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专题2数轴
【知识解读】
1．借助数轴比较大小
在数轴上，原点表示0，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数．左边的点表示的数总是小于右边的点表示的数．
2．借助数轴探究规律
数轴是数与形结合的一个很好的工具，一些与数有关的问题或者点的运动规律有关的问题，借助数轴来研究可以更加直观方便．
3．借助数轴解决实际问题
一些实际问题，比如与时间、温度等有关的问题，比较适合抽象成数轴，此时可以借助数轴来直观求解．
4．借助数轴解决两点之间的距离问题
数轴上表示m，n两个数的点之间的距离等于．
5．借助数轴化简含绝对值的式子
根据题目条件，我们将数在数轴上表示出来，能较为容易地判断出它们的和、差是正数还是负数，从而正确化简含有绝对值的式子．
培优学案
【典例示范】
1．借助数轴比较大小
例1（希望杯试题）如图2－1，数轴上标出了有理数a，b，c的位置，其中0是原点，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【提示】思路一：由图形可看出：b是正数，a，c是负数，且a＞c．
思路二：结合图形，可用符合要求的特殊值来代替a，b，c．
【技巧点评】
结合图形，用符合要求的特殊值代替字母，可以将含字母的问题转化为熟悉的数的大小比较．
【跟踪训练1】
a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图2－2所示，则（ ）
A． B．
C． D．
2．借助数轴探究规律
例2如图2－3，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，……所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，……所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a＝ ；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是 （用含n的代数式表示）．
图2－3
【提示】根据图中提供的信息可知数轴上的数与圆周上的数的对应关系如下：
数轴上0，1，2 3，4，5 6，7，8…
圆周上0，1，2 0，1，2 0，1，2…
【技巧点评】
从第一组对应开始，依次写出多组对应，便于寻找规律．
【跟踪训练2】
一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位。
3．借助数轴解决实际问题
例3父亲是儿子现在年龄时，儿子已10岁，而当儿子是父亲现在年龄时，父亲将82岁，问父子两人相差几岁？
【提示】画出数轴，分别用A，B两点表示儿子和父亲现在的年龄，并设父子两人的年龄差为x，再根据题意表示出10和82的位置。
【解答】
【技巧点评】
将实际问题用数轴表示出来，使得抽象的数变得直观，数与形的完美结合为简捷解题打开了一扇门．
【跟踪训练3】
某城市早晨测得的温度为3℃，中午再测量时发现温度上升了4℃，晚上测量时比中午又降了8℃，问晚上的气温是多少？晚上气温比早上变化了多少？请借助数轴予以分析．
【解答】
4．借助数轴解决两点之间的距离问题
例4阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．
当A、B两点中有一点在原点是，不妨设点A在原点，如图2－4①，；
当A、B两点都不在原点时，
如图2－4②，点A、B都在原点的右边时，；
如图2－4③，点A、B都在原点的左边时，；
如图2－4④，点A、B都在原点的两边时，．
图2－4
回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
数轴上表示x和－1的两点之间的距离是 ，如果＝2，那么x为 ；
当代数式取值最小时，相应的x的取值范围是 。
【提示】第（3）问：借助数轴，让表示x的点从左向右移动，在移动过程中寻找点在什么位置时，
的值最小．
【技巧点评】
数轴上表示m，n两个数的点之间的距离等于．因此很多与绝对值有关的问题可借助数轴而变得直观．
【跟踪训练4】
如图2－5，如果0＜p＜15，那么代数式在p≤x≤15上的最小值是（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
5．借助数轴化简含绝对值的式子
例5已知b＜a＜0，c＞0，，化简．
【提示】根据已知条件，将表示a，b，c的点在数轴上表示出来，再去判断每个绝对值内式子的正负，然后去掉绝对值符号进行化简．
【解答】
【技巧点评】
将表示a，b，c的点在数轴上表示出来，很容易判断出a，a＋b，c－a和b＋c的正负，从而进行化简．
【跟踪训练5】
已知a＜0，b＞0，且，求的值．
【解答】
培优训练
【直击中考】
1．（2017·北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图2－6所示，则正确的结论是（ 　）
A．a＞－4 B．bd＞0 C． ＞ D．b＋c＞0
2．（2017·江苏扬州）若数轴上表示－1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（ ）
A．－4 B－2 C．2 D．4
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图2－7所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a
4．如图2－8，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数对应的数是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．（2017·河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图2－9所示．设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p．
【挑战竞赛】
1．★★（江苏省竞赛题）已知数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，1，－1，那么│a＋1│表示（ ）
A．A，B两点的距离 B．A，C两点的距离
C．A，B两点到原点的距离之和 D．A，C两点到原点的距离之和
2．★★（希望杯试题）观察图2－10中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．★★（希望杯试题）一滴墨水洒在一个数轴上，根据图2－11中标出的数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是（）
A．285 B．286 C．287 D．288
4．★★（希望杯试题）数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）
A．1994或1995 B．1994或1996 C．1995或1996 D．1995或1997
5．★★（迎春杯试题）代数式│x＋11│＋│x－12│＋│x＋13│的最小值为 ．

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