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专题10.8 二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 二项分布】 3
【题型2 独立重复试验的概率问题】 4
【题型3 超几何分布】 5
【题型4 二项分布与超几何分布的综合应用】 6
【题型5 正态密度函数】 8
【题型6 正态曲线的性质】 9
【题型7 正态分布的概率计算】 9
【题型8 正态分布的实际应用】 10
1、二项分布、超几何分布与正态分布
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题 (2)借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用 2022年新高考Ⅱ卷：第13题，5分 2023年新高考I卷：第21题，12分 2024年新高考I卷：第9题，6分 从近几年的高考情况来看，本节是高考的热点内容，主要考查二项分布、超几何分布及其期望与方差、正态分布等内容，正态分布主要以选择、填空题的形式考查，难度不大；在解答题中主要考查二项分布、超几何分布的期望与方差问题，有时会与统计、独立性检验等结合考查，难度中等偏难，关键在于求出概率列出分布列，复习时需要加强这方面的练习.
【知识点1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【知识点2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别
有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【知识点3 正态分布及其解题策略】
1．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，
当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.
2．3原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学
中称为3原则.
3．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x=μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【方法技巧与总结】
1．二项分布当n=1时就是两点分布.
2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差.
3．若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面
积为1解题.
【题型1 二项分布】
【例1】（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型2 独立重复试验的概率问题】
【例2】（2024·安徽合肥·二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·辽宁·模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·河北衡水·模拟预测）某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域，顾客将一皮球投进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域(4)三次，便视为中奖，投球停止，且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为，投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次中奖的概率记为，第四次投完皮球首次中奖的概率记为，若 ，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【题型3 超几何分布】
【例3】（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式3-2】（23-24高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为，则当变大时（ ）
A．变小 B．先变小再变大
C．变大 D．先变大再变小
【题型4 二项分布与超几何分布的综合应用】
【例4】（2024·吉林·二模）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，）
【变式4-1】（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.
【变式4-2】（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望；
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径 为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数；
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【题型5 正态密度函数】
【例5】（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式5-1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知随机变量的正态密度函数为，则其均值和标准差分别是（ ）
A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1
【变式5-3】（23-24高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【题型6 正态曲线的性质】
【例6】（2024·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量()，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）若随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
A． B． C． D．
【题型7 正态分布的概率计算】
【例7】（2024·甘肃张掖·三模）若已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.25 D．0.15
【变式7-1】（2024·全国·三模）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）某种酸奶每罐净重（单位：g）服从正态分布.随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8186 B．0.84135 C．0.9545 D．0.6827
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
【题型8 正态分布的实际应用】
【例8】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求的值．（结果保留位整数）
(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数）
(3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：①当时，令，则．
②当，，，，．
【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.
(1)若小李在第一关 第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率；
(2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若随机变量，则
【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
(1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，则， ，.
【变式8-3】（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.
(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）.
(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为，求的分布列及数学期望.
参考数据：若，则，，
一、单选题
1．（2024·青海·一模）已知随机变量，若随机变量，则（ ）
A．10 B．12 C．30 D．32
2．（2024·云南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
3．（2024·山东青岛·三模）某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（ ）
A．784 B．490 C．392 D．294
4．（2024·山东济宁·三模）若随机变量，随机变量，则（ ）
A．0 B． C． D．2
5．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
6．（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北邢台·二模）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·模拟预测）克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算.(若有多个使最大，则取其中的最小值).下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与10的大小无法确定
二、多选题
9．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（ ）
A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种
B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为
C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为
D．抽出的产品中次品数的数学期望为
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知，都是服从正态分布的随机变量，且，，其中，，则下列命题正确的有（ ）
A．
B．
C．若，，则
D．若，，，则
11．（2024·福建泉州·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，设击中偶数次为事件，则（ ）
A．当时，取得最大值 B．当时，取得最小值
C．当随的增大而减小 D．当随的增大而减小
三、填空题
12．（2023·江苏·三模）设随机变量（共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X件），则 .
13．（2024·河南信阳·二模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为 .
14．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则 .
四、解答题
15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基本的科学知识，培养良好的科学学习态度.特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：该活动规定每班选3人，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两班代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
16．（2024·山东泰安·模拟预测）增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在（单位：分钟）的50名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在的有5名学生.
(1)求a，b的值；
(2)若从样本中体育锻炼时间在的学生中随机抽取4人，设X表示在的人数，求X的分布列和均值.
17．（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，
18．（2024·黑龙江·三模）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E().
附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，.
19．（2024·新疆·二模）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看．
(1)已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；
(2)若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为．
①判断为何值时，最大；
②记，求．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10.8 二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 二项分布】 3
【题型2 独立重复试验的概率问题】 5
【题型3 超几何分布】 8
【题型4 二项分布与超几何分布的综合应用】 9
【题型5 正态密度函数】 15
【题型6 正态曲线的性质】 16
【题型7 正态分布的概率计算】 18
【题型8 正态分布的实际应用】 19
1、二项分布、超几何分布与正态分布
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题 (2)借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用 2022年新高考Ⅱ卷：第13题，5分 2023年新高考I卷：第21题，12分 2024年新高考I卷：第9题，6分 从近几年的高考情况来看，本节是高考的热点内容，主要考查二项分布、超几何分布及其期望与方差、正态分布等内容，正态分布主要以选择、填空题的形式考查，难度不大；在解答题中主要考查二项分布、超几何分布的期望与方差问题，有时会与统计、独立性检验等结合考查，难度中等偏难，关键在于求出概率列出分布列，复习时需要加强这方面的练习.
【知识点1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【知识点2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别
有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【知识点3 正态分布及其解题策略】
1．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，
当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.
2．3原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学
中称为3原则.
3．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x=μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【方法技巧与总结】
1．二项分布当n=1时就是两点分布.
2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差.
3．若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面
积为1解题.
【题型1 二项分布】
【例1】（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二项分布直接求解即可.
【解答过程】因为随机变量，
所以.
故选：B.
【变式1-1】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解.
【解答过程】由题意可知，当时，的可能取值为，且，
所以
.
故选：C.
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可.
【解答过程】因为，所以，解得，
所以．
故选：C．
【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果．
【解答过程】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为，
每一层均要乘以，共做10次选择，
故服从二项分布，，
又，
令最大，
则，
即,
解得，又因为，所以,
所以，
，且．
故选：B．
【题型2 独立重复试验的概率问题】
【例2】（2024·安徽合肥·二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．
【解答过程】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故选：C．
【变式2-1】（2024·辽宁·模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】就质子水平方向移动次数分类讨论，再利用独立事件的概率公式可求概率.
【解答过程】因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次
若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率；
若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率；
若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率；
若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率；
故移动6次后仍然回到原点的概率为，
故选：C.
【变式2-2】（2024·河北衡水·模拟预测）某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域，顾客将一皮球投进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域(4)三次，便视为中奖，投球停止，且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为，投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次中奖的概率记为，第四次投完皮球首次中奖的概率记为，若 ，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据条件，理解和对应的事件，再根据独立事件的概率公式求解概率，根据 后，即可求解.
【解答过程】小王投进区域（3）的概率为，投进区域(4)的概率为，故.
小王第二次投完皮球后，首次中奖包含“第一次区域（1）（2）均末投中，第二次投中区域（1）或（2）”和“第一次与第二次均投中区域（3）"两个事件，
则概率为 .
第四次投完皮球后，首次中奖，需前三次投完后有一次投进区域（3），有两次投进区域(4)，
因此，令，
得，解得，又 ，所以.
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解题思路】根据独立时间的概率乘法以及列举法，可得答案.
【解答过程】对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A正确；
对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为，故B正确；
对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”，
因为信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为，故C错误；
对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”，
所以其概率为；
若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为，
由，且，
则，故D正确；
故选：C.
【题型3 超几何分布】
【例3】（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.
【解答过程】依题意可得，即，整理得，
解得或9，因为，所以．
故选：B.
【变式3-1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算.
【解答过程】由题可知，，解得，
X的可能取值为，
，，，，
∴.
故选：A.
【变式3-2】（23-24高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可.
【解答过程】由题意可知从含有顾客喜好的k（）种糕点的n种糕点中，任取m（）种糕点，其中恰有种顾客喜好的糕点，则服从超几何分布，
所以，其中，
所以，
故选：A.
【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为，则当变大时（ ）
A．变小 B．先变小再变大
C．变大 D．先变大再变小
【解题思路】运用超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望，然后判断选项.
【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，其中白球的个数服从超几何分布，则．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有个白球的个球中取一球，取到白球的个数为，
易知随机变量服从两点分布，故，
所以，随着的增加，减小.
故选：A.
【题型4 二项分布与超几何分布的综合应用】
【例4】（2024·吉林·二模）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，）
【解题思路】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【解答过程】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人.
服从超几何分布，，
，，
，，
∴的分布列为
0 1 2 3
数学期望为.
（2），
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是.
由于函数在处有极小值，
从而当时单调递增，
又，.
因此当时，符合题意，
而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是.
即N至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
另：或
又，故，下同法一.
【变式4-1】（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可；
（3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论.
【解答过程】（1），
故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；
（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：
，
的可能取值为、、、，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为：；
（3），理由如下：
这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、，
，，，
则，故.
【变式4-2】（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望；
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
【解题思路】（1）根据古典概型直接求概率；
（2）根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到分布列和期望；
（3），运用二项分布期望公式求得，即可得到二者相等.
【解答过程】（1）10个超大城市中包含4个一线城市，
所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为.
（2）10个超大城市中包含6个新一线城市，
X所有可能的取值为：.
；；
；.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（3）
理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，
随机变量，，所以.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径 为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数；
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【解题思路】（1）利用频率分布直方图求中位数的方法即可得解；
（2）根据题意，分析得一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，从而得到的所有可能取值，再利用超几何分布的分布列即可得解；
（3）利用二项分布得到，再利用作商法判断出当时，最大，从而得解.
【解答过程】（1）果径的频率为，
果径的频率为.
故果径的中位数在，不妨设为，
则，解得，
所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为.
（2）果径的频率之比为，
所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，
故随机变量的所有可能取值为，
则，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
期望.
（3）依题意知，这批果实中一级果的概率，
每个果实相互独立，则，
则，
令 ，解得，
故当时，，
即；
当时，，
即 ，
所以，即一级果的个数最有可能为30个.
【题型5 正态密度函数】
【例5】（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解题思路】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.
【解答过程】根据正态分布密度函数中参数的意义，
结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；
且都在的右侧，即，
比较和图像可得，其形状相同，即，
又的离散程度比和大，所以可得；
故选：B.
【变式5-1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数.
【解答过程】因为，所以，即，
所以X的密度函数为A.
故选：A.
【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知随机变量的正态密度函数为，则其均值和标准差分别是（ ）
A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1
【解题思路】根据正态总体的概率密度函数的意义直接求解即可.
【解答过程】由的形式，知的均值和标准差分别为0和2.
正态总体的概率密度函数为,
根据，可得其均值为0，标准差为2，
故选：C.
【变式5-3】（23-24高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【解题思路】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】依题意，
所以平均数为，方差为，所以AB选项正确.
依题意，
而，即，所以C选项错误.
，所以D选项正确.
故选：C.
【题型6 正态曲线的性质】
【例6】（2024·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【解题思路】根据正态曲线的对称性计算可得.
【解答过程】因为，且，
所以，解得.
故选：B.
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量()，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】正态分布中的概率问题一般需要用到正态曲线的对称性，需要画出大致的正态曲线，标注好对称轴，数形结合，分别判断四个选项的正误即可．
【解答过程】

由图(1)得，所以A错误．
由图(2)，对应阴影部分的面积，对应空白部分的面积，所以，所以B错误．
由图(3)，因为正态分布中，所以所对应图形的面积一定大于所对应图形的面积，所以，所以C正确．
由图(4)可知，对应图形的面积大于对应图形的面积，所以，所以D错误．
故选：C.
【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）若随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
【解题思路】由题可知，所以和对称，据此求解即可.
【解答过程】因为随机变量服从正态分布，
所以；
所以．
故选：A．
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
A． B． C． D．
【解题思路】根据正态分布的对称性求得正确答案.
【解答过程】依题意，
所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为 ．
故选：A．
【题型7 正态分布的概率计算】
【例7】（2024·甘肃张掖·三模）若已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.25 D．0.15
【解题思路】由正态分布曲线的对称性，由此即可计算出答案.
【解答过程】随机变量服从正态分布，所以对称轴为，
因为，所以，
所以，
故选：C.
【变式7-1】（2024·全国·三模）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
【解题思路】利用正态分布的对称性求概率即可.
【解答过程】由题设，而，
又，
所以.
故选：B.
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）某种酸奶每罐净重（单位：g）服从正态分布.随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8186 B．0.84135 C．0.9545 D．0.6827
【解题思路】根据正态分布的对称性，以及，，即可求得净重在与之间的概率．
【解答过程】由题意可知，，，可得，，
净重在与之间的概率为，
由正态分布的对称性可知，
，
所以净重在与之间的概率为.
故选：A.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正态分布的对称性即可得所求.
【解答过程】由题意知，，则，，，.
结合正态曲线的对称性可得.
故选：C.
【题型8 正态分布的实际应用】
【例8】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求的值．（结果保留位整数）
(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数）
(3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：①当时，令，则．
②当，，，，．
【解题思路】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出；
（2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案；
（3）考生甲的成绩为 ，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解.
【解答过程】（1）依题意，令，则，
所以可得，，
，
又因为，则，解得；
（2）由（1）可得，
设最录取分数为，则，
，，所以，
即最低录取分数线为分．
（3）考生甲的成绩为分分，
所以甲能被录取概率为，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有，
即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪.
【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.
(1)若小李在第一关 第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率；
(2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若随机变量，则
【解题思路】（1）由独立乘法、互斥加法以及对立事件的概率公式即可求解；
（2）首先根据正态分布曲线的性质求出得分在442分以上的概率，从而乘以10000即可得解.
【解答过程】（1）设：第次通过第一关测试，：第次通过第二关测试，：一次性通过第三关测试，因为各关通过与否相互独立，
所以
，
.
（2）由题意可知，，
则，
，
，
所以得分在442分以上的竞聘者约有228人.
【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
(1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，则， ，.
【解题思路】（1）利用频数之和等于样本总数易得值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；
（2）由题意，结合（1）的结果易得的值，根据“级群”， “特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可.
【解答过程】（1）由题意得，，解得.
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为.
（2）由题意，则，
故
，
故“级群”约有个；
，
故“特级群”约有个；
则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.
【变式8-3】（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.
(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取整）.
(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为，求的分布列及数学期望.
参考数据：若，则，，
【解题思路】（1）根据题意，得到，，结合，得出结论；
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为，根据正态分布曲线的对称性，得到“反诈达人”的概率，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，得到男生和女生了解“反诈”知识的概率，以及的所有可能取值，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布
可得，，因为，则该同学能被评为“反诈标兵”.
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为，“反诈达人”的概率为：
则，解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为人.
（2）解：由题意知，男生了解“反诈”知识的概率为，女生了解“反诈”知识的概率为，
随机变量的所有可能取值为，
可得
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以，期望为.
一、单选题
1．（2024·青海·一模）已知随机变量，若随机变量，则（ ）
A．10 B．12 C．30 D．32
【解题思路】利用二项分布的期望公式和两随机变量的线性关系即可求解.
【解答过程】由题意可得，则．
故选：B.
2．（2024·云南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【解题思路】由正态曲线的对称性可求出，即可求出.
【解答过程】根据正态曲线的对称性，由，得，
再由总体密度曲线，数形结合知：.
故选：B．
3．（2024·山东青岛·三模）某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（ ）
A．784 B．490 C．392 D．294
【解题思路】根据正态分布的性质求出，即可估计人数.
【解答过程】因为，且，
所以，
所以，
又因为高一有学生980人，
所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为．
故选：C．
4．（2024·山东济宁·三模）若随机变量，随机变量，则（ ）
A．0 B． C． D．2
【解题思路】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即 ，就可以求出结果.
【解答过程】由可知：，
又因为，所以，
，
则，
故选：B.
5．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
【解题思路】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案.
【解答过程】密度函数，
该市这次考试的数学平均成绩为80分
该市这次考试的数学标准差为10，
从图形上看，它关于直线对称，
且50与110也关于直线对称，
故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.
故选B.
6．（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．
【解答过程】从袋子中一次性摸出两个球，共有=10种情况，
其中两个号码的和为偶数的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共4种情况，
所以一个人摸球，能够获奖的概率为，
所以4人参与摸球，
恰好2人获奖的概率.
故选：A.
7．（2024·河北邢台·二模）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先通过二项式定理得出在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，然后结合超几何分布求得相应的概率，进而结合均值公式即可得解.
【解答过程】的二项展开式为，
由题意，解得，
若要取到有理项，则需要能被3整除，则，
即在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，
若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，可知的所有可能取值分别为0，1，2，3，
，，
所以.
故选：C.
8．（2024·浙江·模拟预测）克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算.(若有多个使最大，则取其中的最小值).下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与10的大小无法确定
【解题思路】由题可知服从二项分布，，结合，计算得，又和，故得.
【解答过程】由题，服从二项分布，则，
最大即为满足的最小，
即为，
又，故为整数时，不为整数时为大于的最小整数，
而，当为整数时显然成立，
当不为整数时大于的最小整数为的整数部分，其小于，
故，
故选：B.
二、多选题
9．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（ ）
A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种
B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为
C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为
D．抽出的产品中次品数的数学期望为
【解题思路】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求出其期望.
【解答过程】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品，
所以共有种不同的抽法，所以A正确，
对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为，所以B错误，
对于C，由题意得抽出的产品中至少有件是次品的概率为，所以C正确，
对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，则
，，，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知，都是服从正态分布的随机变量，且，，其中，，则下列命题正确的有（ ）
A．
B．
C．若，，则
D．若，，，则
【解题思路】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的性质即可判断D．
【解答过程】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确；
对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误；
对于C，由正态分布的对称性得，，
所以，故C正确；
对于D，由，，，则，，
根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确；
故选：ACD．
11．（2024·福建泉州·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，设击中偶数次为事件，则（ ）
A．当时，取得最大值 B．当时，取得最小值
C．当随的增大而减小 D．当随的增大而减小
【解题思路】对于AB，直接由二项分布的方差公式即可求解；对于CD，可以根据二项式定理得出，进一步通过的范围即可判断的单调性.
【解答过程】对于AB：，
当时，取得最大值，故A正确，B错误；
对于CD：，
，
，
，
当时，为正负交替的摆动数列，
所以不会随着的增大而减小，故C错误；
当时，为正项且单调递减的数列，
所以随着的增大而减小，故D正确.
故选：AD．
三、填空题
12．（2023·江苏·三模）设随机变量（共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X件），则 .
【解题思路】根据超几何分布计算公式可得.
【解答过程】由随机变量服从超几何分布，
可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，
根据超几何分布公式可得.
故答案为：.
13．（2024·河南信阳·二模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为 3 .
【解题思路】根据正态分布的对称性可得方程，求出.
【解答过程】近似服从正态分布，，
故，解得.
故答案为：3.
14．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则 5 .
【解题思路】分析得到～，有，由二项式系数的性质求最大值.
【解答过程】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子号码服从二项分布，
且落入格子的号码即向右次数，即～，
所以，
由二项式系数的对称性可知当时，最大，即最大，所以．
故答案为：5.
四、解答题
15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基本的科学知识，培养良好的科学学习态度.特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：该活动规定每班选3人，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分.在竞赛中，甲 乙两班代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）利用二项分布的公式求解即可.
【解答过程】（1）由题设，甲队得20分，即2人答对1人答错，概率为，
乙队得10分，即1人答对2人答错，概率为，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
（2）由题意可知，甲队总得分X的可能值为，
，，
，，
甲队总得分X的分布列如下：
0 10 20 30
所以
16．（2024·山东泰安·模拟预测）增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在（单位：分钟）的50名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在的有5名学生.
(1)求a，b的值；
(2)若从样本中体育锻炼时间在的学生中随机抽取4人，设X表示在的人数，求X的分布列和均值.
【解题思路】（1）体育锻炼时间在的频率为，可求，利用面积和等于，可求；
（2）样本中体育锻炼时间在的有5名学生，在的有3名学生，可得，利用超几何分布可求分布列与数学期望.
【解答过程】（1）因为体育锻炼时间在的频率为，
所以，
又因为，
所以
（2）样本中体育锻炼时间在的有5名学生，在的有3名学生
则
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
17．（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，
【解题思路】（1）先求出，再利用正态分布曲线的对称性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用条件概率公式求解.
【解答过程】（1）由题意可知:，
则，
所以
（2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，，，
所以；
（ii）因为，
所以，
所以．
18．（2024·黑龙江·三模）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E().
附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，.
【解题思路】（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算可得；
（2）①根据正态分布的性质求解即可；②根据二项分布的期望公式计算即可.
【解答过程】（1）由题意得，平均数=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；
（2）①由(1)可知=69.5，≈9.21，
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；
②由①可知1名学生的健康指数位于[60.29，87.92]的概率为0.819，
依题意，服从二项分布，即～B(30000,0.819)，
则E()=np=24570.
19．（2024·新疆·二模）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看．
(1)已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；
(2)若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为．
①判断为何值时，最大；
②记，求．
【解题思路】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概率，然后利用对立事件的概率，即可求解；
（2）①由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小，即可求解；
②因为，所以可能取值为1或，然后结合①分别求出和的概率代入，即可得解.
【解答过程】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为，
所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为.
（2）①由已知服从二项分布，所以，
由，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
综上，当时，最大.
②因为，所以或，
当时，，
，
当时，，
，
.
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