标为.
（2）由题意设，
∵点在单位圆上，且在x轴下方，
∴，且，解得，
∴.
19．（2024·上海黄浦·二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
【解题思路】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式；
（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论.
【解答过程】（1）解：根据题意，可算得，．
因为，所以，
所以，.
（2）解：根据题意，可知
，
当时，.
综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】
【新高考专用】
【题型1 终边相同的角】 4
【题型2 象限角】 4
【题型3 弧度制及其应用】 5
【题型4 任意角的三角函数的定义及应用】 6
【题型5 三角函数值符号的判定】 7
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解任意角的概念和弧度制
(2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性
(3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 2023年北京卷：第13题，5分 2024年北京卷：第12题，5分 任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察任意角的概念、三角函数的概念，一般以选择题、填空题的形式出现，试题比较简单.
【知识点1 三角函数的基本概念】
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
4．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；
②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离
为r.则=，=，=.
【知识点2 任意角和弧度制的解题策略】
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集
合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【知识点3 三角函数的定义及应用的解题策略】
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角
的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各
象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【题型1 终边相同的角】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24高一上·内蒙古·期末）若角与角的终边相同，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角终边相同的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 象限角】
【例2】（2024·全国·模拟预测）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【变式2-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【变式2-3】（2024·贵州·模拟预测）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型3 弧度制及其应用】
【例3】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·新疆克拉玛依·三模）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（ ）米．
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（ ）

A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·浙江嘉兴·二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里 B．40000古希腊里
C．45000古希腊里 D．50000古希腊里
【题型4 任意角的三角函数的定义及应用】
【例4】（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A． B．4 C． D．1
【变式4-1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·河南开封·三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 三角函数值符号的判定】
【例5】（2024·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式5-1】（2023·四川宜宾·三模）已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·河南·模拟预测）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式5-3】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．11 B． C．10 D．
7．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
8．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是终边相同的角
B．若角的终边过点，则
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若，则角的终边在第一象限或第三象限
10．（2023·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
11．（2023·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
三、填空题
12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是
平方厘米．
13．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
14．（2023·广东佛山·一模）若点关于原点对称点为，写出的一个取值为 .
四、解答题
15．（2024高一下·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
16．（23-24高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．（23-24高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合．
(1)；
(2)．
18．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P．
(1)如图，若，求点P的坐标；
(2)若点P的横坐标为，求的值．
19．（2024·上海黄浦·二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
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