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专题4.3 三角恒等变换【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 两角和与差的三角函数公式】 3
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】 3
【题型3 辅助角公式的运用】 4
【题型4 角的变换问题】 4
【题型5 三角函数式的化简】 5
【题型6 给角求值】 5
【题型7 给值求值】 6
【题型8 给值求角】 6
【题型9 三角恒等变换的综合应用】 7
1、三角恒等变换
考点要求 真题统计 考情分析
(1)会推导两角差的余弦公式
(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
(3)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 (4)能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 2022年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2023年新课标I卷：第8题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第7题，5分 2024年新课标I卷：第4题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第13题，5分 三角恒等变换是三角函数的重要工具，是高考数学的热点、重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考察三角函数的化简求值、三角函数的变换等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等，复习时需要同学熟练运用公式，灵活变换.
【知识点1 三角恒等变换思想】
1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
【知识点2 三角恒等变换的应用技巧】
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：，，，，等.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1．给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3．给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．.
2．降幂公式：，.
3．，，.
【题型1 两角和与差的三角函数公式】
【例1】（2024·江西九江·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】
【例2】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·山东泰安·模拟预测）若 ， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（ ）
A．－2 B． C． D．2
【题型3 辅助角公式的运用】
【例3】（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·陕西铜川·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 角的变换问题】
【例4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【变式4-1】（2024·重庆·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·山西·三模）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 三角函数式的化简】
【例5】（2024·全国·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）化简：（ ）
A．4 B．2 C． D．
【变式5-2】（2023·吉林延边·二模）下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2024·重庆·模拟预测）的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 给角求值】
【例6】（2024·辽宁·二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知且．
(1)求，，；
(2)若为锐角，且，求．
【变式6-3】（2024·浙江台州·二模）已知函数.
（ ）求函数的单调递增区间；
（ ）若，求的值.
【题型7 给值求值】
【例7】（2024·河北保定·三模）已知锐角，（）满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·贵州贵阳·二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·辽宁·二模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型8 给值求角】
【例8】（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24高三·全国·期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 .
【变式8-3】（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 .
【题型9 三角恒等变换的综合应用】
【例9】（2024·上海·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的在上单调递减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【变式9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且
(1)求的解析式；
(2)设求函数在内的值域．
【变式9-2】（2023·河南·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)设，求函数的最小值.
【变式9-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积.
一、单选题
1．（2024·四川宜宾·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津北辰·三模）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．若是偶函数，则，
D．在区间上的值域为
二、多选题
9．（2024·河南周口·模拟预测）设，，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2023·辽宁大连·一模）在中，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B．若，则当时，的值域为
C．若在区间上恰有个零点，则
D．若在区间上单调递增，则
三、填空题
12．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则 .
13．（2024·广西南宁·一模）已知，则 ．
14．（2024·安徽·三模）已知，其中，且，则 .
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
16．（2024·湖北·模拟预测）（1）求证：；
（2）求值：.
17．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，且．
(1)求的值；
(2)求的最小值．
18．（2023·山西大同·模拟预测）已知函数（其中），直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
19．（2024·广东广州·模拟预测）若函数，其中.
(1)若，求；
(2)若在区间上没有零点，求的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.3 三角恒等变换【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 两角和与差的三角函数公式】 3
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】 4
【题型3 辅助角公式的运用】 6
【题型4 角的变换问题】 8
【题型5 三角函数式的化简】 10
【题型6 给角求值】 11
【题型7 给值求值】 13
【题型8 给值求角】 15
【题型9 三角恒等变换的综合应用】 18
1、三角恒等变换
考点要求 真题统计 考情分析
(1)会推导两角差的余弦公式
(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
(3)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 (4)能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 2022年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2023年新课标I卷：第8题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第7题，5分 2024年新课标I卷：第4题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第13题，5分 三角恒等变换是三角函数的重要工具，是高考数学的热点、重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考察三角函数的化简求值、三角函数的变换等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等，复习时需要同学熟练运用公式，灵活变换.
【知识点1 三角恒等变换思想】
1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
【知识点2 三角恒等变换的应用技巧】
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：，，，，等.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1．给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3．给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．.
2．降幂公式：，.
3．，，.
【题型1 两角和与差的三角函数公式】
【例1】（2024·江西九江·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，则原等式可化为，化简后求出即可.
【解答过程】令，则，
所以由，
得，
即，
即，得，
所以，
故选：C.
【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据差角公式可得，即可利用同角关系求解.`
【解答过程】由得，解得，
故，结合，故
由于，故 ，
故选：A.
【变式1-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两角和差的余弦公式化简，再根据结合两角差的余弦公式化简即可得解.
【解答过程】由，
得，
故
所以
.
故选：C.
【变式1-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得，进一步结合两角和的正切公式即可得解.
【解答过程】由题意，即，
即，所以.
故选：B.
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】
【例2】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解.
【解答过程】由，，得，，
∴，即，
∴，解得.
又，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【变式2-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由，两边平方相加得到，再利用二倍角的余弦公式求解.
【解答过程】解：因为，
所以，
两式相加得：，即，
化简得，
所以，
故选：A.
【变式2-2】（2024·山东泰安·模拟预测）若 ， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两角和的正切公式化简可得，再由二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系得解.
【解答过程】由 ，得，
所以，即，
所以．
故选：D．
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（ ）
A．－2 B． C． D．2
【解题思路】
根据题意切化弦结合三角恒等变换可得，结合运算求解即可.
【解答过程】由，即，可得，
则，
可得，
因为，即，
可得，
又因为，即，所以．
故选：B．
【题型3 辅助角公式的运用】
【例3】（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【解答过程】由得，即，
所以，
故选：D.
【变式3-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用差角的余弦公式、辅助角公式化简变形即得.
【解答过程】依题意，，
所以.
故选：D.
【变式3-2】（2024·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.
【解答过程】，
其中，
而，
等号成立当且仅当，此时.
故选：B.
【变式3-3】（2024·陕西铜川·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用和差公式、辅助角公式化简得，然后通过整体代换，根据诱导公式和二倍角公式即可求解.
【解答过程】，
.
故选：A.
【题型4 角的变换问题】
【例4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】求出、的范围，利用平方关系求出、，再由求出，结合的范围可得答案.
【解答过程】因为，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，
又由知
又因为，所以.
故选：B.
【变式4-1】（2024·重庆·模拟预测）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，求得，再由的单调性，求得，利用两角差的余弦公式，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【解答过程】由与均为锐角，且，所以，
因为，可得，，
又因为在上单调递减，且，所以，
因为，所以，
所以，
则.
故选：A.
【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用和对和进行转化即可求解.
【解答过程】由题意，
又 ，
故，
即
又均为锐角，所以，
故，
故选：D.
【变式4-3】（2024·山西·三模）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据结合的范围分析可得，，再根据结合的范围分析可得，由结合两角和差公式分析求解.
【解答过程】因为，则，且，
则，可得，，
又因为，则，且，
可得，，
所以
.
故选：D.
【题型5 三角函数式的化简】
【例5】（2024·全国·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可.
【解答过程】
.
故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）化简：（ ）
A．4 B．2 C． D．
【解题思路】利用三角恒等变换的公式求解即可.
【解答过程】.
故选：A．
【变式5-2】（2023·吉林延边·二模）下列化简不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.
【解答过程】A选项，
，所以A选项正确.
B选项，
，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，，D选项错误.
故选：D.
【变式5-3】（2024·重庆·模拟预测）的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幂公式，诱导公式化简求值即可．
【解答过程】
，
故选：A．
【题型6 给角求值】
【例6】（2024·辽宁·二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意得到进而得到，，从而有.
【解答过程】∵，
∴，
则，
，
∴
，
故选A.
【变式6-1】（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【解答过程】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：A.
【变式6-2】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知且．
(1)求，，；
(2)若为锐角，且，求．
【解题思路】
（1）二倍角公式直接求，由的正负判断角的范围，结合解出和的值.
（2）由的值和的范围求出、的值，利用，结合两角差的正弦公式即可求出的值.
【解答过程】（1）解：因为，所以；
又，，，所以，则，，又，且，解得：，.
（2）因为且，所以，，
因为为锐角，，所以，
则
.
【变式6-3】（2024·浙江台州·二模）已知函数.
（ ）求函数的单调递增区间；
（ ）若，求的值.
【解题思路】（1）先用辅助角公式变形函数为，再把带入函数单调递增区间，分离出即可得解；
（2）由，即，根据的范围求出，带入即可得解.
【解答过程】（Ⅰ）
令，
得，，
的单调增区间为，；
（Ⅱ），即，
，，
又，
所以，得
.
【题型7 给值求值】
【例7】（2024·河北保定·三模）已知锐角，（）满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果.
【解答过程】设，其中，，，
当时，，
此时在，有增有减，
又因为，且，所以，所以，
所以.
故选：D.
【变式7-1】（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解.
【解答过程】解法1：由，得，
得，
得，所以，
所以．
解法2：将
展开得，
整理得，
即，
所以．
故选：A.
【变式7-2】（2024·贵州贵阳·二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】拆分角度，再根据和差化积公式求得，由正切二倍角公式即可得所求.
【解答过程】由得
，，
两式相除可得，
所以 .
故选：A．
【变式7-3】（2024·辽宁·二模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，可得，进而可得，再根据两角差的余弦公式化简求出的关系，即可得解.
【解答过程】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B.
【题型8 给值求角】
【例8】（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.
【解答过程】因为，
又因为，，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
因为，所以，
因为，所以.
故选：C.
【变式8-1】（23-24高三·全国·期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.
【解答过程】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，
故选：D.
【变式8-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 （答案不唯一） .
【解题思路】根据题目条件得到和，从而求出，进而求出角的值.
【解答过程】，
故，
，即，
故，
故，即，
则，
则 ，
可取.
故答案为：（答案不唯一）.
【变式8-3】（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 .
【解题思路】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值.
【解答过程】因为，
所以，即
又，，所以，
则可得，则故.
故答案为：.
【题型9 三角恒等变换的综合应用】
【例9】（2024·上海·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的在上单调递减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【解题思路】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间.
（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【解答过程】（1）依题意，
，
当时，，由，得，
所以函数的在上的单调递减区间为.
（2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点，
即函数在只有两个零点，
因此，解得，
所以的取值范围为.
【变式9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且
(1)求的解析式；
(2)设求函数在内的值域．
【解题思路】（1）根据最小正周期确定的值，再根据特殊值求解，即可得函数解析式；
（2）利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型函数的性质求解值域即可.
【解答过程】（1）由周期，，
又得，即，因为，所以，
从而．
（2）由题意，
所以，
因为，所以，
从而，则，所以的值域为．
【变式9-2】（2023·河南·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)设，求函数的最小值.
【解题思路】（1）先把函数化成的形式，在结合诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值；
（2）先化简得表达式，用换元法把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.
【解答过程】（1）因为 .
.
.
（2）因为：，.
所以：.
设，则，且，
所以：，
当时，.
所以的最小值为.
【变式9-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积.
【解题思路】（1）对函数进行化简，用辅助角公式合为一个三角函数，相邻两条对称轴之间的距离为即为半周期，可求出；
（2）由可得，由正弦定理求解即可.
【解答过程】（1）
，
∵，，，
∵，，
∴当时，，当时，，
即的值域为.
（2）由，且，可得，
又由正弦定理知，，∴，
∴，由，
∴.
一、单选题
1．（2024·四川宜宾·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先对进行化简整理，得到，求得结果.
【解答过程】
，
所以.
故选：A.
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案.
【解答过程】，所以，
两边同除，得到，即.
，.
故选：C.
3．（2024·福建泉州·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由两角和与差的三角函数，结合同角三角函数的关系求解．
【解答过程】由，得，
，整理得，
即，由，得，
所以.
故选：D.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角函数恒等变换化简已知可得，再利用诱导公式和二倍角公式求值.
【解答过程】根据题意，
，
而
.
故选：D.
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.
【解答过程】因为，，
所以，，
解得或（舍，
则
.
故选：A.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据和差角公式，结合弦切互化，即可代入化简求解.
【解答过程】由题得，
又，所以，所以，则.
故选:A.
7．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【解答过程】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即 ，
所以，所以．
又，所以．
故选：D.
8．（2024·天津北辰·三模）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．若是偶函数，则，
D．在区间上的值域为
【解题思路】A项，化简函数求出，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出的取值范围；D项，计算出时的范围，即可得出值域.
【解答过程】由题意，
在中，
，
A项，，A正确；
B项，令, 得,
当时,,
所以的图象关于点 对称,故B正确;
C项，是偶函数，
∴, ，
解得：, 故C正确；
D项, 当 时, ,
所以,
所以在区间上的值域为，故D错误.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·河南周口·模拟预测）设，，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【解题思路】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D.
【解答过程】对于A，因为，，则，，故，
所以，正确；
对于B，因为，所以，
而，所以，又，所以，，
所以，错误；
对于C，由得，，所以，
即，因为，，所以，
则或，即或（不合题意，舍去），错误；
对于D，，
因为，所以，
即，即，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：AD.
10．（2023·辽宁大连·一模）在中，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由化简得到，再逐项判断.
【解答过程】解：由，
因为，所以，
所以，
所以，不一定为1，A错；
因为，，
∴，
从而有，所以B正确，
又，所以也不一定等于1，C错；
而，D正确；
故选：BD.
11．（2024·江西·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B．若，则当时，的值域为
C．若在区间上恰有个零点，则
D．若在区间上单调递增，则
【解题思路】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答过程】
，
当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到：
，故A正确；
当时，，当时，，
故，则的值域为，故B错误；
令，，则，，
又，
若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误；
若在区间上单调递增，
则，又，所以，解得，
又，所以，
由可得，
要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
12．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则 .
【解题思路】直接用和差角公式展开再用二倍角公式计算即可.
【解答过程】 .
故答案为：.
13．（2024·广西南宁·一模）已知，则 ．
【解题思路】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得，进而可得.
【解答过程】由题意，，且，故.
故
.
故，.
故答案为：.
14．（2024·安徽·三模）已知，其中，且，则 .
【解题思路】由第一个已知条件得，结合二倍角公式进一步得出，结合第二个已知条件可得关于的方程，由此即可求解.
【解答过程】依题意，，
，
所以，
所以 ，
而，
因为，故，
则，
则，
即，
则
，
解得，故.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
【解题思路】（1）根据及得到，根据半角公式求出，结合同角三角函数关系得到；
（2）先求出，从而求出，利用凑角法求出的值，得到答案.
【解答过程】（1）因为，所以.
又，所以，故.
因为，
所以，
则.
（2）由已知条件，得.
又，所以.
由，得.
所以
.
因为，，所以，所以.
16．（2024·湖北·模拟预测）（1）求证：；
（2）求值：.
【解题思路】（1）先通分，再根据两角差的正弦公式即可得证；
（2）根据（1）结合诱导公式化简即可.
【解答过程】（1）
；
（2）由（1）得：
.
17．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，且．
(1)求的值；
(2)求的最小值．
【解题思路】（1）利用三角形内角和为，结合两角和与差的正弦余弦公式将变形，求解即可；
（2）结合（1）把变形，整理得到关于正切的式子，令，，然后利用不等式求解最小值.
【解答过程】（1）因为，所以，，
在锐角中，因为，
所以，
即，
所以，
在锐角中，，为锐角，所以，
所以；
（2）由（1）知，所以，
即，
所以
，
令，，则，
所以原式
，
当且仅当，即，又，
即或，时等号成立，符合锐角三角形，所以原式的最小值为.
18．（2023·山西大同·模拟预测）已知函数（其中），直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【解题思路】（1）利用三角恒等变换得到，由题意得到函数的最小正周期，从而得到；
（2）先求出，再利用诱导公式得到答案.
【解答过程】（1），
设的最小正周期为，
因为直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，
所以，
因为，所以，解得；
（2），由得，
，
即.
19．（2024·广东广州·模拟预测）若函数，其中.
(1)若，求；
(2)若在区间上没有零点，求的取值范围.
【解题思路】（1）先根据三角恒等变换公式化简函数，再代入求值即可；
（2）整体换元，结合正弦函数图象列不等式，分类求解即可.
【解答过程】（1）因为
，
当，所以，
所以
；
（2）由（1）知，
当时，，
要使在上无零点，
则，，
解得，
则，故，
又，
当时，，
当时，，即，
当时，舍去.
综上：的取值范围为.
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