资源简介

第一章 有理数
章前导学
同学们好！进入初中阶段，我们所学习的数的范围扩大了：在小学里学到的正整数、正分数和零的基础上加上负整数、负分数，构成有理数；在有理数(有限小数或无限循环小数)的基础上还要加上无理数(无限不循环小数)，构成实数．
在本章中我们重点学习有理数的相关概念和有理数的加、减、乘、除、乘方运算，同时还要学习把数和图形完美结合的一个重要工具——数轴．
本章提供了六个拓展提高的内容，建议同学们在掌握好全章基础知识的情况下再在这些方面有大的提升．
1．理清实数的分类，正确辨别一个数属于什么集合．
2．借助数轴，通过数形结合巧妙地求解难题．
3．掌握绝对值的性质，熟练运用其解决问题．
4．学会用归纳的方法来探求与数有关的规律．
5．学会根据题目特点，选用适当的特殊值来化难为易，巧妙解题．
6．熟练掌握有理数的五则运算法则和运算律，并学会根据题目特点选取合适方法来简便运算．
专题1 数的分类
知识解读
1．数的分类
在有了负整数和负分数后，数的范围扩充到有理数，有理数都可以化成有限小数或者无限循环小数．是无限不循环小数，是无理数．有理数和无理数统称实数．进入高中，还会学习新的数：虚数(比如平方等于－1的数±i)，实数和虚数统称复数．
2．无理数的常见表示形式
在初中阶段，无理数有以下三种常见的表示形式：(1)含有的数，比如，－；(2)写成无限不循环小数形式的数，比如1.030030003…等；(3)开方开不尽的数，比如，－等．
培优学案
典例示范
1．数的分类
例1下面两个椭圆分别表示负数集合和分数集合．请你在每个椭圆内填入5个数，其中有2个数既是负数又是分数．
【提示】两个集合的公共部分表示负分数，而负数集合中公共部分之外的部分应填负数中除去分数的数．
【技巧点评】
因为两个集合的公共部分是负分数，所以负分数只能填在公共部分之中，其他部分不能出现负分数．
跟踪训练1
请把下列各数填入图中适当位置：
15，－，，－，0.1，－5.32，123，2.333
例2 【竞赛链接】有如下四个结论：
①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；
②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；
③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；
④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【提示】选取两个合适的分数：0.5和－0.5，可判断出这四个结论的对错．
【技巧点评】
要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例．根据题意找到恰当的特殊值作为反例是常用的方法．
跟踪训练2
下面说法中不正确的是( )
A．有最小的自然数 B．没有最小的正有理数
C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数
2．无理数的常见表示形式
例3 在－，，，－3.1415926，8，5.101001000…，0这些数中，有理数有 个．
【提示】初中阶段所学习的数都是实数，对照无理数常见的表示形式，找出其中的无理数，其余的则都是有理数．
【技巧点评】
无理数是无限不循环小数．有理数包括整数和分数，都可以化为有限小数或无限循环小数．
跟踪训练3
下列四个实数中，是无理数的为( )
A．0 B．－3 C． D．
培优训练
直击中考
1．★(2017·湖北荆门)在实数－，，，中，是无理数的是(　　)
A．－ B． C． D．
2．★(2017·湖北黄石)下列各数是有理数的是(　　)
A．－ B． C． D．
3．★(2017·北京)写出一个比3大且比4小的无理数： ．
4．★我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.转化为分数时，可设0.＝x，则x＝0.3＋x，解得x＝，即0.＝．仿此方法，将0.化成分数是 ．
5．★把下列各数填入相应的集合内．
＋7，－5，7，－，79，0，0.67，－1，＋5.101001000…
挑战竞赛
1．★★(希望杯试题)若a、b均为正整数，m＝ab(a＋b)，则( )
A．m一定是奇数 B．m一定是偶数
C．只有当a、b一个为偶数时，m是偶数 D．只有当a、b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数
2．★★(希望杯试题)若a是有理数，则m＝一定不是( )
A．正整数 B．负整数 C．负分数 D．0
3．★★(希望杯试题)下面四个命题中，正确的命题是
A．两个不同的整数之间必定有一个正数 B．两个不同的整数之间必定有一个整数
C．两个不同的整数之间必定有一个有理数 D．两个不同的整数之间必定有一个负数
4．★★(希望杯试题)设a是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－1]＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，正确的是( )
A．[a]＋[－a]＝0 B．[a]＋[－a]等于0或－1
C．[a]＋[－a]≠0 D．[a]＋[－a]等于0或1
5．★★(希望杯试题)设[a]表示不超过a的最大整数，如[4.3]＝4，[－4.3]＝－5，则下列各式中正确的是( )
A．[a]＝|a| B．[a]＝|a|－1
C．[a]＝－a D．[a]＞a－1
6．★★(希望杯试题)有以下两个结论：①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则( )
A．①，②都不对 B．①对，②不对
C．①，②都对 D．①不对，②对
7．★★(希望杯试题)大于－并且不是自然数的整数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
8．★★(希望杯试题)下面四个命题中正确的是( )
A．1是最小的正有理数 B．－1是最大的负有理数
C．0是最小的正整数 D．0是最大的非正整数
9．★★(希望杯试题)分母是21，分子是整数，且大小在－和－之间的分数有 个；分母是10，分子是整数，且大小在－和－之间的分数是 ．
10．★★★在1，2，3．…，2007，2008这2008个数的任意一个数前面添加一个正号或负号，则这些加了一个正号或负号的2008个数的和是数 ．(填“奇”或“偶”)
11．★★★(希望杯试题)在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数，在1993.4与它的相反数之间共有b个整数．在－与它的绝对值之间共有c个整数，则a＋b＋c＝ ．
12．★★★(希望杯试题)将，，，…，这99个分数化成小数，则其中的有限小数有 个．
分数集合
负数集合
…
…
分数集合
正数集合
…
…
无理数集合
正数集合
…
…

展开更多......

收起↑