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专题8.1 直线的方程【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 直线的倾斜角与斜率】 3
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 4
【题型3 求直线的方程】 7
【题型4 直线过定点问题】 8
【题型5 三线能围成三角形的问题】 10
【题型6 两直线的夹角问题】 12
【题型7 轨迹问题——直线】 13
【题型8 直线方程的综合应用】 15
1、直线的方程
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 (2)根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) 2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对直线方程的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；复习时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法.
【知识点1 直线的方程】
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
4．辨析直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
【知识点2 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【方法技巧与总结】
1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k).
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2024·陕西西安·二模）直线的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线方程求出斜率，再由斜率得出倾斜角即可.
【解答过程】由可得，，
所以直线斜率，
又，所以，
故选：A.
【变式1-1】（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.
【解答过程】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.
故选：A.
【变式1-2】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果.
【解答过程】设直线，的倾斜角分别为，则,;
因此；
所以.
故选：C.
【变式1-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围.
【解答过程】函数在上单调递增，
又，，
故的取值范围是.
故选：C.
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例2】（2024·山西太原·模拟预测）已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【解题思路】直线经过定点，求得、的斜率，再数形结合可得直线的斜率的取值范围.
【解答过程】解：已知点，与直线，且直线与线段相交，
直线，即直线，它经过定点，
的斜率为，的斜率为，
则直线的斜率的取值范围为或，
故选：A.
【变式2-1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【解题思路】根据两点间斜率公式计算即可.
【解答过程】直线的斜率为，直线的斜率为，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【解题思路】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可
【解答过程】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，
而，于是直线l的斜率或，
所以直线l斜率k的取值范围是，
故选：C.

【变式2-3】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围.
【解答过程】直线的方程可化为，
联立方程组，可得，所以直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：D．
【题型3 求直线的方程】
【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为，则设直线为，再将代入求出，从而可得直线方程.
【解答过程】方法一 ∵直线的一个方向向量为，∴，
∴直线的方程为，即．
方法二 由题意知直线的一个法向量为，
∴直线的方程可设为，将点代入得，
故所求直线的方程为．
故选：B.
【变式3-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线方程是，
即.
故选：C.
【变式3-2】（2024·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【解答过程】设边上的高所在的直线为，
由已知可得，，所以直线l的斜率.
又过，所以的方程为，
整理可得，.
故选：A.
【变式3-3】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解.
【解答过程】设直线l的倾斜角为，则，可得，
则直线l的斜率，
且直线l经过点，
所以直线l的方程为，即.
故选：A.
【题型4 直线过定点问题】
【例4】（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解．
【解答过程】解：直线方程转化为：，
令，解得，
所以直线过定点，
故选：A．
【变式4-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用已知条件消去，令的系数为0即可.
【解答过程】由，得，
代入直线方程中，
得，即，
令，解得，
所以该直线必过定点.
故选：D.
【变式4-2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先确定直线所过定点及直线与坐标轴的交点，结合图象可确定满足题意的临界状态，结合直线斜率和倾斜角关系可求得结果.
【解答过程】由题意知：直线恒过定点；
直线与轴分别交于点，；
在平面直角坐标系中作出直线如下图所示，
结合图象可知：若直线与直线交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的位置，其中过点，与直线平行；
，，倾斜角为，倾斜角为，
直线倾斜角的取值范围为.
故选：D.
【变式4-3】（2024·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.
【解答过程】因为，则，
令，解得，
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上，则，
可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为.
故选：B.
【题型5 三线能围成三角形的问题】
【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分线线平行和三线共点讨论即可.
【解答过程】若，则，解得．若，则，解得．
若，，交于一点，联立方程组，解得得，
代入，得，解得，故a的取值集合为．
故选：D.
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【解题思路】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【解答过程】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则 ；
若∥，则 的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线和联立： ，直线和交点为;
直线和联立： ，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合 或.
故实数的取值最多有个.
故选:C.
【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 6或-4或 ．
【解题思路】分直线与平行，与平行，过与的交点三种情况分别求解可得.
【解答过程】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形；
当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形；
由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形.
综上，当或或时，三条直线无法围成三角形.
故答案为：6或-4或.
【变式5-3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 （只需写出其中一个即可） ．
【解题思路】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.
【解答过程】由解得，所以的交点坐标为，
过定点，
若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，
当经过点时，，解得；
当与平行时，，解得；
当与平行时，，解得.
故的值为.
故答案为：（只需写出其中一个即可）.
【题型6 两直线的夹角问题】
【例6】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角.
【解答过程】设两直线的倾斜角分别为，由，则，
由，则，即，
则两直线夹角为.
故选：B.
【变式6-1】（23-24高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【解题思路】设直线的倾斜角为，根据得到，根据夹角得到答案.
【解答过程】，即，
设直线的倾斜角为，，则，，
夹角为，故或.
故选：C.
【变式6-2】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
【解题思路】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.
【解答过程】设直线与直线的倾斜角分别为，
则，且，
所以，
因为，
所以，即两条直线的夹角为，
故答案为：.
【变式6-3】（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ．
【解题思路】利用两条直线的夹角公式求解即可.
【解答过程】由题知直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线与直线的夹角，
所以，即，
解得.
故答案为：.
【题型7 轨迹问题——直线】
【例7】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）方程表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点
【解题思路】求出即可得到图形.
【解答过程】因为，则，解得 ，解得，
其表示的两条图形为两条直线.
故选：A.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知满足方程，则M的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解题思路】将方程转化为，利用方程的几何意义判断.
【解答过程】满足方程，
即满足方程，
几何意义为：点M到直线x-2y+3=0和到点（-1，1）的距离相等，
又因为点（-1，1）在直线x-2y+3=0上，
所以点M的轨迹为一条直线，
故选：A.
【变式7-2】（23-24高三·全国·课后作业）若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为 .
【解题思路】设，则，连接，，根据计算得到答案.
【解答过程】设，则，连接，
，，即，化简即得.
故答案为：.
【变式7-3】（23-24高二上·上海徐汇·期中）若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 .
【解题思路】先求出中点的轨迹，判断为直线，则其到原点的距离的最小值即为原点到该直线的距离.
【解答过程】设，，中点
由题可知，
所以，
又，
所以
即中点P的轨迹为直线.
则P到原点的距离的最小值即为原点到直线的距离，
，
故答案为：.
【题型8 直线方程的综合应用】
【例8】（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得.
（2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得.
【解答过程】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意，
则，直线在轴上的截距分别为，
依题意，，解得或，
当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，
所以直线的方程为或 ．
（2）假设存在实数，使直线不经过第二象限，
而直线的方程化为，
则有，解得，
所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为．
【变式8-1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知三角形的顶点为，，.
(1)求直线的方程；
(2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程.
【解题思路】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；
（2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程.
【解答过程】（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
即直线的方程为：.
（2）因为点E在直线上，直线的方程为：，
所以设的坐标为，，，
，
解得：或，
的坐标为或，
因为直线过点，
当直线的斜率不存在时，则，
当直线的斜率存在时，，
所以，化简可得.
直线的方程为或.
【变式8-2】（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心 垂心 重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，
(1)求三角形外心的坐标；
(2)求顶点的坐标.
【解题思路】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可；
（2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知：边的中点坐标为，，
边的垂直平分线的所在的直线方程为，即，
联立方程，解得
所以的外心的坐标为.
（2）设，则的重心为，
代入欧拉线方程得，整理得，
由（1）可知：的外心坐标为，
可知，则，
整理得，
联立方程，解得或，
当时，点B，C重合，舍去，
所以顶点C的坐标是.
【变式8-3】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线.
(1)若直线不经过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
【解题思路】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案；
（2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程.
【解答过程】（1）直线可化为，
要使直线不经过第三象限，则，解得，
的取值范围为.
（2）由题意可得中，取，得，
取，得，
，
当且仅当时，即时，取“=”，
此时的最小值为4，直线的方程为.
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可.
【解答过程】由题意可将原直线方程变形为，
由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误.
故选：D.
2．（23-24高二上·广东东莞·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据方向向量得到斜率，进而求出倾斜角.
【解答过程】直线l的一个方向向量是，故斜率为
设直线l的倾斜角是，则，
故.
故选：C.
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可.
【解答过程】因为直线，的倾斜角分别为，，
所以，
若，则，
若，则都不存在，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
4．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解.
【解答过程】因为直线平行于直线，所以直线可设为，
因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，
解得，所以直线的方程是.
故选：C.
5．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
【解题思路】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解答过程】因为直线经过点，
所以，
所以
，
当且仅当，即、时取等号.
故选：B.
6．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线上和底边在直线上三种情况，分别求解即可.
【解答过程】令直线的倾斜角分别为，则，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，或，
因为，且，解得，
所以，或；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，，则.
故选：D．
7．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.
【解答过程】如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，
从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，
此时斜率，所以此时；
从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率，所以此时，
综上可得直线的斜率的取值范围为.
故选：A.
8．（2024·江西上饶·一模）作圆一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意画出图形，把正十二边形的各点表示出来，结合选项一一判断即可.
【解答过程】如图：
可知，
，
直线的方程，即，A正确；
直线的方程，即，B正确；
直线的方程为，即，D正确.
经检验直线不符合,
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
【解题思路】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.
【解答过程】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误；
对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为，
当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误；
对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误；
对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确.
故选：ABC.
10．（2024高三·全国·专题练习）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分直线过原点和直线不过原点，将点代入求解.
【解答过程】解：当直线过原点时，横纵截距为0，符合题意，此时直线方程为；
当直线不过原点时，可设横纵截距分别为(或，均不为0)，
则直线方程为，可解得或，
则直线方程为或.
故选：ABD.
11．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线在轴上的截距为
【解题思路】求出直线过定点坐标即可判断A，当时斜率不存在，即可判断B，求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断C，求出直线与轴的交点，即可判断D.
【解答过程】直线，令，则，所以直线恒过定点，故A正确；
当时，直线斜率不存在，故B不正确；
当时直线，即，则直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，故C不正确；
当时直线，令，解得，即直线在轴上的截距为，故D正确；
故选：BC．
三、填空题
12．（2024·上海嘉定·一模）直线与直线的夹角大小为 .
【解题思路】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解答过程】因为直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
13．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
【解题思路】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率.
【解答过程】由直线方程：得的倾斜角为，
所以的倾斜角为，即的斜率为.
故答案为：.
14．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 或 ．
【解题思路】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.
【解答过程】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，
所以所求直线方程为或.
故答案为：或.
四、解答题
15．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点.
(1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值.
【解题思路】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【解答过程】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得，
直线的倾斜角为钝角时，，解得或，
所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；
（2）由已知，又直线的方向向量为，
所以，解得．
16．（2024·河南·模拟预测）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值；
(2)求的最小值．
【解题思路】（1）由题意可得，所以可以求出，由此即可求解.
（2）把坐标代入两点式方程，由乘“1”法以及基本不等式即可求解.
【解答过程】（1）由题意易得直线AB过定点，
由M为AB的中点， 故，
故．
（2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成，
将代入得，，
故，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
17．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．
【解题思路】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程.
【解答过程】（1）由，令，令，
由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或，
故直线方程：或
（2）由（1）可知，，
当且仅当，即取等号.
即直线方程：.
18．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【解题思路】（1）根据直线平行求出所在直线的斜率，然后代入点斜式写出所在的直线方程；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用平行四边形，推出与坐标关系，利用相关点法求点的轨迹方程即可.
【解答过程】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，
于是有，，
点在线段上运动，
，
，即，
由得，
线段的中点的轨迹方程为 .
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
【解题思路】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图像可得解；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【解答过程】（1）由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述；
（3）已知直线，且由题意知，
令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最大值，
此时直线的方程为，即.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.1 直线的方程【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 直线的倾斜角与斜率】 3
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 3
【题型3 求直线的方程】 4
【题型4 直线过定点问题】 5
【题型5 三线能围成三角形的问题】 5
【题型6 两直线的夹角问题】 5
【题型7 轨迹问题——直线】 6
【题型8 直线方程的综合应用】 6
1、直线的方程
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 (2)根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) 2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对直线方程的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；复习时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法.
【知识点1 直线的方程】
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
4．辨析直线方程的五种形式
方程形式 直线方程 局限性 选择条件
点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知
一点
斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式 不能表示与x轴、
y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距
截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
【知识点2 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【方法技巧与总结】
1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k).
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2024·陕西西安·二模）直线的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例2】（2024·山西太原·模拟预测）已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式2-1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【变式2-3】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 求直线的方程】
【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 直线过定点问题】
【例4】（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【题型5 三线能围成三角形的问题】
【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ．
【变式5-3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
【题型6 两直线的夹角问题】
【例6】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式6-2】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
【变式6-3】（23-24高二上·上海奉贤·期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ．
【题型7 轨迹问题——直线】
【例7】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）方程表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知满足方程，则M的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【变式7-2】（23-24高三·全国·课后作业）若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为 .
【变式7-3】（23-24高二上·上海徐汇·期中）若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 .
【题型8 直线方程的综合应用】
【例8】（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知三角形的顶点为，，.
(1)求直线的方程；
(2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程.
【变式8-2】（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心 垂心 重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，
(1)求三角形外心的坐标；
(2)求顶点的坐标.
【变式8-3】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线.
(1)若直线不经过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·广东东莞·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西上饶·一模）作圆一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
10．（2024高三·全国·专题练习）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线在轴上的截距为
三、填空题
12．（2024·上海嘉定·一模）直线与直线的夹角大小为 .
13．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
14．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ．
四、解答题
15．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点.
(1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值.
16．（2024·河南·模拟预测）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值；
(2)求的最小值．
17．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．
18．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
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