资源简介

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2024-2025人教版八年级数学下大单元结构化整合系列
16.3 二次根式的加减八大题型解题技巧
知识点一、可以合并的二次根式的定义
1.将一些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这样的二次根式就称为可合并的二次根式。
2.合并二次根式的方法
将根号外的因数相加，根指数和被开方数不变。
知识点二、二次根式的加减
二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
二次根式加减运算的步骤
化：将各个二次根式化成最简二次根式，
找：找出化简后被开方数相同的二次根式。
合：合并被开方数相同的二次根式——系数相加作为和的系数，根指数与被开方数不变。
知识点三、二次根式的混合运算
二次根式混合运算种类
二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。
二次根式混合运算的顺序
二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的（或先去括号）。
题型归纳
【题型1 判断二次根式能否合并】
【题型2 根据能合并的二次根式特征求值】
【题型3 二次根式的加减】
【题型4 二次根式的混合运算】
【题型5 一般二次根式化简求值】
【题型6 对称式的二次根式的求值】
【题型7 二次根式的整数部分、小数部分的有关计算】
【题型8 二次根式的实际应用】
题型突破、典例精析
【题型1 判断二次根式能否合并】
【例1-1】．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【例1-2】．写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是　 　．（写一个即可）
解题技巧
可以合并的二次根式必须同时满足是最简二次根式和被开方数相同两个条件。与根号外的因数无关。
被开方数不同的二次根式不能合并。
【变式1-1】．下列二次根式中，能与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-2】．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-3】．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C．. D．
【变式1-4】．下列二次根式中， 可以与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【题型2 根据能合并的二次根式特征求值】
【例2-1】．若最简二次根式与可以合并，则a的值为　 　．
解题技巧
（1）.判断两个二次根式是否能合并，首先要将二次根式化成最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相同就能合并，不相同就不能合并。
（2）.几个二次根式能否合并，只与被开方数有关，与根号前面的系数无关。
【变式2-1】．若最简二次根式与可以合并，则的值　 　．
【变式2-2】．若与最简二次根式可以合并，则a＝　 　．
【变式2-3】． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（　　）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
【题型3 二次根式的加减】
【例3-1】计算：.
【例3-2】．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解题技巧
化：将各个二次根式化成最简二次根式，
找：找出化简后被开方数相同的二次根式。
合：合并被开方数相同的二次根式——系数相加作为和的系数，根指数与被开方数不变。
【变式3-1】．计算：.
【变式3-2】．计算：
（1）；
（2）
【变式3-3】． 计算：
（1）；
（2）；
【变式3-4】．计算：．
【变式3-5】．计算：
解：原式…………第1步
…………………………第2步
……………………第3步
………………………………第4步
（1）以上解答过程中，从第　 　步开始出现错误；
（2）请写出本题的正确解答过程．
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4-1】．
【例4-2】 计算：
（1） ；
（2） 已知 ， 求代数式 的值.
解题技巧
（1）牢记运算顺序和运算法则可确保运算正确。
（2）运用运算律与乘法公式可简化运算。
（3）结果必须化成最简二次根式。
【变式4-1】．． 计算： .
【变式4-2】．．计算：
（1）
（2）
【变式4-3】． 计算：
（1）
（2）
【变式4-4】． 计算：
【变式4-5】数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下：
解：原式
请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程．
【题型5 一般二次根式化简求值】
【例5-1】．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
【例5-2】． 先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
解：原式 解：原式
（1）　 　的解答过程是错误的；
（2）先化简，再求值：，其中．
解题技巧
由二次根式的定义，被开方数是非负数转化成不等式问题，确定字母的取值范围。再由方程的解确定字母的取值范围，在字母求值范围内根据二次根式性质化简求值。
【变式5-1】．已知实数x，y满足关系式，求的值．
【变式5-2】．（1）当a=时，求代数式的值；
（2）先化简，再求值：，其中x=，y=．
【变式5-3】．．运算能力] 已知实数 满足 ， 求 的值.
【变式5-4】．已知，且x为奇数，求(1+x)·的值
【变式5-5】．．已知，求的值．
【题型6 对称式的二次根式的求值】
【例6-1】．已知，，则　 　.
【例6-2】．已知，，则的值为　 　．
【变式6-1】．已知：．
求：
（1）；
（2）．
解题技巧
对于对称式首先求a+b、a-b、ab的值，再代入求值
【变式6-1】．．已知，求下列式子的值：
（1）．
（2）．
【变式6-2】．． 若 ， 则 的值为　 　
【变式6-3】．．已知，，求下列各式的值：
（1）a2-b2
（2）a2- ab+b2
【变式6-4】．．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【题型7 二次根式的整数部分、小数部分的有关计算】
【例7-1】． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是　 　．
【例7-2】．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
解题技巧
先由无理数的大小估值确定整数部分，再由小数部分=原数-整数部分来确定小数部分。
【变式7-1】． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1；于是用来表示的小数部分．
请解答：
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（2）已知：，其中是整数，且，求的相反数．
【变式7-2】．已知的整数部分为a，小数部分为b，求(3a+b)(3a-b)的值.
【变式7-3】． 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题：
（1）请表示出的小数部分；
（2）若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值；
（3）已知，其中x是一个正整数，，求的值．
【变式7-4】． 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是　 　．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
【题型8 二次根式的实际应用】
【例8-1】．（1） 已知一个长方形的长和宽分别是 ， 则它的面积是　 　
（2） 已知一个长方形的长和面积分别为 和 ， 则这个长方形的宽为　 　
【例8-2】． 两船同时同地出发， 船以 的速度朝正北方向行驶， 船以 的速度朝正西方向行驶， 行驶时间为 ．
（1） 用含 的代数式表示两船的距离 ．
（2）当 时，两船相距多少千米？
解题技巧
先根据实际问题列出二次根式，再进行计算。
【变式8-1】．． 在一个边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，求剩余部分的面积.
【变式8-2】． 【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期。它的计算公式是：，其中T表示周期（单位：s），l表示摆线长（单位：m），，π是圆周率。（π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，）
（1）【思考填空】通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越　 　（填“长”或“短”），摆得越　 　；（填“快”或“慢”）
（2）【实践与计算】若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
【变式8-3】． 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）求原长方形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出　 　块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：)
【变式8-4】．阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当时，当且仅当　 　时，式子的最小值为　 　直接写出答案；
（2）如图，用篱笆围一个面积为平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙墙长米，篱笆周长指不靠墙的三边之和，这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
2024-2025人教版八年级数学下大单元结构化整合系列
16.3 二次根式的加减八大题型解题技巧
知识点一、可以合并的二次根式的定义
1.将一些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这样的二次根式就称为可合并的二次根式。
2.合并二次根式的方法
将根号外的因数相加，根指数和被开方数不变。
知识点二、二次根式的加减
二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
二次根式加减运算的步骤
化：将各个二次根式化成最简二次根式，
找：找出化简后被开方数相同的二次根式。
合：合并被开方数相同的二次根式——系数相加作为和的系数，根指数与被开方数不变。
知识点三、二次根式的混合运算
二次根式混合运算种类
二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。
二次根式混合运算的顺序
二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的（或先去括号）。
题型归纳
【题型1 判断二次根式能否合并】
【题型2 根据能合并的二次根式特征求值】
【题型3 二次根式的加减】
【题型4 二次根式的混合运算】
【题型5 一般二次根式化简求值】
【题型6 对称式的二次根式的求值】
【题型7 二次根式的整数部分、小数部分的有关计算】
【题型8 二次根式的实际应用】
题型突破、典例精析
【题型1 判断二次根式能否合并】
【例1-1】．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A：=2，不能与合并，故该选项不正确，不符合题意；
B：，不能与合并，故该选项不正确，不符合题意；
C：，不能与合并，故该选项不正确，不符合题意；
D：，能与合并，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质化简各项，根据同类二次根式的定义，即可求解．
【例1-2】．写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是　 　．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
解题技巧
可以合并的二次根式必须同时满足是最简二次根式和被开方数相同两个条件。与根号外的因数无关。
被开方数不同的二次根式不能合并。
【变式1-1】．下列二次根式中，能与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A原式=2 ，故不能合并，
B原式=3 ，故不能合并，
C原式=2 ，故能合并，
D原式= ，故不能合并，
故选C
【分析】将各式化为最简二次根式后即可判断．
【变式1-2】．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：.
A、，不能与合并，故此选项不符合题意；
B、，不能与合并，故此选项不符合题意；
C、，可与合并，故此选项符合题意；
D、，不能与合并，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将目标数化成最简根式，对4个选项作同样处理，然后找到同类根式即可.
【变式1-3】．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C．. D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B正确，符合题意；
对于C，已经是最简形态无法合并，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意.
故选：B.
【分析】由同类二次根式合并法则判断AC，二次根式乘除法运算判断BD.
【变式1-4】．下列二次根式中， 可以与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：
A：是最简二次根式，和不是同类根式，不能与合并。A不合题意；
B：＝3，和不是同类根式，不能与合并。B不合题意；
C：＝，和是同类根式，能与合并。C符合题意；
D：＝，和不是同类根式，不能与合并。D不合题意。
故答案为：C.
【分析】先判断是否为最简二次根式，再看是否和是同类根式，如果是则能合并，如果不是则不能合并。
【题型2 根据能合并的二次根式特征求值】
【例2-1】．若最简二次根式与可以合并，则a的值为　 　．
【答案】7
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与可以合并，
∴，2a+5=3a-2，
解得：a=7，
故答案为：7.
【分析】利用二次根式及合并同类项法则求解即可.
【例2-2】． 若与最简二次根式可以合并，则　 　．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】由题可知m+1=3，解得m=2；
正确答案：2.
【分析】因为两二次根式可以合并，故是同类二次根式；且，可得m的方程，求解即可。
解题技巧
（1）.判断两个二次根式是否能合并，首先要将二次根式化成最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相同就能合并，不相同就不能合并。
（2）.几个二次根式能否合并，只与被开方数有关，与根号前面的系数无关。
【变式2-1】．若最简二次根式与可以合并，则的值　 　．
【答案】2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得：，解得：．
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据同类二次根式的定义求出a，再进行计算即可.
【变式2-2】．若与最简二次根式可以合并，则a＝　 　．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式可以合并，
∴和是同类二次根式，
∵，是最简二次根式，
∴2a－1=3，
解得：a=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意得和是同类二次根式，先将化简成最简二次根式，再令根号里面相等，得关于a的方程，求解即可.
【变式2-3】． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（　　）
A．1 B．2.5 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵ 最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类根式，
∴2a-5=11-2a
解得，a=4
故答案为：D.
【分析】两根式可以合并，说明它们是同类根式，即被开方数相同，由此列方程进行求解即可。
【题型3 二次根式的加减】
【例3-1】计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.
【例3-2】．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式=
=.
（3）解：原式=
=
=.
（4）解：原式=
=.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先将分母有理化，进而再根据二次根式的减法计算法则计算即可；
（2）利用二次根式的性质对原式进行化简，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可；
（3）利用二次根式的性质对原式进行化简，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可；
（4）利用二次根式的性质对原式进行化简，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可.
解题技巧
化：将各个二次根式化成最简二次根式，
找：找出化简后被开方数相同的二次根式。
合：合并被开方数相同的二次根式——系数相加作为和的系数，根指数与被开方数不变。
【变式3-1】．计算：.
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先根据二次根数的性质化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可求解.
【变式3-2】．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
【变式3-3】． 计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的化简法则将各二次根式化到最简，再将同类二次根式进行合并即可；
（2）将同类二次根式合并即可.
【变式3-4】．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键，属于基础题型.先将二次根式化为最简二次根式，然后在合并同类二次根式即可求解.
【变式3-5】．计算：
解：原式…………第1步
…………………………第2步
……………………第3步
………………………………第4步
（1）以上解答过程中，从第　 　步开始出现错误；
（2）请写出本题的正确解答过程．
【答案】（1）3
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）由题意得第3步开始出现错误，，
故答案为：3
【分析】（1）根据二次根式的加减运算结合题意即可求解；
（2）根据二次根式的化简结合二次根式的加减运算即可求解。
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4-1】．
【答案】解：原式．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的除法法则及乘法法则分别计算，再根据二次根式性质化简即可.
【例4-2】 计算：
（1） ；
（2） 已知 ， 求代数式 的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：，，
，
∴x2y-xy2=xy(x-y)=2×2=4．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先算乘除，再算加减，据此计算；
（2）根据二次根式的运算法则计算x-y和xy的值，将x2y-xy2变形为xy(x-y)，再整体代入，计算即可．
解题技巧
（1）牢记运算顺序和运算法则可确保运算正确。
（2）运用运算律与乘法公式可简化运算。
（3）结果必须化成最简二次根式。
【变式4-1】．． 计算： .
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质进行化简，进而根据二次根式的混合运算即可求解。
【变式4-2】．．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式 =
=
=；
（2）解： 原式 =
=
=
.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，再进行二次根式的加减运算，即可得出答案；
（2）首先进行二次根式的乘法运算，在进行加减运算即可得出答案。
【变式4-3】． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算乘法，再计算减法即可求解；
（2）先根据根据完全平方公式化简，进而计算除法和加减法即可求解。
【变式4-4】． 计算：
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】分别把分别代入，依次进行计算即可.
【变式4-5】数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下：
解：原式
请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程．
【答案】解：小红的解答是错误的，正确解答如下：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
【题型5 一般二次根式化简求值】
【例5-1】．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
【答案】解：由题意可知：x＝，y＝3
原式＝（2x+2）﹣（x+5）
＝x﹣3
＝﹣3
＝﹣
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】由二次根式性质可知，，解得，则y=3，对原式进行化简，得 原式 ＝x﹣3 ，然后把x、y值代入，即可求解。
【例5-2】． 先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
解：原式 解：原式
（1）　 　的解答过程是错误的；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）小亮
（2）解：原式，
，
，
∴原式
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴。
∴小亮的解答过程错误.
【分析】（1）先将式子进行化简，利用完全平方公式去根号，去根号时考虑根号里数的正负性是解题的关键即易错点，即可判断谁对谁错.
（2）利用第一问的方法先对式子进行化简，将m值代入即可求出答案.
解题技巧
由二次根式的定义，被开方数是非负数转化成不等式问题，确定字母的取值范围。再由方程的解确定字母的取值范围，在字母求值范围内根据二次根式性质化简求值。
【变式5-1】．已知实数x，y满足关系式，求的值．
【答案】解：∵，，
∴且，
∴，
∴，
∴
.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据，，求得x=3，于是可得y=-2.先计算分式除法，再把x，y代入运算.
【变式5-2】．（1）当a=时，求代数式的值；
（2）先化简，再求值：，其中x=，y=．
【答案】（1）解：
，
把代入得：原式=.
（2）解：原式=
当x=+1，y=时，
原式=
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）由a的范围化简得：原式，把代入求解即可.
（2）利用分式的混合运算法则化简得：原式，再代数求值即可.
【变式5-3】．．运算能力] 已知实数 满足 ， 求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴，
解得：
∴原式=.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据非负数的性质，先列出关于a，b的二元一次方程组，求得a，b的值，然后再把原式进行化简，再代入数值计算即可解答．
【变式5-4】．已知，且x为奇数，求(1+x)·的值
【答案】解：∵，∴
解得6≤x<9． x为奇数，x=7，
∴(1+x)·-=(1+x)·=(1+x) ·=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】解带根号的分式方程，先要确定分式有意义，本题给出了 x为奇数 ，根据题意可算出 x的值，再化简整式，将x的值代入即可得出答案.
【变式5-5】．．已知，求的值．
【答案】解：∵
∴，，
解得：，，
∵
，
当，时，
原式．
【知识点】二次根式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据绝对值及二次根式的非负性求出x、y值，再将原式化简为 ， 然后代入计算即可.
【题型6 对称式的二次根式的求值】
【例6-1】．已知，，则　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的加法及乘法法则先算出a+b及ab的值，再将用配方法变形为，然后代入求值即可．
【例6-2】．已知，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
．
故答案为．
【分析】先分别求出x+y与x-y，再将因式分解后整体代入求值.
【变式6-1】．已知：．
求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，．
；
（2）解：，，
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式及二次根式的性质展开括号，再计算有理数的减法即可；
（2）先利用平方差公式将待求式子分解因式，然后将a、b的值代入，进而合并括号内的同类二次根式，最后计算二次根式的乘法即可得出答案.
【变式6-1】．．已知，求下列式子的值：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式=，
∵，
∴原式=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，得到原式为，最后把代入计算即可求解；
（2）直接把代入计算即可求解.
【变式6-2】．． 若 ， 则 的值为　 　
【答案】-5
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据条件，
故答案为：-5.
【分析】给定了a和b的具体值，首先需要将这两个值代入到给定的代数式中，然后利用二次根式的运算规则、平方差公式来化简和求解.
【变式6-3】．．已知，，求下列各式的值：
（1）a2-b2
（2）a2- ab+b2
【答案】（1）解：a2-b2=（a+ b）（a﹣b）
=（3++ 3﹣）（3+﹣3+）
=6×2
=12
（2）解：a2- ab+b2=（a+ b）2﹣3 ab
=（3++ 3﹣）2﹣3（3+）（3﹣）
=62﹣3（9﹣7）
=36-6
=30
【知识点】因式分解的应用；二次根式的混合运算；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式将待求式子分解因式，然后将a、b的值代入分别合并后，利用二次根式的乘法法则计算可得答案；
（2）利用配方法将待求式子变形为（a+ b）2﹣3 ab，然后将a、b的值代入计算可得答案.
【变式6-4】．．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：∵，，
∴，，
，
.
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算；配方法的应用
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加减法及乘法法则计算出x+y与xy的值，然后将待求式子利用配方法变形为(x+y)2-xy，从而整体代入进行计算即可；
（2）先根据二次根式的加减法及乘法法则计算出x+y、xy与y-x的值，然后根据分式的减法进行化简，整体代入计算即可求解.
【题型7 二次根式的整数部分、小数部分的有关计算】
【例7-1】． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是　 　．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
【例7-2】．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分是5，小数部分，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的整数部分，
∴．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4，；
【分析】（1）先根据无理数的大小估值得到：进而即可求解；
（2）根据无理数的大小估值及不等式性质计算得到：，，进而将其代入计算即可.
解题技巧
先由无理数的大小估值确定整数部分，再由小数部分=原数-整数部分来确定小数部分。
【变式7-1】． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1；于是用来表示的小数部分．
请解答：
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（2）已知：，其中是整数，且，求的相反数．
【答案】（1）解：，
，即，
的小数部分为，即，
，
，即，
的整数部分为5，即，
则；
（2）解：，
，即，
，
，
是整数，且，
，，
则的相反数是．
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；相反数的意义与性质；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据无理数的估算分别求出a、b的值，再代入计算即可；
（2）根据无理数的估算x＋y的值，再由其中是整数，且分别求出x、y的值，再根据相反数的定义求出y-x即可.
【变式7-2】．已知的整数部分为a，小数部分为b，求(3a+b)(3a-b)的值.
【答案】解：∵3=，4=，；
∴a=3，b=；
∴
=
=
=
=
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据无理数估值的方法，先找到相邻的整数，进而求出a和b的值；将所求等式先化简，再将a和b的值代入化简后的代数式，计算即可.
【变式7-3】． 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题：
（1）请表示出的小数部分；
（2）若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值；
（3）已知，其中x是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）解：，
，
的小数部分是；
（2）解：，
，
∴，
，
，
．
；
（3）解：∵
∴
∴
∵x是一个正整数，，
∴x是的整数部分，y是的小数部分，
∴，
∴．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）估算出的取值范围可得答案；
（2）估算出和的取值范围，可得、的值，然后代入计算即可．
（3）估算出的取值范围，求出x和y的值，最后代入计算即可．
【变式7-4】． 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是　 　．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：为的小数部分，为的整数部分，
，，
；
（3）解：，其中是一个正整数，，
，，
．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：【分析】（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）根据题意得出，b=2，再代入求解即可；
（3）先估算的整数部分，进而确定x、y的值，然后代入计算即可．
【题型8 二次根式的实际应用】
【例8-1】．（1） 已知一个长方形的长和宽分别是 ， 则它的面积是　 　
（2） 已知一个长方形的长和面积分别为 和 ， 则这个长方形的宽为　 　
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）该长方形面积=
故答案为：.
（2）该长方形的宽=.
故答案为：.
【分析】（1）长方形的面积=长x宽，代入后利用二次根式的乘法法则计算即可；
（2）长方形的宽=面积÷长，代入后二次根式的除法法则计算即可.
【例8-2】． 两船同时同地出发， 船以 的速度朝正北方向行驶， 船以 的速度朝正西方向行驶， 行驶时间为 ．
（1） 用含 的代数式表示两船的距离 ．
（2）当 时，两船相距多少千米？
【答案】（1）解：.
（2）解：代入x=12，得.
即两船相距 26km.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）算出2h后A、B各自所行驶的距离，然后结合勾股定理表达出d；
（2）代入x=12到d的表达式计算化简即可.
解题技巧
先根据实际问题列出二次根式，再进行计算。
【变式8-1】．． 在一个边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，求剩余部分的面积.
【答案】解：
.
答：剩余部分的面积为.
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的应用
【解析】【分析】分别求出正方形与长方形的面积，再用正方形面积减去长方形面积即可．
【变式8-2】． 【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期。它的计算公式是：，其中T表示周期（单位：s），l表示摆线长（单位：m），，π是圆周率。（π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，）
（1）【思考填空】通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越　 　（填“长”或“短”），摆得越　 　；（填“快”或“慢”）
（2）【实践与计算】若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
【答案】（1）长；慢
（2）解：
（s）
∴（次）
答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声.
（3）解：令，则
∴
∴（米）
答：该摆钟的摆长为0.25米 .
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）令，
∵g>0，
∴，
∴，
∴，
即，
∴摆线越长，周期越长，摆得越慢，
故答案为：长，慢；
【分析】（1）根据由二次根式的性质判断即可；
（2）将代入化简计算求出T，即可解答；
（3）令，解关于l的方程即可．
【变式8-3】． 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）求原长方形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出　 　块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：)
【答案】（1）解：两个正方形的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为和，
原长方形木板的面积=；
（2）4
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（2）最多能裁出4块这样的木条．理由如下：
，，
块，
块，
块．
从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条．
故答案为：．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出和的近似数，再根据题意求解即可．
【变式8-4】．阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当时，当且仅当　 　时，式子的最小值为　 　直接写出答案；
（2）如图，用篱笆围一个面积为平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙墙长米，篱笆周长指不靠墙的三边之和，这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
【答案】（1）3；6
（2）解：设当与墙相邻的一边为米，则另一边为米，
则：，
当时，当且仅当，即时，所用篱笆最短，为米，
答：这个长方形的长为米、宽为米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）由 ，得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，即时，的最小值为6，
故答案为：3；6；
【分析】（1）根据题意，利用结论，即可求解；
（2）设与墙相邻的一边为米，则另一边为米，则所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
知识要点归纳
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