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专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式【五大题型】
【新高考专用】
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】 3
【题型2 诱导公式的应用】 3
【题型3 三角函数式的化简、求值】 4
【题型4 三角恒等式的证明】 4
【题型5 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】 5
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解同角三角函数的基本关系式，，
(2)掌握诱导公式，并会简单应用 2022年浙江卷：第13题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第14题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第13题，5分 2024年新课标I卷：第4题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第9题，5分 同角三角函数关系式与诱导公式是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、同角三角函数关系式与诱导公式综合等内容，考查较为灵活，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下.
【知识点1 同角三角函数的基本关系】
1．同角三角函数的基本关系
基本关系式 语言描述
平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
2．基本关系式的变形公式
【知识点2 同角三角函数基本关系式的应用技巧】
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
(2)形如等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
【知识点3 诱导公式的应用的解题策略】
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进
行运算.如.
【知识点4 同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略】
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2024·海南·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·山西·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·三模）已知方程，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 诱导公式的应用】
【例2】（2024·河南信阳·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
【题型3 三角函数式的化简、求值】
【例3】（2023·云南大理·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·四川遂宁·模拟预测）已知为第二象限角，若则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 三角恒等式的证明】
【例4】（23-24高一·全国·课后作业）设.求证：.
【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）求证：
(1)＝；
(2)
【变式4-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
【变式4-3】（23-24高一·全国·随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【题型5 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】
【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式5-1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）在①；②；③的终边关于轴对称，并且这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题.
已知第四象限角满足__________，求下列各式的值.
(1)
(2)
【变式5-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【变式5-3】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.
(1)求的值；
(2)记点的横坐标为，若，求的值.
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东泰安·模拟预测）已知且，则（ ）
A． B． C． D．3
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·青海西宁·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·辽宁·三模）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．3
8．（2023·山西·模拟预测）已知均是锐角，设的最大值为，则=（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
11．（2024·辽宁·模拟预测）设为第一象限角,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角的终边经过点，则的值为 .
13．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ．
14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若，则 ．
四、解答题
15．（2024·福建三明·模拟预测）已知.
（1）求的值；
（2）若，且是第三象限角，求的值.
16．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）化简求值.
(1)化简:;
(2)已知:，计算:.
17．（2024·全国·模拟预测）已知
求的值；
求的值.
18．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求的值；
（2）若，且角终边经过点，求的值
19．（2023·河南·三模）已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
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【新高考专用】
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】 3
【题型2 诱导公式的应用】 5
【题型3 三角函数式的化简、求值】 6
【题型4 三角恒等式的证明】 7
【题型5 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】 9
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解同角三角函数的基本关系式，，
(2)掌握诱导公式，并会简单应用 2022年浙江卷：第13题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第14题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第13题，5分 2024年新课标I卷：第4题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第9题，5分 同角三角函数关系式与诱导公式是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、同角三角函数关系式与诱导公式综合等内容，考查较为灵活，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下.
【知识点1 同角三角函数的基本关系】
1．同角三角函数的基本关系
基本关系式 语言描述
平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
2．基本关系式的变形公式
【知识点2 同角三角函数基本关系式的应用技巧】
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
(2)形如等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
【知识点3 诱导公式的应用的解题策略】
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进
行运算.如.
【知识点4 同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略】
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2024·海南·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．
【解答过程】∵，∴，即，∴，
∴，得，∴，
∴或，
∵，且，∴由三角函数定义知，
∴，故．
故选：D.
【变式1-1】（2023·山西·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【解答过程】由题意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因为，可得，
所以.
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【解题思路】在直线任取与原点不重合的点，根据三角函数定义得，然后利用诱导公式和基本关系式化为齐次式求解可得.
【解答过程】因为角的终边在直线上，
任取，，所以，
所以
.
故选：C．
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·三模）已知方程，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，变形为，得到，再由，利用商数关系求解.
【解答过程】解：因为方程，
所以，
即，则或（舍去），
所以，
所以，
，
故选：B.
【题型2 诱导公式的应用】
【例2】（2024·河南信阳·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式计算即得.
【解答过程】由，得.
故选：B.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.
【解答过程】由题意得，则，
故
.
故选：D.
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角函数的定义可求出的值，再根据诱导公式求解即可.
【解答过程】因为角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：D.
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.
【解答过程】令，则，
从而
.
故选：A.
【题型3 三角函数式的化简、求值】
【例3】（2023·云南大理·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.
【解答过程】因为，则
,
故选:D．
【变式3-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.
【解答过程】因为，
所以角的终边在第二象限，
又因为
，
且，
所以.
故选：B.
【变式3-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由正弦展开式和三角函数化简求值得出.
【解答过程】，
所以，
所以，
解得．
故选：D.
【变式3-3】（2023·四川遂宁·模拟预测）已知为第二象限角，若则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案.
【解答过程】由，则，
由为第二象限角，则，所以.
故选：A.
【题型4 三角恒等式的证明】
【例4】（23-24高一·全国·课后作业）设.求证：.
【解题思路】由题意从所求式子的左边出发，把作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基本关系进行化简即可证得右边.
【解答过程】证明：左边
把代入，得原式右边，故原等式成立.
【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）求证：
(1)＝；
(2)
【解题思路】（1）将左边化为，进而结合同角三角函数的平方关系进行证明；
（2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.
【解答过程】（1）左边=
=右边.
（2）左边=
=右边.
【变式4-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【解答过程】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
【变式4-3】（23-24高一·全国·随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】（1）利用平方差公式及证明.
（2）利用提取公因式及证明.
（3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明.
【解答过程】（1）.
故成立.
（2）
故成立.
（3）
.
故成立.
【题型5 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】
【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解题思路】（1）利用三角函数定义求出，再利用诱导公式化简并代入求值.
（2）求出，利用诱导公式及齐次式法求值.
【解答过程】（1）依题意，，则，，，
所以原式.
（2）由（1）知，，
所以原式.
【变式5-1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）在①；②；③的终边关于轴对称，并且这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题.
已知第四象限角满足__________，求下列各式的值.
(1)
(2)
【解题思路】（1）选条件①时，根据诱导公式，将原式化简，得到；选条件②，根据同角三角函数基本关系，求出；选条件③时，根据角的终边对称，得到，，求出，再利用同角三角函数基本关系，将弦化切，即可得出结果；
（2）先将所求式子化为，再将弦化切，即可得出结果.
【解答过程】（1）选①，，
得，则．
则；
选②，是第四象限角，所以，，
又，则，
可得，，则．
则；
选③，是第四象限角，则，，
又因为，的终边关于轴对称，
则，．
又因为，
所以，即．
则；
（2）由上可知选择①、②、③都可得，
．
【变式5-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【解题思路】（1）由诱导公式化简即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；
（3）由已知求出，结合的范围，由诱导公式即可求出的值.
【解答过程】（1）
（2）因为，所以为第三象限角或第四象限角.
当为第三象限角时，；
当为第四象限角村，.
（3）因为，所以.
因为，所以.
故.
因此.
【变式5-3】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.
(1)求的值；
(2)记点的横坐标为，若，求的值.
【解题思路】（1）由题意可得，进而利用诱导公式化简、求解；
（2）由题意可得：，进而可知，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解.
【解答过程】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，
所以，
所以
；
（2）由（1）可知，且为锐角，可得，
根据三角函数定义可得：，
因为，且，
因此，所以
所以
.
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】根据切弦互化法计算即可求解.
【解答过程】因为，
所以．
故选：B．
2．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【解答过程】由，可得，
可得
则，
因为，所以与异号，可得为第二或第四象限，
当为第二象限角时，可得；
当为第四象限角时，可得.
故选：C.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【解答过程】.
故选：C.
4．（2024·山东泰安·模拟预测）已知且，则（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】由诱导公式可得，根据平方关系，再根据商数关系得.
【解答过程】由诱导公式得，
所以，
又因为，
所以，
所以.
故选：B.
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为，
所以，
则，
所以.
故选：B.
6．（2024·青海西宁·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可得，根据齐次式法可得，即可得结果.
【解答过程】因为，可得，
可得，
所以.
故选：A.
7．（2024·辽宁·三模）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
【解答过程】，
故选：D.
8．（2023·山西·模拟预测）已知均是锐角，设的最大值为，则=（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得，然后由求解即可
【解答过程】由基本不等式可得，，，
三式相加，可得，
当且仅当均为时等号成立，
所以，
则．
故选：B.
二、多选题
9．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.
【解答过程】角的终边与单位圆交于点，
，，，
当时，；
当时，．
故选：AC.
10．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
【解题思路】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.
【解答过程】因为角的终边过点，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，
所以角的集合是，故A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因为，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
故选：ABC.
11．（2024·辽宁·模拟预测）设为第一象限角,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.
【解答过程】由题意得,
则,
若在第四象限,则,
所以也是第一象限角,即,,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.
故选:BD.
三、填空题
12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角的终边经过点，则的值为 .
【解题思路】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果．
【解答过程】因为角的终边过点，
所以，
所以，则，
故答案为：.
13．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ．
【解题思路】利用同角三角函数之间的基本关系可得，将表达式利用平方和关系为1化简可得结果.
【解答过程】由可得，即；
所以
将代入计算可得；
即.
故答案为：.
14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若，则 ．
【解题思路】利用角的变换，以及诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.
【解答过程】，
因为x是第二象限角，若，所以是第一象限角，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·福建三明·模拟预测）已知.
（1）求的值；
（2）若，且是第三象限角，求的值.
【解题思路】（1）首先利用诱导公式，以及利用齐次分式化简为正切形式，再代入求值；（2）根据（1）的结果，解方程，求得，再利用同角基本关系式求的值.
【解答过程】解：（1）因为，
所以；
（2）由，得，所以，
又且是第三象限角，可得，
所以.
16．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）化简求值.
(1)化简:;
(2)已知:，计算:.
【解题思路】（1）由正弦、余弦的诱导公式化简，然后由平方关系变形可得．
（2）根据给定条件，利用正余弦的齐次式法计算即得．
【解答过程】（1）
.
（2）由，得
.
17．（2024·全国·模拟预测）已知
求的值；
求的值.
【解题思路】（1）作的平方可得,则,由的范围求解即可；
（2）先利用降幂公式和切弦互化进行化简,得原式,将与代入求解即可
【解答过程】（1）由题,,
则,
因为
又,则,所以
因此,
（2）由题,
,
由（1）可,代入可得原式.
18．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求的值；
（2）若，且角终边经过点，求的值
【解题思路】（1）由平方可解得，利用诱导公式化简，从而可得结果；（2）结合（1）利用得，，由角终边经过点，可得，原式化为，从而可得结果.
【解答过程】（1）∵，∴，
即，
∴
（2）由（1）得，
又，，
，
又角终边经过点，
.
19．（2023·河南·三模）已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
【解题思路】（1）先利用诱导公式对式子进行化简，再根据角的终边经过的点求出，即可求解；
（2）先根据是第二象限角，判断出的符号，进而根据三角函数定义求出，再对式子进行化简代入即可求解.
【解答过程】解：（1）,
,
即
.
又角的终边经过点()，
，
故；
（2）是第二象限角，
，
则，
，
.
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