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专题训练（二）　平行线中的“拐点”问题
　 　类型1　单一“拐点”问题
1.（2024·兰州校级模拟）如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　 　）
A.60° B.80° C.90° D.75°
2.【真实问题情境】（2024·兰州校级模拟）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　 　）
A.130° B.140° C.150° D.160°
3.（2024·白银期中）将一个直角三角板和一把直尺按如图放置，若∠α＝48°，则∠β的度数是（　 　）
A.38° B.48° C.42° D.32°
4.【核心素养·抽象能力】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输，如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠DEF＝130°，则∠AGC的度数为 .
5.如图，已知∠B＋∠BED＋∠D＝360°，试说明：AB∥CD.
6.如图，AB∥CD，试探究∠APC与∠A，∠C之间的关系，并说明理由.
7.如图，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.
　 　类型2　多个“拐点”问题
8.（2024·天水期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　 　）
A.α＋β＋γ＝360° B.α＋β＝γ＋90°
C.α＋γ＝β D.α＋β＋γ＝180°
9.（2024·武威月考）如图，已知AB∥EF，∠B＝40°，∠E＝30°，则∠C－∠D的度数为 .
10.【核心素养·抽象能力】（2024·定西期末）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB，BC为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，∠BAO＝138°，∠BCD＝154°，则∠B的度数为 .
11.如图，AB∥CD，∠B＝25°，∠C＝150°，∠EFC＝60°，求∠BEF的度数.
　 　类型3　综合多“拐点”问题
12.如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠B＋∠D＋∠E1＝ ；
（2）如图2，∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＝ ；
（3）如图3，∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＋∠E3＝ ；
（4）如图4，猜想∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＋…＋∠En＝ .
13.（1）如图1，AB∥CD，∠2与∠1＋∠3的关系是什么？试说明理由；
（2）如图2，AB∥CD，直接写出∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的数量关系为 ；
（3）如图3，AB∥CD，直接写出∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的数量关系为 .专题训练（二）　平行线中的“拐点”问题
　 　类型1　单一“拐点”问题
1.（2024·兰州校级模拟）如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　C　）
A.60° B.80° C.90° D.75°
2.【真实问题情境】（2024·兰州校级模拟）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　D　）
A.130° B.140° C.150° D.160°
3.（2024·白银期中）将一个直角三角板和一把直尺按如图放置，若∠α＝48°，则∠β的度数是（　C　）
A.38° B.48° C.42° D.32°
4.【核心素养·抽象能力】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输，如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠DEF＝130°，则∠AGC的度数为　80°　.
5.如图，已知∠B＋∠BED＋∠D＝360°，试说明：AB∥CD.
解：如图，过点E作EF∥AB.
∴∠B＋∠BEF＝180°.
∵∠B＋∠BED＋∠D＝360°，
即∠B＋∠BEF＋∠FED＋∠D＝360°，
∴∠FED＋∠D＝180°.
∴EF∥CD.
∵EF∥AB，∴AB∥CD.
6.如图，AB∥CD，试探究∠APC与∠A，∠C之间的关系，并说明理由.
解：∠APC＝∠A＋∠C.理由如下：
如图，过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE.
∴∠1＝∠A，∠2＝∠C.
∴∠APC＝∠1＋∠2＝∠A＋∠C.
7.如图，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.
解：AB∥DE.理由如下：
如图，过点C作FG∥AB.
∴∠BCG＝∠ABC＝80°.
∵∠BCD＝40°，
∴∠DCG＝∠BCG－∠BCD＝80°－40°＝40°.
∵∠CDE＝140°，∴∠CDE＋∠DCG＝180°.∴DE∥FG.
∵FG∥AB，∴AB∥DE.
　 　类型2　多个“拐点”问题
8.（2024·天水期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　B　）
A.α＋β＋γ＝360° B.α＋β＝γ＋90°
C.α＋γ＝β D.α＋β＋γ＝180°
9.（2024·武威月考）如图，已知AB∥EF，∠B＝40°，∠E＝30°，则∠C－∠D的度数为　10°　.
10.【核心素养·抽象能力】（2024·定西期末）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB，BC为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，∠BAO＝138°，∠BCD＝154°，则∠B的度数为　74°　.
11.如图，AB∥CD，∠B＝25°，∠C＝150°，∠EFC＝60°，求∠BEF的度数.
解：如图，分别过点E，F作EG∥AB，FH∥AB.
∴EG∥FH，∠BEG＝∠B＝25°.
∴∠GEF＝∠EFH.
∵AB∥CD，AB∥FH，
∴CD∥FH.
∴∠C＋∠CFH＝180°.
∴∠CFH＝180°－∠C＝180°－150°＝30°.
∴∠EFH＝∠EFC－∠CFH＝60°－30°＝30°.
∴∠GEF＝∠EFH＝30°.
∴∠BEF＝∠BEG＋∠GEF＝25°＋30°＝55°.
　 　类型3　综合多“拐点”问题
12.如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠B＋∠D＋∠E1＝　360°　；
（2）如图2，∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＝　540°　；
（3）如图3，∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＋∠E3＝　720°　；
（4）如图4，猜想∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＋…＋∠En＝　（n＋1）·180°　.
13.（1）如图1，AB∥CD，∠2与∠1＋∠3的关系是什么？试说明理由；
解：∠2＝∠1＋∠3.理由如下：
如图1，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，且AB∥EF，
∴AB∥CD∥EF.
∴∠BEF＝∠1，∠CEF＝∠3.
∴∠2＝∠BEF＋∠CEF＝∠1＋∠3.
图1
（2）如图2，AB∥CD，直接写出∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的数量关系为　∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5　；
（3）如图3，AB∥CD，直接写出∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的数量关系为　∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7　.

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