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代数计算核心考点突破：实数、整式、分式与二次根式
考点梳理
考点一：实数的计算
考点预测：常在解答题第1题出现，融合零次幂、 -1的幂次、乘方、负整数指数幂、绝对值、开方、特殊角三角函数值等3 - 5个知识点，乘方、负整数指数幂的底数绝对值小于5，开方数在100以内。
答题技巧：实数运算规则与有理数运算相似，正实数能开平方。运算遵循从高级到低级的顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右。要掌握运算法则、运算顺序和运算律，牢记相关公式和特殊角三角函数值，注意易错点。
题型示例：计算。
【解析】：分别化简各项，，，
，，
再按运算顺序计算，原式。
通关练习
（1）计算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式。
（2）计算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
（3）计算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
（4）计算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
（5）计算：。
【答案】：。
【解析】：，，，，
原式
。
考点二：整式的混合运算与化简
考点预测：常见题型有直接化简整式、先化简再求值、找解题过程错误并改正，多在解答题第1或2题出现。必考乘法公式，涉及单项式与多项式、多项式与多项式相乘，字母个数1 - 2个，代值方式多样，可能结合方程或整体代入。
答题技巧：运算顺序和有理数混合运算相同，先乘方后乘除。“整体”思想很实用，注意整体需加括号。化简求值时先化简整式，再代入求值。掌握常用乘法公式。
题型示例：先化简，再求值：，其中，。
【解析】：利用公式展开式子，，，
则原式
。
将，代入，
得
。
通关练习
（1）先化简，再求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：化简原式，，
，
，
原式
，
将代入，
得。
（2）化简：。
【答案】：。
【解析】：，，
原式
。
（3）已知，求代数式的值。
【答案】：。
【解析】：先化简代数式，
，
由可得，
则原式
。
（4）化简求值：，其中，。
【答案】：。
【解析】：，
，
原式
，
将，代入，
得
。
（5）先化简，再求值：，其中，。
【答案】：。
【解析】：先化简，，
，
原式
，
将，代入，
得
。
考点三：分式的运算及化简
考点预测：主要有直接化简求值、补全或纠错化简过程、先化简再求值三种题型。通常是2 - 3项的混合运算，涉及1 - 2个字母，字母指数不超2，系数是10以内有理数，运算包含分式的加减乘除、通分、约分、去括号和因式分解。
答题技巧：分式混合运算顺序和数的运算一样，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内，结果要化为最简分式或整式，有时可灵活运用乘法运算律。化简求值时先化简，再代入未知数的值计算。
题型示例：先化简，再求值：，其中。
【解析】：先对括号内通分，，
则，
再将除法变乘法，
原式。
当时，原式。
通关练习
（1）先化简，再求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：先对括号内通分，，
则
，
再将除法变乘法，原式，
将代入，
得
。
（2）化简：。
【答案】：。
【解析】：先对括号内通分，，
则
，
再将除法变乘法，
原式
。
（3）已知，求的值。
【答案】：。
【解析】：先化简代数式，
。
由，因式分解得，
解得（舍去，分式分母不能为0）或，
将代入，
得。
（4）先化简，再求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：先对括号内通分，，
则
，
再将除法变乘法，原式，
将代入，得。
（5）化简求值：，其中。
【答案】：。
【解析】：先通分，将后面两项结合为，
通分后为。
则原式
。
将代入，得。
考点四：二次根式的计算
考点预测：重点考查二次根式混合运算，常和乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角三角函数综合出题。
答题技巧：运算顺序和有理数运算一致，根式可看作“单项式”，多个不同类二次根式的和类似“多项式”，结果要化为最简二次根式，灵活运用二次根式性质能简化运算。
题型示例：计算。
【解析】：先化简各项，，
再计算乘法，
则原式
。
通关练习
（1）计算：。
【答案】：。
【解析】：利用平方差公式，
则
；
根据完全平方公式，
。
所以原式 。
（2）计算：。
【答案】：。
【解析】：根据二次根式除法法则，；
根据乘法法则，；。
所以原式。
（3）先化简，再求值：，其中。
【答案】：，。
【解析】：利用平方差公式化简前一项，；
展开后一项。
则原式。
将代入得
。
（4）计算：。
【答案】：。
【解析】：，，，
因为任何非零数的次幂为，所以 ，。
所以原式
。
（5）计算：。
【答案】：。
【解析】：先将各项化为最简二次根式，，，。
则原式
。
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专题01 代数计算核心考点突破：实数、整式、分式与二次根式
考点一：实数的计算
考点预测：常在解答题第1题出现，融合零次幂、 -1的幂次、乘方、负整数指数幂、绝对值、开方、特殊角三角函数值等3 - 5个知识点，乘方、负整数指数幂的底数绝对值小于5，开方数在100以内。
答题技巧：实数运算规则与有理数运算相似，正实数能开平方。运算遵循从高级到低级的顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内，同级运算从左到右。要掌握运算法则、运算顺序和运算律，牢记相关公式和特殊角三角函数值，注意易错点。
题型示例：计算。
【解析】：分别化简各项，，，，，再按运算顺序计算，原式。
通关练习
（1）计算：。
（2）计算：。
（3）计算：。
（4）计算：。
（5）计算：。
考点二：整式的混合运算与化简
考点预测：常见题型有直接化简整式、先化简再求值、找解题过程错误并改正，多在解答题第1或2题出现。必考乘法公式，涉及单项式与多项式、多项式与多项式相乘，字母个数1 - 2个，代值方式多样，可能结合方程或整体代入。
答题技巧：运算顺序和有理数混合运算相同，先乘方后乘除。“整体”思想很实用，注意整体需加括号。化简求值时先化简整式，再代入求值。掌握常用乘法公式。
题型示例：先化简，再求值：，其中，。
【解析】：利用公式展开式子，，，则原式。将，代入，得 。
通关练习
（1）先化简，再求值：，其中。
（2）化简：。
（3）已知，求代数式的值。
（4）化简求值：，其中，。
（5）先化简，再求值：，其中，。
考点三：分式的运算及化简
考点预测：主要有直接化简求值、补全或纠错化简过程、先化简再求值三种题型。通常是2 - 3项的混合运算，涉及1 - 2个字母，字母指数不超2，系数是10以内有理数，运算包含分式的加减乘除、通分、约分、去括号和因式分解。
答题技巧：分式混合运算顺序和数的运算一样，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内，结果要化为最简分式或整式，有时可灵活运用乘法运算律。化简求值时先化简，再代入未知数的值计算。
题型示例：先化简，再求值：，其中。
【解析】：先对括号内通分，，则，再将除法变乘法，原式。当时，原式。
通关练习
（1）先化简，再求值：，其中。
（2）化简：。
（3）已知，求的值。
（4）先化简，再求值：，其中。
（5）化简求值：，其中。
考点四：二次根式的计算
考点预测：重点考查二次根式混合运算，常和乘法公式、零指数幂、整数指数幂、特殊角三角函数综合出题。
答题技巧：运算顺序和有理数运算一致，根式可看作“单项式”，多个不同类二次根式的和类似“多项式”，结果要化为最简二次根式，灵活运用二次根式性质能简化运算。
题型示例：计算。
【解析】：先化简各项，，再计算乘法，则原式。
通关练习
（1）计算：。
（2）计算：。
（3）先化简，再求值：，其中。
（4）计算：。
（5）计算：。
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