资源简介

2.6.2　双曲线的几何性质
[学习目标]　1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题．
一、双曲线的简单几何性质
问题　类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质．
知识梳理
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性 质 焦点
焦距 |F1F2|＝______
范围
对称性 对称轴：______，对称中心：______
顶点
轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____
离心率 e＝____(e>1)
渐近线
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
延伸探究
若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
反思感悟　由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
跟踪训练1　已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________．
二、由简单几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(3)过点(2,1)的等轴双曲线．
反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
③等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
三、双曲线的离心率
例3　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B. C. D.
反思感悟　求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3　已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　)
A.＋1 B.＋1
C．2 D．2
1．知识清单：
(1)双曲线的几何性质．
(2)由简单几何性质求标准方程．
(3)双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________．
2.6.2　双曲线的几何性质
问题　1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，
所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2．对称性
－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点．
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长．
(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．
方程为x2－y2＝m(m≠0)．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝(x>a)，
它与直线y＝x的位置关系：在直线y＝x的下方．
它与直线y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图．
(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
(2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图．
5．离心率
(1)定义：e＝.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
知识梳理
F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，　F2(0，c)　2c　x≥a或x≤－a，y∈R　y≥a或y≤－a，x∈R　x轴、y轴　坐标原点　A1(－a,0)，A2(a,0)　A1(0，－a)，A2(0，a)　2a　2b　　y＝±x　y＝±x
例1　解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
延伸探究
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长a＝，
半虚轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，
(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线方程为y＝± x，
即y＝±x.
跟踪训练1　(3,0)　
例2　解　(1)设所求双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，
∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝.由题意得
解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，
b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2,1)，得λ＝3，
∴所求双曲线方程为－＝1.
跟踪训练2　解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知2b＝8，e＝＝，
从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，
∴＝，∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
例3　C
跟踪训练3　B
随堂演练
1．ABD　2.B　3.A　4.＋1(共85张PPT)
2.6.2
第二章
<<<
双曲线的几何性质
1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
学习目标
我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！
导 语
一、双曲线的简单几何性质
二、由简单几何性质求标准方程
课时对点练
三、双曲线的离心率
随堂演练
内容索引
双曲线的简单几何性质
一
类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线 ＝1(a>0，b
>0)的几何性质.
问题
提示　1.范围
所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2.对称性
x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点.
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个.
(2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长.
(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.
方程为x2－y2＝m(m≠0).
4.渐近线
(2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图.
5.离心率
(2)e的范围：e>1.
标准方程
图形
性 质 焦点 _________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝____
范围 ____________________ ____________________
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
标准方程
性 质 对称性 对称轴：_________，对称中心：_________
顶点 _________________ ____________________
轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____
离心率 e＝ (e>1)
渐近线 _________
_________
x轴、y轴
坐标原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
2a
2b
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(2)等轴双曲线的离心率为 ，渐近线方程为y＝±x.
(3)求双曲线的渐近线方程时要注意焦点所在坐标轴的位置.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
注 意 点
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　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
例 1
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
延伸探究
由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
反
思
感
悟
跟踪训练 1
(3,0)
二
由简单几何性质求标准方程
类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
问题4
提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，
而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1F2所在直线
为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐
标系，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，
设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
问题5
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ____________________
____________________
焦点 _____________ ________________
a，b，c的关系 c2＝_______
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a2＋b2
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
(2)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a，b的大小关系不确定.
注 意 点
<<<
　求满足下列条件的双曲线的方程：
例 1
依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2,1)，得λ＝3，
(3)过点(2,1)的等轴双曲线.
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧
反
思
感
悟
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
③等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0).
反
思
感
悟
跟踪训练 2
　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
∴a2＝3b2. ①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
双曲线的离心率
三
例 3
√
即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
反
思
感
悟
求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝ 得解.
(2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
跟踪训练 3
　已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为
√
不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.
因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，
所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2，
即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，
得e2－2e－1＝0.
1.知识清单：
(1)双曲线的几何性质.
(2)由简单几何性质求标准方程.
(3)双曲线的离心率.
2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√
√
√
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2
3
4
√
1
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1
2
3
4
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
√
令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
1
2
3
4
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________.
1
2
3
4
由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
可得e4－6e2＋1＝0，
课时对点练
五
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基础巩固
1.已知双曲线 ＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于
√
1
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2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为
√
由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，
1
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√
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4.设双曲线 ＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
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5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝± x，则下列结论正确的是
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
√
√
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.
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6.(多选)已知曲线C： ＝1，下列说法不正确的是
A.m<2时该曲线为双曲线
B.m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C.若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上
√
√
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；
若曲线C为双曲线，则m≠0，∴m2>0，故C正确；
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7.若双曲线y2－ ＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝
______.
双曲线的渐近线方程为x±my＝0，
圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，
则圆心坐标为(0,2)，半径r＝1.
∵双曲线的渐近线与圆相切，
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8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒
数，则该双曲线的方程为____________.
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a2＝64，c2＝64－16＝48，
从而a′＝6，b′2＝12，
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9.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切.
(1)求双曲线的离心率；
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设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
若双曲线焦点在x轴上，
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(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程.
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由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
即(－c－3,4)·(c－3,4)＝0，
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
所以a＝3，b＝4，
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即bx＋ay－ab＝0.
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又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
1
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于是双曲线的离心率为2.
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综合运用
√
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又2c＝10，
∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
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√
12.已知A，B，C是双曲线 ＝1(a>0，b>0)上相异的三个点，点A，B关于原点对称，直线BC，AC的斜率乘积为2，则双曲线的离心率为
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
根据对称性，知B(－x1，－y1)，
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13.已知P为双曲线 －x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线
分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为
A.4 B.5
C. D.与点P的位置有关
√
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∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
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拓广探究
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(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
所以a2＝b2＝2，
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(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－ ，求双曲线的离心率.
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所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2，
所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
所以3b4－2a2b2－a4＝0，作业44　双曲线的几何性质
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
5．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　)
A．C的方程为－＝1
B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
6．(多选)已知曲线C：＋＝1，下列说法不正确的是(　　)
A．m<2时该曲线为双曲线
B．m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C．若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上
D．若曲线C为双曲线且离心率为，则m＝或m＝－
7．(5分)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________.
8．(5分)若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为____________．
9．(10分)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；(5分)
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．(5分)
10．(10分)设双曲线－＝1(011．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
12．已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上相异的三个点，点A，B关于原点对称，直线BC，AC的斜率乘积为2，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
13．已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为(　　)
A．4 B．5
C. D．与点P的位置有关
14．(5分)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点F2的距离与直线x＝的距离之比为________．
15．(5分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的渐近线与椭圆M的交点恰好在以原点为圆心，椭圆M的焦距为直径的圆上，且交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
16．(13分)双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(5分)
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．(8分)
作业44　双曲线的几何性质
1．C　2.D　3.B　4.C　5.AD
6．AB　[由题意知，若曲线C为双曲线，则即m<2且m≠0，故A不正确；若该曲线为等轴双曲线，方程可化为－＝1，
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；
若曲线C为双曲线，则m≠0，
∴m2>0，故C正确；
e＝＝7，即6m2＋m－2＝0，
解得m＝或m＝－，故D正确．]
7.　8.－＝1
9．解　(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
则＝4，解得k＝.
若双曲线焦点在x轴上，
则＝，e＝＝；
若双曲线焦点在y轴上，则＝，
e＝＝，
故所求双曲线的离心率为
e＝或e＝.
(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
由PF1⊥PF2得·＝0.
即(－c－3,4)·(c－3,4)＝0，
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25，
所以a＝3，b＝4，
所以双曲线的方程为－＝1.
10．解　直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，
所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11．A　[由题意，点P(2,1)在双曲线C的渐近线y＝x上，
∴＝，即a＝2b.
又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求双曲线C的方程为－＝1.]
12．C　[设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
根据对称性，
知B(－x1，－y1)，
所以kAC·kBC＝·＝.
因为点A，C在双曲线上，
所以
两式相减得＝
＝
kAC·kBC＝＝2，
所以e2＝＝＝1＋
＝3 e＝.]
13．C　[设点P(x0，y0)，则有－x＝1，
所以y－4x＝4.
易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，
所以|PA|·|PB|＝·＝＝.]
14．2
解析　离心率e＝2，则＝2，
∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
∴b＝a，∴右焦点F2(2a,0)，
直线x＝＝＝，
设点P(x0，y0)，∴－＝1，
即－＝1，
∴点P到F2的距离与点P到直线x＝的距离之比为＝
＝＝＝2.
15.－1　2
解析　依题意双曲线的渐近线方程为y＝±x，又双曲线N的渐近线与椭圆M的交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍，所以＝，
所以双曲线N的离心率为e′＝＝2.
设椭圆M的右焦点坐标为(c,0)，则双曲线N的渐近线与椭圆M的一个交点坐标为，因为点在椭圆M上，
所以＋＝1，
即＋＝4，＋＝4，
即e2＋＝4，
即e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2(舍去)或e2＝4－2，所以e＝－1.
故椭圆M的离心率为－1.
16．解　(1)由题意，知＝1，c＝2，
a2＋b2＝c2，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为－＝1.
(2)由题意，设A(m，n)，则kOA＝，
从而n＝m，
又m2＋n2＝c2，所以m＝c，n＝，
所以A，
将点A代入双曲线方程
－＝1得，－＝1，
所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2，
所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
所以3b4－2a2b2－a4＝0，
所以34－22－1＝0，
所以＝1，从而e2＝1＋＝2，
又e>1，所以e＝.

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