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第10章 二元一次方程组
10.3　实际问题与二元一次方程组
第2 课时 实际问题与二元一次方程组（二）
学习目标
1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系,列出方程组.
2.学会检验方程组的解是否符合题意并正确作答.
3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
如何解决这个问题呢？
1.利用二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？
2.前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决.
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？
新知初探
贰
新知初探
如图所示，长方形ABCD中，AB=200 m,BC=100 m.
任务一　探究几何图形问题
活动1　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？
问题1 认真阅读题目，怎样用数学图形怎样表示这块土地？请画出来.
A
D
C
B
问题2 将一个长方形分成两个小长方形，有哪些分法？请画出来.
这里研究的实际上是 什 么 问题.
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
试着画一画
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
F
问题3 “甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2”是什么意思
甲种作物的单位面积产量是a,那么乙种作物的单位面积产量是2a.
问题4 “甲、乙两种作物的总产量的比为3:4”是什么意思
种植甲种作物的总产量:种植乙种作物的总产量=3:4.
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1. 大长方形的长 = 200 m
2. 甲、乙两种作物总产量比 = 3∶4
问题5 等量关系式有几个？
问题6 本题中要求的量是什么？怎样设出未知数？
根据相等关系你能列出二元一次方程组吗？
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1. 大长方形的长 = 200 m
2.甲、乙两种作物总产量比=3∶4
设 AE＝ x m，BE＝ y m.
求出两种作物的面积
S长方形AEFD = 100x
S长方形EFBC = 100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x∶200y = 3∶4
总产量=
？
1∶2
x
y
200 m
100 m
则列方程为
x + y = 200
单位面积产量×面积
过长方形土地的长边上离一端约120m处,作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块土地种甲种作物,较小的一块土地种乙种作物.
问题7 解这个方程组，求出x,y的值.
解：原方程组化简，得
由②，得x= y,③
把③代入①，得 y+y=200,y=80.
把y=80代入③，得x=120.
所以原方程组的解为
如何根据x,y的值表述你的种植方案.
所以过长方形土地的长边上离一端约120m处,作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块土地种甲种作物,较小的一块土地种乙种作物.
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x∶200y = 3∶4.
200 m
x
y
100 m
x + y = 200，
解得
x = 120，
y = 80.
如何写出完整的解题过程呢？
甲种作物
乙种作物
解：
过点 E 作 EF⊥AB，
交 CD 于点 F.
设 AE ＝ x m，BE ＝ y m.
A
D
C
B
200 m
100 m
问题8 你能根据方案2的设计方法求出相应的种植方案吗？尝试一下.
E
x
y
F
x + y = 100，
乙种作物
甲种作物
解：过点 E 作 EF⊥AD，交BC 于点 F.
设 DE = x m，AE = y m.
200x∶400y = 3∶4.
200y
200x
x = 60，
y = 40.
解得
根据题意列方程组为
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
所以过长方形土地的短边上离一端约60m处,作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块土地种甲种作物,较小的一块土地种乙种作物.
即时测评
如图 1所示,将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的形,剩余部分的面积为 21 cm2,并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示的形状,即宽为3cm的长方形,请你求出大正方形和小正方形的边长.
解：根据题意，得
解得
答：大正方形的边长为5cm,小正方形的边长为2cm.
未知量是甲工程队修建时间和乙工程队修建时间.
设甲工程队的工作时间为x天，乙工程队的工作时间为y天.
任务二　探究工程问题
活动2　某道路规划为城市主干路，全长7.6km．如果该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天修建道路0.2km，乙工程队每天修建道路0.1km，两工程队共需修建56天，求甲、乙两工程队分别修建了多少天？
问题1 本题中有哪些相等关系
(1)甲工程队工作时间+乙工程队工作时间=56天；
(2)甲工程队修建道路长度+乙工程队修建道路长度=7.6千米.
问题2 本题要求的未知量是什么？应该怎样设出未知数？
工作效率(km/天) 工作时间 工作量
甲
乙
合计 56 7.6
问题3 将下列表格完成，然后根据相等关系列出方程组并求出答案.
0.2
活动2　某道路规划为城市主干路，全长7.6km．
如果该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天
修建道路0.2km，乙工程队每天修建道路0.1km，两工程队共需修建56天，求甲、乙两工程队分别修建了多少天？
0.1
x
y
0.2x
0.1y
答：甲工程队修建道路20天，乙工程队修建道路36天．
解：设甲工程队的工作时间为x天，乙工程队的工作时间为y天，
根据题意，得
解得
即时测评
现有一段长为180m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12m,乙工程队每天整治8m,共用时20天．问甲、乙两工程队分别整治了多少米？
解：设甲工程队整治街道x m,乙工程队整治街道y m.
根据题意，得
解得：
答：甲工程队整治河道60m,乙工程队整治河道120m.
当堂达标
叁
当堂达标
1. 在长为20m、宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．
解：设小矩形的长为xm，宽为ym，
由题意，得
解得
即小矩形的长为8m，宽为4m，面积为8×4=32（m2）.
答：一个小矩形花圃的面积32m2，
2.某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，
根据题意，得
解得
答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．
3.如图所示，在长方形ABCD中，放入
5个形状大小相同的小长方形，其中AB=5cm,BC=7cm.
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求阴影部分图形的总面积．
解：（1）设小长方形的长为x cm,宽为y cm,
依题意，得
解得 ．
答：小长方形的长为4cm,宽为1cm.
（2）7×5-5×4×1=15（cm2）．
答：阴影部分图形的总面积为15cm2．
课堂小结
肆
课堂小结
(1)解决本节课中的问题，用到了什么知识
(2) 从本节课的研究中，你能体会到什么样的方法和思想
课后作业
基础题：1.课后习题 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2,3题
谢
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第2 课时 实际问题与二元一次方程组（二）
学习目标
1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系,列出方程组.
2.学会检验方程组的解是否符合题意并正确作答.
3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
自主探索
利用二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？
任务一　探究几何图形问题
活动1　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？
问题1 认真阅读题目，怎样用数学图形怎样表示这块土地？请画出来.
问题2 将一个长方形分成两个小长方形，有哪些分法？请画出来.
问题3 “甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2”是什么意思
问题4 “甲、乙两种作物的总产量的比为3:4”是什么意思
问题5 本题中有哪些相等关系
问题6: 本题中要求的量是什么？怎样设出未知数？根据相等关系你能列出二元一次方程组吗？
问题7 解这个方程组，求出x,y的值.
问题8 你能根据方案2的设计方法求出相应的种植方案吗？尝试一下.
【即时测评】
如图 1所示,将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的形,剩余部分的面积为 21 cm2,并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示的形状,即宽为3cm的长方形,请你求出大正方形和小正方形的边长.
任务二　探究工程问题
活动2　某道路规划为城市主干路，全长7.6km．如果该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天修建道路0.2km，乙工程队每天修建道路0.1km，两工程队共需修建56天，求甲、乙两工程队分别修建了多少天？
问题1 本题中有哪些相等关系
问题2 本题要求的未知量是什么？应该怎样设出未知数？
问题3 将下列表格完成，然后根据相等关系列出方程组并求出答案.
工作效率(km/天) 工作时间 工作量
甲
乙
合计 56 7.6
【即时测评】
现有一段长为180m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12m,乙工程队每天整治8m,共用时20天．问甲、乙两工程队分别整治了多少米？
当堂达标
1. 在长为20m、宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．
2.某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
3.如图所示，在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形，其中AB=5cm,BC=7cm.
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求阴影部分图形的总面积．
参考答案
当堂达标
1.解：设小矩形的长为xm，宽为ym，
由题意，得，
解得，
即小矩形的长为8m，宽为4m，面积为8×4=32（m2）.
答：一个小矩形花圃的面积32m2，
2.解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，
根据题意，得解得
答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．
3.解：（1）设小长方形的长为x cm,宽为y cm,
依题意，得解得．
答：小长方形的长为4cm,宽为1cm.
（2）7×5-5×4×1=15（cm2）．
答：阴影部分图形的总面积为15cm2．
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第2课时　实际问题与二元一次方程组(二)
课标摘录 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程. 2.掌握消元法,能解二元一次方程组. 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.
教学目标 1.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组. 2.学会检验方程组的解是否符合题意并正确作答. 3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
教学重难点 重点:用二元一次方程组解决实际问题. 难点:由相等关系正确建立方程组,从而把实际问题转化为数学问题即二元一次方程组.
教学策略 本节是在前面已经学习过列二元一次方程组解决实际问题的基础上,进一步以“探究”的形式讨论贴近我们身边的图形面积问题.教学中通过对实际问题的分析,把问题关键语句中蕴含的等量关系转化为方程,解方程组和验证解的合理性,使学生掌握列方程组解决实际问题的方法及一般步骤,提高学生运用方程组模型分析并解决实际问题能力,发展符号感.
情境导入 1.利用二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么 2.前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程,其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决. (案例见教材P102探究2或课件、导学案) 设计意图:回顾旧知,为学习新知识做好准备.以学生身边的实际问题引入,突出数学与现实的联系,培养学生运用数学的意识.
新知初探 探究一　探究几何图形问题 活动1　见教材P102探究2或课件、导学案. 问题1:认真阅读题目,怎样用数学图形表示这块土地 请画出来. 问题2:将一个长方形分成两个小长方形,有哪些分法 请画出来. 问题3:“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2”是什么意思 问题4:“甲、乙两种作物的总产量的比为3∶4”是什么意思 师:下面我们先来研究方案1怎样划分这块土地. 问题5:本题中要求的量是什么 怎样设出未知数 问题6:本题中有哪些相等关系 根据这些相等关系你能列出二元一次方程组吗 问题7:解这个方程组,求出x,y的值. 追问:如何根据x,y的值表述你的种植方案.
问题8:你能根据方案2的设计方法求出相应的种植方案吗 尝试一下. 师生活动:学生思考,解答问题.教师及时补充,归纳总结. 设计意图:通过问题串的形式引导学生分析题目,确定未知数及相等关系的大致思路.进一步锻炼学生利用二元一次方程组解决几何问题的能力.学生交流解法,碰撞思维火花,体会一题多解的问题情境,学会从多种角度考虑问题. 【即时测评】见课件、导学案. 探究二　探究工程问题 活动2　见课件、导学案. 问题1:本题中有哪些相等关系 　 问题2:本题要求的未知量是什么 应该怎样设出未知数 问题3:将下列表格完成,然后根据相等关系列出方程组并求出答案. 工作效率/(km/天)工作时间工作量甲0.2x0.2x乙0.1y0.1y合计567.6
师生活动:学生讨论,分析,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 探究二　意图说明 让学生感受列表法的直观,体会用列表法梳理数量关系的好处,培养学生使用列表法的意识.进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想,以及掌握用列二元一次方程组解应用题的方法和步骤. 【即时测评】见课件、导学案.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.解决本节课中的问题,用到了什么知识 2.从本节课的研究中,你能体会到什么样的方法和思想 本节课我们首先回顾了用二元一次方程组解决实际问题的一般思路,然后通过构建二元一次方程组数学模型的方法解决了本节课的所有问题,即建模思想;我们将生活问题转化为数学问题,将划分面积问题转化为划分边长问题,体现了转化思想;通过观察长方形,找出了题目中的数量关系,即数形结合思想;当题目中数量关系较多时,我们还采用了列表法帮助我们分析问题;最后,一题多解,从不同角度思考问题,将带给我们不同的精彩. 设计意图:通过学生的归纳和总结,激发学生的主动性,为每位学生创造获得成功体验的机会.培养学生及时小结反思的学习习惯,提高表达和归纳的能力,将学生的收获从知识层面上升到思想方法层面.
板书设计 第2课时　实际问题与二元一次方程组(二) 1.列方程组解决几何图形问题 2.列方程组解决工程问题
教学反思
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共15张PPT)
第2课时　几何图形、数字问题及工程问题
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.将几何与代数相结合,通过分析和识别几何图形的性质,利用几何图形给出的等量关系建立方程组并解决问题.
2.解决工程问题时,常把总工作量看作　 　.
(1)基本关系式:工作量=　 　×　 　;
(2)等量关系式:工作量=人均效率×人数×　 　;
(3)各部分工作量之和=　 　.
单位“1”
工作效率
工作时间
工作时间
工作总量
课堂互动
知识点一　几何图形问题
例1　如图所示,10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形,设长方形墙砖的长和宽分别为x cm和y cm,则依题意列方程组正确的是( )
B
知识点二　数字问题
例2　(教材练习变式)在“幻方拓展课程”探索中,小明在如图所示的3×3方格内填入了一些数及表示数的代数式,若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等,则x+y等于( )
A.2 B.4
C.10 D.8
C
知识点三　工程问题
例3　甲、乙两人做同样的零件,如果甲先做一天,乙再开始做,那么乙工作5天后两人做的零件一样多;如果甲先做30个,乙再开始做,那么乙工作4天后反比甲多做10个.求甲、乙两人每天各做多少个零件.若设甲、乙两人每天分别做x个、y个零件,则由题意可得方程组( )
C
基础题
D
1.某粮食加工厂收购玉米150吨,准备加工后销售,该公司的加工能力是:每天可以精加工8吨和粗加工16吨,现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工 设安排x天精加工,y天粗加工,则所列方程组正确的是( )
C
3.把常用的一副三角板按如图所示的方式摆放,且∠1的度数比∠2的度数大50°.若设∠1=x°,∠2=y°,则可得到的方程组为( )
D
4.一块长方形草坪的长比宽的2倍多10 m,它的周长是134 m,则它的宽为　 　 m.
19
5.一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,若把这个两位数加上9,则所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了,求原来的两位数.
6.甲、乙两水池现共贮水40 t,如果甲池进水4 t,乙池进水8 t,那么甲池水量等于乙池水量,则甲、乙两水池原先各自的贮水量是
( )
A.甲22 t,乙18 t
B.甲23 t,乙17 t
C.甲21 t,乙19 t
D.甲24 t,乙16 t
中档题
A
7.现有八个大小相同的长方形,可拼成如图(1)(2)所示的图形,在拼图(2)时,中间留下了一个边长为2的小正方形,则每个小长方形的面积是( )
A.50 B.60 C.70 D.80
B
图(1)　　 图(2)
8.甲是乙现在的年龄时,乙8岁,乙是甲现在的年龄时,甲26岁,那么现在甲是　 　岁,乙是　 　岁.
20
14
9.为完善某市城市路网结构,营造便捷通畅的城市道路系统,提升城市面貌惠及民生,2024年5月起,该市各道路维修改造工程有序进行.已知甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米;甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米.则甲、乙两工程队每天分别修路多少米
素养题
10.(推理能力、运算能力)如图所示,约定:上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数.有以下两个结论,结论Ⅰ:若m的值为3,则y的值为4;结论Ⅱ:不论m,n取何值,x-y的值一定为3.下列说法正确的是( )
A.Ⅰ,Ⅱ都对
B.Ⅰ对,Ⅱ不对
C.Ⅰ不对,Ⅱ对
D.Ⅰ,Ⅱ都不对
D

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