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专题4.4 三角函数的图象与性质【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 三角函数图象的识别及应用】 3
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 5
【题型3 三角函数的奇偶性与对称性问题】 7
【题型4 三角函数的周期性问题】 9
【题型5 求三角函数的单调区间、比较大小】 11
【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 13
【题型7 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 16
【题型8 三角函数的零点问题】 19
【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 21
1、三角函数的图象与性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能画出三角函数的图象
(2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值
(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质 2023年新课标I卷：第15题，5分 2023年天津卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第7题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第9题，6分 2024年全国甲卷（文数）：第13题，5分 三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.
【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略】
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
【题型1 三角函数图象的识别及应用】
【例1】（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】判断函数的奇偶性，再根据判断即可.
【解答过程】因为的定义域为，且
，
所以为偶函数，其函数图象关于轴对称，故排除A，C．
因为，故排除B．
故选：D．
【变式1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【解答过程】函数与都是偶函数，其中，，
在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D.
【变式1-2】（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数奇偶性以及时函数值的正负，通过排除法得答案.
【解答过程】函数的定义域为，
，
即函数为偶函数，排除BD；
当时，，排除C.
故选：A.
【变式1-3】（2023·河南郑州·一模）已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图像（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.
【解答过程】对于，但定义域为，满足，为偶函数.
同理可得：为奇函数.
记，则
所以且，所以为非奇非偶函数；
同理可证：为非奇非偶函数；和为奇函数.
由图可知，图像对应函数为奇函数，且.
显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；
对C: ，为奇函数.
当时， ，故错误；
对D， ，为奇函数.
当时， .故正确.
故选：D.
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】
【例2】（2024·广东湛江·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求得的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【解答过程】因为 ，所以，所以，
故在上的值域为.
故选：B.
【变式2-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为.
【解答过程】由及可得，
根据其值域为，且，
由正弦函数图象性质可得，
即可得，解得.
故选：B.
【变式2-2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解.
【解答过程】，
因为的图象关于点对称，
所以，
故，即，
当，即时，函数取得最小值，
因为在上没有最小值，
所以，即，
由解得，故，得.
故选：B.
【变式2-3】（2024·内蒙古包头·一模）已知函数的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【解题思路】利用题目条件求出的解析式，然后讨论在上的单调性即可.
【解答过程】由条件知，，，
从而，，
所以，即，
又因为，故.
这说明，该函数在上递增，在上递减.
又，所以在区间上的最小值为.
故选：B.
【题型3 三角函数的奇偶性与对称性问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．若是偶函数，则
C．在区间上的值域为
D．的图象关于直线对称
【解题思路】代入验证法判断函数的图象的对称中心和对称轴，进而判断选项AD；求得t的值判断选项B；求得在区间上的值域判断选项C.
【解答过程】对于A：，
则的图象关于点对称，故A正确．
对于B：因为是偶函数，
所以，即，故B正确．
对于C：当时，，
所以，
即在区间上的值域为，故C错误．
对于D：当时，，
则的图象关于直线对称，故D正确．
故选：C.
【变式3-1】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【解答过程】由题意可知：为函数的对称轴，
则，则，
对于选项A：令，解得，不合题意；
对于选项B：令，解得，符合题意；
对于选项C：令，解得，不合题意；
对于选项D：令，解得，不合题意；
故选：B.
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）下列函数图象的对称轴方程为的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据正弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出A、C中函数的对称轴方程，利用余弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出B、D中函数的对称轴方程，即得答案.
【解答过程】对于A，，令，即，
即的对称轴方程为，A错误；
对于B，，令，即，
即的对称轴方程为，B正确；
对于C，，令，即，
即的对称轴方程为，C错误；
对于D，，令，即，
即的对称轴方程为，D错误；
故选：B.
【变式3-3】（2024·广东佛山·二模）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由函数的零点情况，求出的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解.
【解答过程】由函数在有且仅有两个零点，
得，解得，则，
又，而，当时，，，
由，得，当时，，
即函数在有3个零点，不符合题意，
因此是函数图象的一条对称轴，即，解得，
当时，，当时，，均不符合题意；
当时，，得，则图象的对称轴为.
故选：C.
【题型4 三角函数的周期性问题】
【例4】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得.
【解答过程】对A：，，故不以为周期，故A错误；
对B：，故以为周期，
当时，，由在上单调递减，
且，故在上单调递减，故B错误；
对C：，，故不以为周期，故C错误；
对D：，故以为周期，
当时，，由在上单调递减，
但，故时，，
故在上单调递增，故D正确.
故选：D.
【变式4-1】（2023·湖南长沙·一模）已知函数，若存在，当时，，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可得出，结合，可得，再由三角函数最小正周期的公式即可得出答案.
【解答过程】因为存在，当时，，
所以，即，
又因为，则，所以，
所以函数的最小正周期为：，
故选：B.
【变式4-2】（2024·安徽马鞍山·三模）记函数 的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【解答过程】函数的最小正周期，则，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，.
故选：C.
【变式4-3】（2023·内蒙古赤峰·三模）定义运算如果，，满足等式，函数在单调递增，则取最大值时，函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出函数的解析式，根据已知条件求出的值，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可得出的最大值，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.
【解答过程】，
因为，所以，，
而，所以，即，
当时，，
因为在上单调递增，所以，，解得，
当取最大值时，的最小正周期，
故选：A．
【题型5 求三角函数的单调区间、比较大小】
【例5】（2024·青海·模拟预测）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.
【解答过程】令，，得，，
当时，增区间是，当时，增区间是，
其中只有是增区间的子集.
故选：C.
【变式5-1】（2023·陕西·模拟预测）已知函数在处取得到最大值，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数的最值结合正弦函数性质可得，即，进而求的单调递增区间，结合选项分析判断.
【解答过程】因为在处取得到最大值，则，
可得，解得，
所以，
令，解得，
所以的单调递增区间是，
令，可得，，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
【变式5-2】（2023·贵州·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据诱导公式，得到，结合在上是增函数，即可求解.
【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得，
因为，且在上是增函数
所以，即.
故选：D.
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【解答过程】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，
所以从递减到，从递减到，A错误；
当从增加到时，从递减到，从1递减到，
所以从递增到，从递减到，B错误；
当从增加到时，从递减到，从递减到，
所以从递增到，从递减到，C错误；
当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，
所以从递增到，从递增到，D正确；
故选：D.
【题型6 根据三角函数的单调性求参数】
【例6】（2023·天津·二模）若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由的范围确定的范围，分别讨论单调递增和单调递减的情况，根据正弦型函数单调性的判断方法可构造不等式组求得的范围，进而确定最大值.
【解答过程】当时，；
若在上单调递增，则，
解得：，又，若不等式组有解，则
解得：，，则；
若在上单调递减，则，
解得：，又，若不等式组有解，则，
解得：，与矛盾，在上单调递减不成立；
综上所述：，则的最大值为.
故选：B.
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.
【解答过程】已知，
令，解得
则函数对称轴方程为
函数在区间不单调，
，解得，
又由，且，得，
故仅当时，满足题意.
故选：C.
【变式6-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，，在上单调，则的最大值为（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据可知直线为图象的对称轴，根据可得的对称中心为，结合三角函数的周期性可得，再根据在上单调，可得，逐一验证当取到最大值11,9,7时，求解，检验在上单调性看是否满足，即可得答案.
【解答过程】，∴直线为图象的对称轴，
，的对称中心为，
，
，
．
又在上单调，．
，，
又，
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上不单调，舍去；
当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上不单调，舍去；
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上单调.
则的最大值为7．
故选：D.
【变式6-3】（2023·浙江·模拟预测）定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分段写出函数解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.
【解答过程】依题意，，
函数的递减区间是，，，
于是或，，
即，，解得，由，得，无解；
或，，解得，由，得，则或，
当时，，当时，，选项C满足，ABD不满足.
故选：C.
【题型7 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例7】（2024·河南新乡·三模）已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A． B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减 D．是奇函数
【解题思路】
由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.
【解答过程】因为点在的图象上， 所以.又，所以.
因为图象的一个对称中心是，所以，，
则，.又，所以，则，A正确.
，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.
当时，，单调递减，C正确.
，是奇函数，D正确.
故选：B.
【变式7-1】（2024·天津·模拟预测）已知为偶函数，，则下列结论错误的个数为（ ）
①；
②若的最小正周期为，则；
③若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为；
④若，则的最小值为2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据正弦函数的性质一一判断即可.
【解答过程】对于①：若，为偶函数，
则，即，又，所以，故①正确；
对于②：若的最小正周期为且，则，所以，故②正确；
对于③：由，，得，
若在区间上有且仅有个最值点，
则，解得，故③正确；
对于④：因为，若，
则或，，
解得或，
又，所以的最小值为，故④错误.
故选：A.
【变式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A．在单调递增 B．是的一个对称中心
C．在的值域为 D．是的一条对称轴
【解题思路】由函数的最小正周期为π，求出，再代入化简，画出的图象，再对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】因为函数的最小正周期为π，所以，
所以函数
即，作出函数的图象，
如下图所示：
对于A，由图可知，在单调有增有减，故A错误；
对于B，由图象可知，无对称中心，故B错误；
对于C，由图象可知，为偶函数，当，
，所以，
所以，所以在的值域为，故C正确；
对于D，由图象可知，的对称轴为，故D错误.
故选：C.
【变式7-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，现给出下列四个结论：
①的图象关于点对称；
②函数的最小正周期为；
③函数在上单调递减；
④对于函数．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【解题思路】利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D.
【解答过程】对于①，由得的定义域为，
，
因此的图象关于点对称，故①正确；
对于②，因为，
所以是的周期，故②错误；
对于③，当时，，所以，
故，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，由复合函数性质可知，函数在上单调递减，③正确；
对于④，由上知，当时，，
，
因此，故④正确.
故选：C.
【题型8 三角函数的零点问题】
【例8】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定周期求得，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.
【解答过程】由函数的最小正周期为，得，而，解得，
则，由，
得，又在上单调递减，
因此，且，解得①，
由余弦函数的零点，得，即，
而在上存在零点，则，
于是②，又，联立①②解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上单调，且在区间上有5个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其单调性和零点，可得答案.
【解答过程】因为，所以函数的最小正周期．
因为在区间上单调，所以，可得；
因为在区间上有5个零点，所以，即，可得；
综上，．
故选：D．
【变式8-2】（2024·全国·一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【解答过程】因为，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，
满足①，，令，解得：；
或要满足②，，令，解得：；
经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C.
【变式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
【解答过程】由题意知为函数的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在区间有且只有三个零点，故，
且由于在上使得的x的值依次为，
故，解得，即，
故选：D.
【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例9】（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.
【解答过程】（1）因为函数的最小正周期，所以，
则当时，，
所以，得，
因为，所以取得，
（2）解法一：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，化简得，
又在上单调递减，
所以，则.
解法二：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，
记，对称轴为，
则由根的分布可得，即，解得，
所以.
【变式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函数.在下列条件① 条件② 条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知.
(1)求的值；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.
条件①：；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为.
【解题思路】（1）选择适合的条件求出和的值，得出函数的表达式，即可求出的值；
（2）求出函数单调区间，根据函数在区间上是增函数即可求出实数的最大值.
【解答过程】（1）由题意，
在中，
选条件①②：
由①知，，所以；
由②知，，所以；矛盾.
∴函数不能同时满足条件①和②，
∴不能选①和②.
选条件①③：
由条件③得，，又因为，所以.
由①知，，所以.
则.
所以
选条件②③：
由于最小正周期为，所以，所以；
由最大值与最小值之和为0，
，
故，解得.
所以.故.
（2）由题意及（1）得，
选条件①③：
在中，
令，
∴，
∴函数的单调增区间为.
∵函数在区间上单调递增，且，此时，
所以，
∴的最大值为.
选条件②③：
令，所以，
所以函数的单调增区间为.
因为函数在区间上单调递增，且，此时，
∴的最大值为.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，为常数.
(1)证明：的图象关于直线对称.
(2)设在上有两个零点，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
【解题思路】（1）利用平方关系将函数变形为，再计算即可证明；
（2）（ⅰ）令则，问题转化为关于的方程在上有两个不相等实数根，即可得到，从而求出参数的取值范围；（ⅱ）令，，根据韦达定理得到，将两边平方可得，再结合函数的单调性即可证明.
【解答过程】（1）因为
，
因为 ，
所以的图象关于直线对称.
（2）（ⅰ）令，因为，所以，则，
则，，
因为在上单调递减，
所以关于的方程在上有两个不相等实数根，
所以，解得，
即的取值范围为.
（ⅱ）令，，则，为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
所以，即，
因为，
所以，所以，
由于，，所以，
则，即，
又在上单调递减，所以，即.
【变式9-3】（23-24高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数．
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值；（3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围．
【解答过程】（1）∵的最小正周期为，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
当时，，由，的对称中心为；
当时，，由，的对称中心为；
综上所述，的对称中心为或.
（2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
∴.
又∵是的一个零点，
，即，
∴或，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，则
即或，解得或，；
若函数在（且）上恰好有10个零点，故
要使最小，须、恰好为的零点，故.
（3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则，
当时，，
当时，，
由可得，解得，
故实数的取值范围为.
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.
【解答过程】因为函数的周期为，
所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB，
当时，，
因为在上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C.
2．（2024·江西九江·模拟预测）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项.
【解答过程】，
定义域为，关于原点对称，
由，
所以为奇函数，排除BD；
当时，，因为为上减函数，为上的增函数，
则为上的减函数，且当，，则当，
，故，排除A.
故选：C.
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用正弦型函数的对称性可得，再利用正弦型函数的最小值即可得解.
【解答过程】由题意可得，则，
又，故，即，
当时，，又的最小值是，
则，故，即的最大值是.
故选：B.
4．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（ ）
A． B．
C．的图象关于中心对称 D．在上单调递减
【解题思路】根据给定条件，可得，进而求得，结合，得到，再逐项分析判断即可.
【解答过程】由，得，而，且点A在图象的下降部分，则，
于是，显然是直线与的图象的三个连续的交点，
由点横坐标，即，解得，，
解得，，则，而，因此，所以，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，的图象关于不对称，C错误；
对于D，当时，，当，即时，函数取得最小值，
又，因此在上不单调，D错误.
故选：B.
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数，且是函数 相邻的两个零点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对于A，由判断，对于B，由题意可得，结合周期公式可求出，对于C，由可求出，对于D，求的值可判断是否为对称轴即可.
【解答过程】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，且是函数相邻的两个零点，
所以其周期，所以，故B正确；
对于C，令 ，则，
又因为，所以，故C错误；
对于D，由以上可知，所以，
所以的图象关于直线对称，所以，故D正确.
故选：C.
6．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数的图象关于点中心对称
（2）函数的图象关于直线对称
（3）函数在区间内有4个零点
（4）函数在区间上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于（1），由，
所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误；
对于（2）中，由，
所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误；
对于（3）中，令，可得，
当时，可得；当时，可得；当时，可得；
当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确；
对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误.
故选：A.
7．（2024·青海海南·二模）已知函数，且.若的最小值为，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出函数的周期，再求出，求出函数的解析式，再结合余弦函数的性质，即可求解.
【解答过程】函数，且，的最小值为，
则，所以，故，所以，所以，
令得，
故的单调递增区间为.
故选：A.
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由范围求得的范围，结合整体思想转化为在上只有1个零点，在上单调递增，求解即可.
【解答过程】当时，，
因为在上只有1个零点，
所以，解得，
当时，，
因为，所以，
又因为在上单调递增，
所以，解得.
综上可得.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·吉林·二模）已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．方程的解集为
D．是函数是奇函数的充分不必要条件
【解题思路】对于A：根据图象结合五点法求相应参数即可；对于B：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：以为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：以为整体，根据正弦函数奇偶性结合充分、必要条件分析判断.
【解答过程】由图象可得：，且图象过点，
则，即，
且，可得，故A正确；
则，
由结合图象可得，
则，解得，
所以.
对于B：因为，则，
且在内单调递减，所以函数在上单调递减，故B正确；
对于C：令，即，
则或，
解得或，
所以方程的解集为或，故C错误；
对于D：若，则为奇函数，即充分性成立；
若为奇函数，
则，解得，
可知不一定得到，故必要性不成立；
综上所述：是函数是奇函数的充分不必要条件，故D正确；
故选：ABD.
10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
【解题思路】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由，可求出对称轴方程判断，对于C，由求解即可，对于D，先由求出的递增区间，再由为函数增区间的子集可求出的取值范围.
【解答过程】对于A，的最大值为，故A错误；
对于B，令，得，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，不等式可化为，则，解得，
因此原不等式的解集为，故C正确；
对于D，由，，解得.
因为在区间上单调递增，所以，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD.
11．（2024·贵州贵阳·二模）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上的值域为
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
【解题思路】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得的值，再根据函数特殊点求得的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.
【解答过程】函数的最小正周期为，则有，即，
由函数的图象可知：，即，
由图象可知：，所以，因此不正确；
关于， 当时，，故在处无定义，
故B错误.
因为，
所以，所以函数的图象关于直线对称，C正确；
，
当时， ，
当时， ，
当函数在区间上不单调时，则有，故D正确.
故选：CD．
三、填空题
12．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ．
【解题思路】根据函数的对称轴求出，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答案.
【解答过程】由题意知是函数的一条对称轴，
故，解得，，因为，故，
故，令，解得，
原点附近的6个对称中心分别为，
若3个对称中心恰好是，
则，则t不存在，不合题意；
若3个对称中心恰好是，
则，则；
故当时，符合题意．
故t的取值范围为，
故答案为：.
13．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为 .
【解题思路】结合余弦函数的图象与性质计算即可得.
【解答过程】由，得，
由，得；
由在上恰有两个零点可得，
解得.

故答案为：.
14．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为 .
【解题思路】根据题意，由的一个对称中心为，可得，，再由在上单调递增，得，，由上两式可得答案.
【解答过程】因为的一个对称中心为，所以，，
即，，①；
又，则，在上单调递增，
所以，，
即，解得，，②；
又，结合①②可得，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)求的值，
(2)求函数的单调递增区间.
【解题思路】
（1）将代入化简即可得出答案；
（2）化简，求的单调递增区间即求的单调递减区间，令，即可得出答案.
【解答过程】（1）.
（2） ,
求的单调递增区间即求的单调递减区间，
令，
解得：，
所以所求的单调增区间为.
16．（2023·广东佛山·一模）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且.
(1)求图象的一个对称中心；
(2)若，求.
【解题思路】（1）根据单调区间，以及可得，进而可得对称中心；
（2）先根据单调区间求出的可能取值，然后根据得到和的关系，根据关系以及的可能取值对照验证计算即可.
【解答过程】（1）因为在区间上单调，
且，，，
所以，
所以图像的一个对称中心是；
（2）由题设，的最小正周期，，
故，由，得，
由为的一个对称中心，
所以，①.
因为，所以或，，.
若②，①-②得，
即.
不存在整数，，使得.
若③，①-③得，
即，
不存在整数，，使得，当时，.
此时，由，
得.
17．（2024·广东佛山·一模）记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴.
(1)求；
(2)若在区间上的值域为，求的解析式.
【解题思路】
（1）根据题意由可得，再结合为曲线的对称轴即可确定的值；
（2）由题意确定区间的长度小于一个周期，即可确定，分类讨论，讨论函数在何时取最值，结合正弦函数的性质，求出，经验证即可确定其值，从而求得答案.
【解答过程】（1）由题意知为函数的最小正周期，故；
由得，而，故或；
又直线为曲线的对称轴，即，
则，结合，可知；
（2）由（1）可知，在区间上的值域为，
可知区间的长度小于一个周期，即，
由，得，
①若，则，即，
则，此时，函数最大值为1，不符合题意；
②若，则，即，
则或，
当时，，函数取不到最大值，不符合题意，
当时，，函数最大值为，不符合题意；
③若，则或，
则或，则，
此时，函数取不到最小值，不符合题意；
④若，则或，
则或，则或或，
当时，，能满足题意，此时；
当时，，函数最大值为1，不符合题意，
当时，由上面分析可知不符合题意，
综合以上可知.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
【解题思路】（1）依题意可得函数的周期求出，又过点B取最值求；
（2）根据求，由已知条件及正弦函数的性质求的取值范围.
【解答过程】（1）依题意可知：，即，所以，
又过点，所以,即，
又，所以，即.
（2）因为，且，所以，即，
又当时恰有两个零点，，
依题意：，即，
又在上单调，所以，
依题意;若，即，所以，因，故不合题意；
若，即，所以，因，故；
若，即，显然不等式组无解；
综上的取值范围为.
19．（2023·北京通州·三模）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式：
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：为奇函数：
条件②：图像上相邻两个对称中心间的距离为：
条件③：图像的一条对称轴为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解题思路】（1）可以选择条件①②或条件②③，先由周期计算，再计算即可；
（2）先求出整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
【解答过程】（1）选①②:由①为奇函数，所以关于原点对称，
，解得
又，所以.
由条件②得，解得所以；
选②③
由条件②得，解得.
由条件③中一条对称轴为，可得，，
解得，，
又，所以，所以
（2）
..
因为，所以，
所以当时，即时取得最大值，最大值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.4 三角函数的图象与性质【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 三角函数图象的识别及应用】 3
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 4
【题型3 三角函数的奇偶性与对称性问题】 4
【题型4 三角函数的周期性问题】 5
【题型5 求三角函数的单调区间、比较大小】 5
【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 6
【题型7 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 6
【题型8 三角函数的零点问题】 7
【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 8
1、三角函数的图象与性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能画出三角函数的图象
(2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值
(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质 2023年新课标I卷：第15题，5分 2023年天津卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第7题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第9题，6分 2024年全国甲卷（文数）：第13题，5分 三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.
【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略】
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
【题型1 三角函数图象的识别及应用】
【例1】（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式1-2】（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·河南郑州·一模）已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图像（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】
【例2】（2024·广东湛江·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·内蒙古包头·一模）已知函数的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【题型3 三角函数的奇偶性与对称性问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．若是偶函数，则
C．在区间上的值域为
D．的图象关于直线对称
【变式3-1】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）下列函数图象的对称轴方程为的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·广东佛山·二模）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 三角函数的周期性问题】
【例4】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·一模）已知函数，若存在，当时，，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·安徽马鞍山·三模）记函数 的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·内蒙古赤峰·三模）定义运算如果，，满足等式，函数在单调递增，则取最大值时，函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 求三角函数的单调区间、比较大小】
【例5】（2024·青海·模拟预测）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023·陕西·模拟预测）已知函数在处取得到最大值，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·贵州·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 根据三角函数的单调性求参数】
【例6】（2023·天津·二模）若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，，在上单调，则的最大值为（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【变式6-3】（2023·浙江·模拟预测）定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例7】（2024·河南新乡·三模）已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A． B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减 D．是奇函数
【变式7-1】（2024·天津·模拟预测）已知为偶函数，，则下列结论错误的个数为（ ）
①；
②若的最小正周期为，则；
③若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为；
④若，则的最小值为2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A．在单调递增 B．是的一个对称中心
C．在的值域为 D．是的一条对称轴
【变式7-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，现给出下列四个结论：
①的图象关于点对称；
②函数的最小正周期为；
③函数在上单调递减；
④对于函数．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【题型8 三角函数的零点问题】
【例8】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上单调，且在区间上有5个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·全国·一模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例9】（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
【变式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函数.在下列条件① 条件② 条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知.
(1)求的值；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.
条件①：；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，为常数.
(1)证明：的图象关于直线对称.
(2)设在上有两个零点，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
【变式9-3】（23-24高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数．
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西九江·模拟预测）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（ ）
A． B．
C．的图象关于中心对称 D．在上单调递减
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数，且是函数 相邻的两个零点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数的图象关于点中心对称
（2）函数的图象关于直线对称
（3）函数在区间内有4个零点
（4）函数在区间上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·青海海南·二模）已知函数，且.若的最小值为，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·吉林·二模）已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．方程的解集为
D．是函数是奇函数的充分不必要条件
10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
11．（2024·贵州贵阳·二模）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上的值域为
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
三、填空题
12．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ．
13．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为 .
14．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为 .
四、解答题
15．（2024·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)求的值，
(2)求函数的单调递增区间.
16．（2023·广东佛山·一模）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且.
(1)求图象的一个对称中心；
(2)若，求.
17．（2024·广东佛山·一模）记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴.
(1)求；
(2)若在区间上的值域为，求的解析式.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
19．（2023·北京通州·三模）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式：
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：为奇函数：
条件②：图像上相邻两个对称中心间的距离为：
条件③：图像的一条对称轴为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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