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专题5.3 平面向量的数量积及其应用【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面向量数量积的运算】 4
【题型2 平面向量的夹角问题】 5
【题型3 平面向量的模长】 5
【题型4 平面向量的垂直问题】 5
【题型5 平面向量的投影】 6
【题型6 坐标法解决向量问题】 6
【题型7 平面向量的实际应用】 7
【题型8 向量数量积与解三角形综合】 8
1、平面向量的数量积及其应用
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解平面向量数量积的含义及其几何意义
(2)了解平面向量的数量积与投影向量的关系
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 (5)会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题 2022年新高考全国Ⅱ卷：第4题，5分 2023年新高考I卷：第3题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第13题，5分 2023年北京卷：第3题，5分 2024年新高考I卷：第3题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第3题，5分 平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题往往以选择题、填空题的形式呈现，主要考查向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考一轮复习中应注意加强训练，要能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.
【知识点1 向量数量积的性质和常用结论】
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
2．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【知识点2 平面向量数量积的解题方法】
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【知识点3 数量积的两大应用】
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想】
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【知识点5 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)；
(2).
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0.
(2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π.
3．向量在向量上的投影向量为.
【题型1 平面向量数量积的运算】
【例1】（2024·江西宜春·模拟预测）在△ABC中，已知，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量，，，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·山东日照·一模）已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．
【变式1-3】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 平面向量的夹角问题】
【例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·江西新余·二模）已知，，若与的夹角为，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【变式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·河北·模拟预测）平面四边形中，点分别为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 平面向量的模长】
【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量，的夹角为，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式3-1】（2024·山东烟台·三模）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．48
【变式3-2】（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式3-3】（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 平面向量的垂直问题】
【例4】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【变式4-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 平面向量的投影】
【例5】（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·江苏·模拟预测）已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·二模）已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B．5 C． D．
【题型6 坐标法解决向量问题】
【例6】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则（ ）
A．18 B．180 C． D．
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 平面向量的实际应用】
【例7】（2024·吉林长春·一模）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【变式7-2】（2024·山东潍坊·二模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 N.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位）
【题型8 向量数量积与解三角形综合】
【例8】（2024·江西·三模）已知钝角的面积为，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或6
【变式8-1】（2024·贵州毕节·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式8-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知
(1)若，判断的形状；
(2)若，求的最大值.
【变式8-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上.
(1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值；
(2)若为等边三角形，求面积的范围.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2024·江西吉安·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A． B．方向上的单位向量为
C．向量在向量上的投影为 D．若，则
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角形广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每个正方形有两个顶点恰好在圆上．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
10．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知非零向量，，对任意，恒有，则（ ）
A．在上的投影的数量为1 B．
C． D．
11．（2024·河北保定·一模）已知为所在平面内一点，则下列正确的是（ ）
A．若，则点在的中位线上
B．若，则为的重心
C．若，则为锐角三角形
D．若，则与的面积比为
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量，，且，则 .
13．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则
．
14．（2024·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为 ；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为 .
四、解答题
15．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求向量与的夹角的余弦值．
16．（23-24高一下·北京东城·期中）已知向量的夹角为，且，求：
(1);
(2);
(3)与夹角的余弦值.
17．（2024·湖南邵阳·一模）在中，内角满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点.
(1)若点满足，且，求的值；
(2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题5.3 平面向量的数量积及其应用【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面向量数量积的运算】 4
【题型2 平面向量的夹角问题】 7
【题型3 平面向量的模长】 8
【题型4 平面向量的垂直问题】 11
【题型5 平面向量的投影】 12
【题型6 坐标法解决向量问题】 13
【题型7 平面向量的实际应用】 16
【题型8 向量数量积与解三角形综合】 18
1、平面向量的数量积及其应用
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解平面向量数量积的含义及其几何意义
(2)了解平面向量的数量积与投影向量的关系
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 (5)会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题 2022年新高考全国Ⅱ卷：第4题，5分 2023年新高考I卷：第3题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第13题，5分 2023年北京卷：第3题，5分 2024年新高考I卷：第3题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第3题，5分 平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题往往以选择题、填空题的形式呈现，主要考查向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考一轮复习中应注意加强训练，要能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.
【知识点1 向量数量积的性质和常用结论】
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
2．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【知识点2 平面向量数量积的解题方法】
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【知识点3 数量积的两大应用】
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想】
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【知识点5 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)；
(2).
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0.
(2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π.
3．向量在向量上的投影向量为.
【题型1 平面向量数量积的运算】
【例1】（2024·江西宜春·模拟预测）在△ABC中，已知，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【解题思路】将和转化成和来表示，再结合求得即可求解.
【解答过程】由题意为边靠近C点的三等分点，
所以，
所以
，

故，又，
所以，
所以.
故选：D.
【变式1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量，，，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据数量积的坐标表示得到，再确定，由即可求出，从而得到的值，最后根据数量积的定义及运算律计算可得.
【解答过程】因为，所以且，所以，
又，且，所以，
所以，解得，
又，所以，则，
所以，则，
所以
.
故选：A.
【变式1-2】（2023·山东日照·一模）已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．
【解题思路】以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示研究最值.
【解答过程】
以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB、DE交y轴于G、H，
则，
设，，由正六边形对称性，不妨只研究y轴左半部分，
（1）当P在EH上时，则，，则；
（2）当P在AG上时，则，，则；
（3）当P在EF上时，则：，，则；
（4）当P在AF上时，则：，，则.
综上，所求最大值为12.
故选：B.
【变式1-3】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可.
【解答过程】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设，则，
所以，
由于正八边形的每个外角都为；
则，
所以.
故选：C.
【题型2 平面向量的夹角问题】
【例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得.
【解答过程】因为，即，解得，
设与的夹角为，则，又，所以，
即与的夹角等于.
故选：B.
【变式2-1】（2024·江西新余·二模）已知，，若与的夹角为，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【解题思路】利用向量积的运算律计算，再利用向量数量积的定义计算，列出相关等式可得的值.
【解答过程】因为，，
所以，
，
，
因为，
又，
所以，
解得或，
因为，所以，
解得，
所以.
故选：.
【变式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】，
，
，
，．
故选：B.
【变式2-3】（2024·河北·模拟预测）平面四边形中，点分别为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由向量的加法法则可得，两边同时平方可得，由平面向量的夹角公式求解即可.
【解答过程】因为平面四边形中，点分别为的中点，
所以，
所以，
由可得：，
两边同时平方可得：，
所以，
解得：，所以.
故选：A.
【题型3 平面向量的模长】
【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量，的夹角为，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】分析可知，向量，的夹角为，根据结合数量积的运算求解.
【解答过程】因为，则，
且非零向量，的夹角为，，可知向量，的夹角为，
则，
所以.
故选：D.
【变式3-1】（2024·山东烟台·三模）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．48
【解题思路】根据题意结合投影向量可得，再根据垂直关系可得，进而可求模长.
【解答过程】由题意可知：，即，
因为在方向上的投影向量为，可得，
又因为，则，可得，
则，所以.
故选：B.
【变式3-2】（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解题思路】设与的交点为，由，两边平方可表示出，同理可表示，四个式子相加化简可求得结果.
【解答过程】设与的交点为，由，
得，
同理可得，
，
，
所以
，当点与点重合时，等号成立.
故选：C.
【变式3-3】（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求.
【解答过程】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，由，可得是以为直径的圆，
所以的轨迹方程为，
取的中点为，设，
可得，所以，所以，
所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故选：A.
【题型4 平面向量的垂直问题】
【例4】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【解题思路】计算出，根据向量垂直得到方程，求出答案.
【解答过程】由题意，向量，可得，
因为，则，即，解得或6．
故选：D.
【变式4-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先计算时的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.
【解答过程】因为，，
所以，，
当时，
，即
解得
所以“”是的充分不必要条件.
故选：A.
【变式4-2】（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用垂直关系的向量表示，结合模的坐标表示求解即得.
【解答过程】由，得，则，即，
因此，所以.
故选：B.
【变式4-3】（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【解答过程】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
【题型5 平面向量的投影】
【例5】（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果.
【解答过程】根据题意可得，
所以，则
所以，
则在方向上的投影向量为.
故选：B.
【变式5-1】（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用投影向量的定义直接求解即可.
【解答过程】依题意，，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
【变式5-2】（2024·江苏·模拟预测）已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由两边平方可得，结合投影向量的定义计算即可求解.
【解答过程】由，得，
即，整理可得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：B.
【变式5-3】（2024·湖北武汉·二模）已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B．5 C． D．
【解题思路】借助向量垂直可得，结合投影向量定义计算即可得解.
【解答过程】由，则有，即，
则，故.
故选：C.
【题型6 坐标法解决向量问题】
【例6】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可.
【解答过程】
如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系，
易知，，，
设，且，故，，
故，而，.
故选：C.
【变式6-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则（ ）
A．18 B．180 C． D．
【解题思路】建立坐标系，求出直线的方程，利用坐标法表示数量积即可求解.
【解答过程】以为坐标原点，所在直线为轴建系，如图所示：
则，，，，直线的方程为：，
设，，则有，，，
则，
所以.
故选：B.
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算分析可知点与点重合时，取到最大值，即可得结果.
【解答过程】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
可知直线对应的一次函数解析式为，可设，
可得，
则，且，
因为开口向上，对称轴为，
且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值，
此时，且，所以.
故选：A.
【变式6-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数的值域即可.
【解答过程】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，
设点，而，
则，
因此，
由，得，则，
因此，
所以的取值范围为.
故选：B.
【题型7 平面向量的实际应用】
【例7】（2024·吉林长春·一模）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意知由向量数量积的定义可得选项.
【解答过程】由题意知有即所以，
故选：B．
【变式7-1】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【解题思路】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果.
【解答过程】因为，，所以，又，，所以，故.
故选：A.
【变式7-2】（2024·山东潍坊·二模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 20 N.
【解题思路】根据力的平衡有,两边平方后可求出.
【解答过程】由题意知.的夹角为.
所以.
所以.
所以.
故答案为:20.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位）
【解题思路】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.
【解答过程】由题意知三力平衡得，化简得，
两边同平方得，即，
即，解得.
故答案为：.
【题型8 向量数量积与解三角形综合】
【例8】（2024·江西·三模）已知钝角的面积为，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或6
【解题思路】根据题设求得，依题分角为钝角和角为钝角两种情况讨论检验，利用向量数量积的定义即可分别求得.
【解答过程】依题意，，解得，
若角为钝角，则，
由余弦定理，,符合题意，
此时，；
若角为钝角，则，
由余弦定理，，
此时,即，符合题意，
此时.
故选：C.
【变式8-1】（2024·贵州毕节·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】由得，进而得到，再结合三角形的面积公式求解即可.
【解答过程】由得，，
故，即，得，
设的高为，可得，

由得，，故，
而，故，则，
故，化简得，故A正确.
故选：A.
【变式8-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知
(1)若，判断的形状；
(2)若，求的最大值.
【解题思路】（1）利用平面向量数量积的定义和余弦定理化简已知，可得解；
（2）根据（1）可得，利用正弦定理边化角，再借助三角函数恒等变形可得，最后利用基本不等式求最值.
【解答过程】（1）根据题意，，
即，
所以，
化简得，
当时，得，即为直角三角形；
（2）当时，根据（1），有，
根据正弦定理，有，
即，
根据和差化积公式，得，
即，化简得，
所以，
设则
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，取最大值为.
【变式8-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上.
(1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值；
(2)若为等边三角形，求面积的范围.
【解题思路】（1）建立坐标系，利用向量坐标运算结合二次函数的性质得到所求最小值；
（2）设正三角形的边长为，设，则，
则,，利用向量的投影向量关系在上的投影向量为,在上的投影向量为, 得到、的关系，利用三角函数公式化简，利用三角函数的性质求得正三角形的面积的取值范围.
【解答过程】（1）以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,

由已知可得点的坐标为，设,
则，
∴，
当且仅当时，取得最小值；
（2）设正三角形的边长为，
对于直线l上任意一点A，对于不同的情况如图所示：



设，则，则,，
在上的投影向量为,在上的投影向量为,
,
∴，∴，
又∵，∴，∴,
面积的取值范围是.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【解题思路】对两边平方化简可得，再对平方化简后再开方即可.
【解答过程】由两边平方得，，
所以，
所以 ，
所以，
故选：D.
2．（2024·江西吉安·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题设可得，根据向量垂直的坐标运算可求.
【解答过程】两边平方得，所以，解得.
故选:D.
3．（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【解题思路】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案.
【解答过程】解：，是夹角为的两个单位向量，
则，，
因为与垂直，
则，
即，解得.
故选：A.
4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得.
【解答过程】因为，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件，将两边同时平方，即可求解.
【解答过程】设向量夹角为，
两边平方得则，
又，
即，解得.
故选：A.
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A． B．方向上的单位向量为
C．向量在向量上的投影为 D．若，则
【解题思路】由条件根据向量线性运算坐标公式求，再由向量的模的坐标表示计算，判断A，根据定义单位向量定义和向量的线性运算坐标公式求方向上的单位向量，判断B，根据向量的投影的定义求向量在向量上的投影，判断C，根据向量垂直的坐标表示，判断D.
【解答过程】对于A：由可得，，所以，A错误；
对于B：因为，所以，
所以方向上的单位向量为，B错误；
对于C, 向量在向量上的投影为，C错误；
对于D：，所以，D正确.
故选：D.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角形广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每个正方形有两个顶点恰好在圆上．若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积.
【解答过程】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，
又，所以，则，
所以，，
所以.
故选：C.
8．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【解答过程】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系，
因为在矩形中，，，，，
所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则,
，
其中锐角满足，故的最大值为,
故选：A.
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
【解题思路】利用向量的坐标运算即可，其中在上的投影向量公式为.
【解答过程】对于A，由向量，，则，故A是错误的；
对于B，由向量的夹角公式得：，所以与的夹角为，故B是错误的；
对于C，由，所以，即，故C是正确的；
对于D，由，则在上的投影向量为：
，故D是正确的；
故选：CD.
10．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知非零向量，，对任意，恒有，则（ ）
A．在上的投影的数量为1 B．
C． D．
【解题思路】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答过程】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，且，故，即在上的投影的数量为1，故A正确；
对B：，，
，即，故B正确；
对C：，不确定其结果，故不一定成立，故C错误；
对D：，故，D正确；
故选：ABD.
11．（2024·河北保定·一模）已知为所在平面内一点，则下列正确的是（ ）
A．若，则点在的中位线上
B．若，则为的重心
C．若，则为锐角三角形
D．若，则与的面积比为
【解题思路】设中点为，中点为，由可得，可知A正确；
设中点为，由得，对应重心的性质可知B正确；
由知为锐角，但无法确定，知C错误；
根据平面向量基本定理可知，将面积比转化为，知D正确.
【解答过程】对于A，设中点为，中点为，
，，
，即，三点共线，
又为的中位线，点在的中位线上，A正确；
对于B，设中点为，由得：，
又，，在中线上，且，
为的重心，B正确；
对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；
对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，
，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量，，且，则 或 .
【解题思路】依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【解答过程】因为，，且，
所以，解得或.
故答案为：或.
13．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则
．
【解题思路】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解.
【解答过程】由题，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案为：.
14．（2024·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为 ；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为 .
【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设，，，进而根据题意得，再根据坐标运算得，进而结合基本不等式求解即可.
【解答过程】根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为，
所以，
所以，，
所以，向量在向量上的投影向量为，
故其模为.
因为，分别为线段，上的动点，
所以，设，，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：；.
四、解答题
15．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求向量与的夹角的余弦值．
【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求，再代入模的公式，即可求解；
（2）首先根据两向量平行求，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
【解答过程】（1）由，得，解得，
，则．
（2）由题意，
又，，解得，
则，，，
，
即向量与的夹角的余弦值为．
16．（23-24高一下·北京东城·期中）已知向量的夹角为，且，求：
(1);
(2);
(3)与夹角的余弦值.
【解题思路】（1）根据数量积的定义求解；
（2）待求表达式平方后，结合（1）的结果求解；
（3）结合（1）（2）的结果，运用夹角公式求解.
【解答过程】（1）根据数量积的定义，.
（2），
故
（3）由（1）（2）的结果，，
则.
17．（2024·湖南邵阳·一模）在中，内角满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
【解题思路】（1）根据辅助角公式求解；
（2）根据向量的加法法则将转化为，然后结合换元法和基本不等式求解；
【解答过程】（1）由已知
.
.
（2）
.
又，
.
令，
.
当且仅当取等号.
的最大值为.
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【解题思路】（1）由，得到，再利用正弦定理求解；
（2）根据和，利用正弦定理得到外接圆的半径，然后由求解.
【解答过程】（1）解：∵，
∴，即.
由正弦定理得.
∵，∴，
∵，∴或.
（2）∵，且三角形为锐角三角形，
∴.
∴由正弦定理得.
∴，.
∴，
，
.
又∵为锐角三角形，∴，
∴，得，.
∴，，
∴，又∵，
∴.
∴的周长的取值范围为.
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点.
(1)若点满足，且，求的值；
(2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围.
【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论；
（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围；
法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果.
【解答过程】（1）如下图所示：
由可得，
所以，
又，可得
所以；
（2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，则，
由点是线段上的动点（含端点），可令，
所以，则，
所以，
由二次函数性质可得当时取得最小值；
当时取得最大值；
可得
法2：取中点，作垂足为，如下图所示：
则
显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值，
可得.
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