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专题3 绝 对 值
知识解读：
1.利用绝对值的非负性解题
正数的绝对值是它本身，是正数；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，是正数.因此任何数的绝对值都是非负数。
2.绝对值的化简
方法一：先判断绝对值内式子是正还是负，然后根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”进行化简.
方法二：当绝对值内的式子无法判断其正负时，需要对它进行分类讨论来化简.
3.绝对值的几何意义
一个数a的绝对值是数轴上表示a的点到原点的距离.推而广之，是数轴上表示的点到表示的点之间的距离.
培优学案
典例示范：
1.利用绝对值的非负性解题
例1（迎春杯试题）已知,且.求的值.
【提示】因为和都是非负数，所以；因为，所以.
【解答】
【技巧点评】
非负数之和为非负数，若几个非负数的和为零，则这几个非负数都是零。
跟踪训练1
已知，则 .
例2已知，，，且，求.
【提示】因为，，，所以，，再根据，确定的值.
【解答】
【技巧点评】
绝对值等于的数有两个，是.
跟踪训练2
若，，且，则值是 .
2.绝对值的化简
例3已知在数轴上的位置如图3-1所示，则代数式 ( )
A.－3a B. 2c－a C. 2a－2b D. b
【提示】由在数轴上位置可知，进而判断出a，a+b，b－c为负，c－a为正.
【技巧点评】
涉及绝对值的化简，关键在于先判断绝对值内的式子是正还是负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”进行化简。
跟踪训练3
已知：x<00，且|y|>|z|>|x|，那么|x+z|+|y+z|－|x－y|的值为 .
例4如果a，b，c是非零有理数，那么的所有可能的值 .
【提示】对a，b，c是正数还是负数进行分类讨论：三个数都是正数；三个数中有两个正数一个负数；三个数中有一个正数两个负数；三个数都是负数.
【技巧点评】
当根据已知条件无法判断绝对值内的式子是正还是负时，要去掉绝对值的符号，需要对这个式子进行分类讨论.
跟踪训练4
三个有理数a，b，c的积为负数，和为正数，则的值为多少？
【解答】
3.绝对值的几何意义
例5设a【提示】结合数轴如图3-2所示,可以发现，当x位于b,c之间时,|x－a|+|x－b|+|x－c|+|x－d|的值最小.
【解答】
【技巧点评】
|x－a|表示数轴上表示x的点与表示a的点之间的距离.借助数轴，数形结合可以比较直观的求解这类问题.
跟踪训练5
若|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围.
【解答】
培 优 训 练
直击中考
1.★（2017·湖南邵阳）的绝对值是 （ ）
A. B. C. 3 D.
2.★（2017·辽宁朝阳）在下列实数，-3，，0，2，-1中，绝对值最小的数是 （ ）
A. -3 B. 0 C. D. -1
3.★（2017·山东泰安）如图3-3，四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m,n,p,q四个实数中，绝对值最大的一个是 （ ）
A.p B.q C.m D.n
4.★（2017·湖北荆门）已知实数m，n满足，则m+2n的值为 .
5.★（希望杯试题）已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么 ( )
A.abb C.a+b>0 D.a-b>0
6.★（2017·甘肃酒泉）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式的值为__________
挑战竞赛
1.★（希望杯试题）在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图3-4所示，有下列四个结论：①abc<0；②；③；④.其中正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.★★（希望杯试题）有理数a,b,c的大小关系如图3-5所示，则下列式子中一定成立的是 ( )
A.a+b+c>0 B. C. D.
3.★★（全国数学联赛试题）若a,b,c均为整数且满足，则
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.★★（希望杯试题）a,b,c的大小关系如图3-6所示,则 .
5.★★（武汉市选拔赛试题）非零整数m，n满足，所有这样的整数组（m，n）共有_____组.
6.★★★（希望杯试题）试求的最小值。

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