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2024-2025学年四川省巴中市高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.某农场共有头牛，其中甲品种牛头，乙品种牛头，丙品种牛头，现采用分层抽样的方法抽取头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为( )
A. B. C. D.
3.经过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第次和第次某一面朝下的概率分别记为，则的大小关系为( )
A. 的大小由确定 B.
C. D.
5.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
6.已知空间向量，，，若，，共面，则的值为( )
A. B. C. D.
7.某地区今年举行了校园足球联赛赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队下称甲队每场比赛平均失球数是，每场失球个数的标准差是；乙学校足球代表队下称乙队每场比赛平均失球数是，每场失球个数的标准差是下列说法中正确的是( )
A. 平均来说乙队比甲队防守效果好
B. 甲队比乙队技术水平更稳定
C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
D. 甲队每场比赛必失球
8.已知点集，分别表示曲线、，若、有四个公共点，则的取值范围( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法中，正确的是( )
A. 直线的一个方向向量为
B. 三点共线
C. 直线其中必过定点
D. 经过点，倾斜角为的直线方程为
11.在平面直角坐标系中，已知两定点，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是( )
A. 当时，曲线是以原点为圆心，半径为的圆
B. 当时，点所在曲线的焦点在轴上
C. 当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点
D. 当时，直线与曲线有两个不同公共点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若与互相垂直，则实数的值为 ．
13.已知直线与直线平行其中为实数，则它们之间的距离为 ．
14.已知三棱柱，点在内，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且若到面的距离为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程．
16.本小题分
已知直线，圆点为圆心．
若直线与圆相切，求实数的值；
当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由．
17.本小题分
甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步，比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有个红球个白球，乙的盒子里面有个红球个白球，这些球只有颜色不同每一轮比赛的规则是：甲，乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动各自摸球后都放回自己的盒子中．
经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？
以频率作为概率，试求轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率．
18.本小题分
如图，等腰梯形的高为是上靠近的三等分点，如图所示，将沿折起到的位置，使得，如图所示，点在棱上
求证：直线平面；
若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
若平面与平面所成的锐二面角为，求的值．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且．
求抛物线的方程；
直线与抛物线的另一个交点为，求的面积其中为坐标原点；
斜率分别为、的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为、，若，求证：直线过定点．
参考答案
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14.
15.解：
由题意可知：，可得
则，
所以椭圆的方程为．
椭圆的焦点为，且短轴长为．
以为左，右顶点的双曲线的方程设为．
依题意得，所以双曲线的方程为．
其渐近线方程为．

16.解：
由可得，即、半径，
由可得，
由直线与圆相切，则有，化简得，
即或；
当时，，此时点到直线的距离为，
故直线与圆相交，即直线与圆相交于不同的两点，
由，则，
则．

17.解：
经过多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多，
原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，具体如下：
一轮比赛中，记“甲向前走一步”为事件，“乙向前走一步”为事件，
根据古典概型概率的计算可得，，
则，即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，
所以，多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多．
在轮比赛后，事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步，甲没有前进”和“乙恰好向前走两步，甲最多向前走一步”两个事件，
分别记为、，且事件、为互斥事件，
则，
，
所以，轮比赛后，乙走的步数比甲多的概率为．

18.解：
在图中，作的靠近的三等分点，
连接，所以，结合和．
所以四边形为平行四边形，所以．
所以为等腰三角形，
因为是上靠近的三等分点，
所以为等腰三角形底边上的中点，所以．
所以在图中，．
又因为，且，平面，
所以直线平面
由知两两垂直，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，令，得．
设直线与平面所成角的大小为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
．
设，则．
设平面的法向量为，则，解得，
令，得，可得平面的一个法向量为，
由题知，解得，且点在棱上，
所以的值为．

19.解：
由抛物线的定义可得，解得，
所以，抛物线的方程为．
由在抛物线上，且在第一象限内，所以，，即点，
易知点，所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
联立可得，解得或
则点、，
所以，．
若直线的斜率为零，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
因为，
可得，则，
所以，直线的方程为，
由可得
因此，直线过定点．

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