2.6.2 双曲线的几何性质(课件+学案+练习,共3份)人教B版(2019) 选择性必修 第一册

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2.6.2 双曲线的几何性质(课件+学案+练习,共3份)人教B版(2019) 选择性必修 第一册

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2.6.2 双曲线的几何性质
[学习目标] 1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
一、双曲线的简单几何性质
问题 类比对椭圆几何性质的研究,探究双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质.
知识梳理
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性 质 焦点
焦距 |F1F2|=______
范围
对称性 对称轴:______,对称中心:______
顶点
轴长 实轴长=____,虚轴长=____
离心率 e=____(e>1)
渐近线
例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
延伸探究
若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0,n>0),求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
反思感悟 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
跟踪训练1 已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为__________;C的焦点到其渐近线的距离是__________.
二、由简单几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的方程:
(1)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2);
(2)一个焦点为(0,13),且离心率为;
(3)过点(2,1)的等轴双曲线.
反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(λ≠0,-b2<λ②渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
③等轴双曲线可设为x2-y2=λ(λ≠0).
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;
(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为,求此双曲线的标准方程.
三、双曲线的离心率
例3 已知圆C:x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线相切,则该双曲线的离心率是(  )
A. B. C. D.
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)直接法:若可求得a,c,则直接利用e=得解.
(2)齐次式法:若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
跟踪训练3 已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为(  )
A.+1 B.+1
C.2 D.2
1.知识清单:
(1)双曲线的几何性质.
(2)由简单几何性质求标准方程.
(3)双曲线的离心率.
2.方法归纳:待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区:求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
1. (多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则(  )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(  )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(  )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线的离心率是________.
2.6.2 双曲线的几何性质
问题 1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围,由方程-=1可得=1+≥1,
于是,双曲线上点的坐标(x,y)都适合不等式≥1,y∈R,
所以x≥a 或x≤-a; y∈R.
2.对称性
-=1(a>0,b>0)关于x轴、y轴和原点都对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴,坐标原点是对称中心,又称为双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,称为双曲线的顶点.
顶点是A1(-a,0),A2(a,0),只有两个.
(2)如图,称线段A1A2为双曲线的实轴,它的长为2a,a称为半实轴长;称线段B1B2为双曲线的虚轴,它的长为2b,b称为双曲线的半虚轴长.
(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.
方程为x2-y2=m(m≠0).
4.渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y=(x>a),
它与直线y=x的位置关系:在直线y=x的下方.
它与直线y=x的位置的变化趋势:慢慢靠近,如图.
(1)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
(2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图.
5.离心率
(1)定义:e=.
(2)e的范围:e>1.
(3)e的含义:因为c>a>0,所以可以看出e>1,另外,注意到===,说明e越趋近于1,则的值越小,因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
知识梳理
F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) 2c x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R x轴、y轴 坐标原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 2a 2b  y=±x y=±x
例1 解 将9y2-4x2=-36变形为-=1,即-=1,
所以a=3,b=2,c=,
因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(-,0),(,0),
实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,
离心率e==,
渐近线方程为y=±x.
延伸探究
解 把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为-=1(m>0,n>0),
由此可知,半实轴长a=,
半虚轴长b=,c=,
焦点坐标为(,0),
(-,0),
离心率e=== ,
顶点坐标为(-,0),(,0),
渐近线方程为y=± x,
即y=±x.
跟踪训练1 (3,0) 
例2 解 (1)设所求双曲线方程为
-=1(a>0,b>0).
∵e=,
∴e2===1+=,
∴=.由题意得
解得
∴所求的双曲线方程为-=1.
(2)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,
又=,∴a=5,
b2=c2-a2=144,
故其标准方程为-=1.
(3)设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),
代入点(2,1),得λ=3,
∴所求双曲线方程为-=1.
跟踪训练2 解 (1)设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
由题意知2b=8,e==,
从而b=4,c=a,
代入c2=a2+b2,得a2=9,
故双曲线的标准方程为-=1.
(2)∵e=,∴=,
∴=,∴a2=3b2.①
又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0,
∴d==,即4a2b2=3(a2+b2).②
解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.
∴双曲线的标准方程为-y2=1.
例3 C
跟踪训练3 B
随堂演练
1.ABD 2.B 3.A 4.+1(共85张PPT)
2.6.2
第二章
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双曲线的几何性质
1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
学习目标
我们知道,椭圆是一条封闭的曲线,而双曲线是两支“开放式”的曲线,椭圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,它具有四个顶点,离心率的范围是(0,1),它的大小决定着椭圆的扁圆程度;双曲线和椭圆有着相似之处,那双曲线又有怎样的性质呢?让我们一起对双曲线的性质进行探究吧!
导 语
一、双曲线的简单几何性质
二、由简单几何性质求标准方程
课时对点练
三、双曲线的离心率
随堂演练
内容索引
双曲线的简单几何性质

类比对椭圆几何性质的研究,探究双曲线 =1(a>0,b
>0)的几何性质.
问题
提示 1.范围
所以x≥a 或x≤-a; y∈R.
2.对称性
x轴、y轴是双曲线的对称轴,坐标原点是对称中心,又称为双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,称为双曲线的顶点.
顶点是A1(-a,0),A2(a,0),只有两个.
(2)如图,称线段A1A2为双曲线的实轴,它的长为2a,a称为半实轴长;称线段B1B2为双曲线的虚轴,它的长为2b,b称为双曲线的半虚轴长.
(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.
方程为x2-y2=m(m≠0).
4.渐近线
(2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图.
5.离心率
(2)e的范围:e>1.
标准方程
图形
性 质 焦点 _________________ ____________________
焦距 |F1F2|=____
范围 ____________________ ____________________
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
2c
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
标准方程
性 质 对称性 对称轴:_________,对称中心:_________
顶点 _________________ ____________________
轴长 实轴长=____,虚轴长=____
离心率 e= (e>1)
渐近线 _________
_________
x轴、y轴
坐标原点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
2a
2b
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,e越大,开口越大.
(2)等轴双曲线的离心率为 ,渐近线方程为y=±x.
(3)求双曲线的渐近线方程时要注意焦点所在坐标轴的位置.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
注 意 点
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 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
例 1
因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),
实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,
若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0,n>0),求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
延伸探究
由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤




跟踪训练 1
(3,0)

由简单几何性质求标准方程
类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系,求出双曲线的标准方程?
问题4
提示 观察我们画出的双曲线,发现它也具有对称性,
而且直线F1F2是它的一条对称轴,所以以F1F2所在直线
为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐
标系,
此时双曲线的焦点分别为F1(-c,0),F2 (c,0),焦距为2c,c>0.
设P(x,y)是双曲线上一点,则
||PF1|-|PF2||=2a(a为大于0的常数),
类比椭圆标准方程的化简过程,化简①,得
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),
由双曲线的定义知,2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0,类比椭圆标准方程的建立过程,令b2=c2-a2,其中b>0,代入上式,
设双曲线的焦点为 F1和F2,焦距为2c,而且双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a,其中c>a>0 ,以F1F2所在直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,双曲线的标准方程是什么?
问题5
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ____________________
____________________
焦点 _____________ ________________
a,b,c的关系 c2=_______
(-c,0),(c,0)
(0,-c),(0,c)
a2+b2
(1)若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.
(2)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中a,b的大小关系不确定.
注 意 点
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 求满足下列条件的双曲线的方程:
例 1
依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,
设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),
代入点(2,1),得λ=3,
(3)过点(2,1)的等轴双曲线.
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧




由双曲线的性质求双曲线的标准方程
②渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
③等轴双曲线可设为x2-y2=λ(λ≠0).




跟踪训练 2
 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
代入c2=a2+b2,得a2=9,
∴a2=3b2. ①
又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0,
解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.
双曲线的离心率

例 3

即bx-ay=0,
又由圆C:x2+y2-10y+21=0,可得圆心为C(0,5),半径r=2,




求双曲线离心率的方法
(1)直接法:若可求得a,c,则直接利用e= 得解.
(2)齐次式法:若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
跟踪训练 3
 已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为

不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.
因为△PF1F2是等腰直角三角形,所以只能是∠PF2F1=90°,所以|PF2|=|F1F2|=2c,
所以|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,
所以(2a+2c)2=2·(2c)2,
即c2-2ac-a2=0,两边同除以a2,
得e2-2e-1=0.
1.知识清单:
(1)双曲线的几何性质.
(2)由简单几何性质求标准方程.
(3)双曲线的离心率.
2.方法归纳:待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区:求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
随堂演练

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1. (多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则



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3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4

令y=0,得x=-4,
∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),
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4.如图,在平面直角坐标系xOy中,以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线的离心率是________.
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由以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线,可得C(c,2c),
可得e4-6e2+1=0,
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基础巩固
1.已知双曲线 =1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于

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2.已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为

由题意知,所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,
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4.设双曲线 =1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为
A.4 B.3 C.2 D.1

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5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=± x,则下列结论正确的是
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2


|PF|的最小值为c-a=2,D正确.
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6.(多选)已知曲线C: =1,下列说法不正确的是
A.m<2时该曲线为双曲线
B.m=1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C.若曲线C为双曲线,则该双曲线的焦点一定在x轴上


则m2=2-m,解得m=1或m=-2,故B不正确;
若曲线C为双曲线,则m≠0,∴m2>0,故C正确;
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7.若双曲线y2- =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=
______.
双曲线的渐近线方程为x±my=0,
圆x2+y2-4y+3=0的方程可化为x2+(y-2)2=1,
则圆心坐标为(0,2),半径r=1.
∵双曲线的渐近线与圆相切,
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8.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒
数,则该双曲线的方程为____________.
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a2=64,c2=64-16=48,
从而a′=6,b′2=12,
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9.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.
(1)求双曲线的离心率;
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设经过第一、三象限的渐近线的方程为y=kx,
若双曲线焦点在x轴上,
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(2)P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,若PF1⊥PF2,求双曲线的方程.
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由题意设F1(-c,0),F2(c,0),
即(-c-3,4)·(c-3,4)=0,
所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5,
所以a=3,b=4,
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即bx+ay-ab=0.
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又b2=c2-a2,所以16a2(c2-a2)=3c4,
两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0,
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于是双曲线的离心率为2.
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又2c=10,
∴c=5.
由a2+b2=c2,解得a2=20,b2=5.
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12.已知A,B,C是双曲线 =1(a>0,b>0)上相异的三个点,点A,B关于原点对称,直线BC,AC的斜率乘积为2,则双曲线的离心率为
设A(x1,y1),C(x2,y2),
根据对称性,知B(-x1,-y1),
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13.已知P为双曲线 -x2=1上任意一点,过点P向双曲线的两条渐近线
分别作垂线,垂足分别为A,B,则|PA|·|PB|的值为
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关

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∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,
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拓广探究
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(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
所以a2=b2=2,
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(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为- ,求双曲线的离心率.
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所以c2(3b2-a2)=4a2b2且c2=a2+b2,
所以(a2+b2)(3b2-a2)=4a2b2,
所以3b4-2a2b2-a4=0,作业44 双曲线的几何性质
[分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于(  )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为(  )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
3.若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(  )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
4.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 (  )
A.C的方程为-=1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
6.(多选)已知曲线C:+=1,下列说法不正确的是(  )
A.m<2时该曲线为双曲线
B.m=1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C.若曲线C为双曲线,则该双曲线的焦点一定在x轴上
D.若曲线C为双曲线且离心率为,则m=或m=-
7.(5分)若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=________.
8.(5分)若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为____________.
9.(10分)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.
(1)求双曲线的离心率;(5分)
(2)P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,若PF1⊥PF2,求双曲线的方程.(5分)
10.(10分)设双曲线-=1(011.已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(  )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
12.已知A,B,C是双曲线-=1(a>0,b>0)上相异的三个点,点A,B关于原点对称,直线BC,AC的斜率乘积为2,则双曲线的离心率为(  )
A. B. C. D.
13.已知P为双曲线-x2=1上任意一点,过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线,垂足分别为A,B,则|PA|·|PB|的值为(  )
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关
14.(5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,P为双曲线上任意一点,则点P到右焦点F2的距离与直线x=的距离之比为________.
15.(5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1(m>0,n>0).若双曲线N的渐近线与椭圆M的交点恰好在以原点为圆心,椭圆M的焦距为直径的圆上,且交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.
16.(13分)双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(5分)
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.(8分)
作业44 双曲线的几何性质
1.C 2.D 3.B 4.C 5.AD
6.AB [由题意知,若曲线C为双曲线,则即m<2且m≠0,故A不正确;若该曲线为等轴双曲线,方程可化为-=1,
则m2=2-m,解得m=1或m=-2,故B不正确;
若曲线C为双曲线,则m≠0,
∴m2>0,故C正确;
e==7,即6m2+m-2=0,
解得m=或m=-,故D正确.]
7. 8.-=1
9.解 (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y=kx,
则=4,解得k=.
若双曲线焦点在x轴上,
则=,e==;
若双曲线焦点在y轴上,则=,
e==,
故所求双曲线的离心率为
e=或e=.
(2)由题意设F1(-c,0),F2(c,0),
由PF1⊥PF2得·=0.
即(-c-3,4)·(c-3,4)=0,
所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5,
由(1)知=,又a2+b2=c2=25,
所以a=3,b=4,
所以双曲线的方程为-=1.
10.解 直线l的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0.
于是有=c,
所以ab=c2,两边平方,得a2b2=c4.
又b2=c2-a2,
所以16a2(c2-a2)=3c4,
两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0,
解得e2=4或e2=.
又b>a,所以e2==1+>2,则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
11.A [由题意,点P(2,1)在双曲线C的渐近线y=x上,
∴=,即a=2b.
又2c=10,∴c=5.
由a2+b2=c2,解得a2=20,b2=5.
故所求双曲线C的方程为-=1.]
12.C [设A(x1,y1),C(x2,y2),
根据对称性,
知B(-x1,-y1),
所以kAC·kBC=·=.
因为点A,C在双曲线上,
所以
两式相减得=

kAC·kBC==2,
所以e2===1+
=3 e=.]
13.C [设点P(x0,y0),则有-x=1,
所以y-4x=4.
易知双曲线-x2=1的渐近线方程为2x±y=0,
所以|PA|·|PB|=·==.]
14.2
解析 离心率e=2,则=2,
∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,
∴b=a,∴右焦点F2(2a,0),
直线x===,
设点P(x0,y0),∴-=1,
即-=1,
∴点P到F2的距离与点P到直线x=的距离之比为=
===2.
15.-1 2
解析 依题意双曲线的渐近线方程为y=±x,又双曲线N的渐近线与椭圆M的交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍,所以=,
所以双曲线N的离心率为e′==2.
设椭圆M的右焦点坐标为(c,0),则双曲线N的渐近线与椭圆M的一个交点坐标为,因为点在椭圆M上,
所以+=1,
即+=4,+=4,
即e2+=4,
即e4-8e2+4=0,解得e2=4+2(舍去)或e2=4-2,所以e=-1.
故椭圆M的离心率为-1.
16.解 (1)由题意,知=1,c=2,
a2+b2=c2,所以a2=b2=2,
所以双曲线方程为-=1.
(2)由题意,设A(m,n),则kOA=,
从而n=m,
又m2+n2=c2,所以m=c,n=,
所以A,
将点A代入双曲线方程
-=1得,-=1,
所以c2(3b2-a2)=4a2b2且c2=a2+b2,
所以(a2+b2)(3b2-a2)=4a2b2,
所以3b4-2a2b2-a4=0,
所以34-22-1=0,
所以=1,从而e2=1+=2,
又e>1,所以e=.

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