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专题1 相反数 2
专题2 绝对值
专题3 倒数 3
专题4 科学计数法
专题5 二次根式 4
专题6 三视图
专题7 幂的运算 5
专题8 整式的运算
专题9 一元二次方程根的判别式 6
专题10 一元二次方程根与系数的关系
专题11 因式分解 7
专题12 概率
专题13 实数的运算 8
专题14 全等三角形
专题15 分式化简 9
专题16 定义运算
专题17 统计和概率 10
专题18 二元一次方程组和一元一次不等式组的应用利润问题 11
专题19 反比例函数与一次函数 12
专题20 解直角三角形的应用 13
专题21 圆的综合题 14
专题22 二次函数的综合题 15
专题1 相反数 专题2 绝对值
1.的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2.实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 3.有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 4.的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 5.0.5 的相反数是　 　. -[-(+4)]的相反数是　 　. 7.-(-6)的相反数是　 　. 9.-[-(-9)]的相反数是　 　. 10.-[+(-8)]的相反数是　 　. 11.+(-2)的相反数是　 　. 12.-[-(-9)]的相反数是　 　. 13.-(-3.4)的相反数是　 　. 14.4的相反数是　 　.π的相反数是　 　. ﹣|﹣5|的相反数是　 　. ﹣(﹣3)的相反数是　 　. ﹣(＋2)的相反数是　 　. ﹣2017的相反数是　 　. 20.-(-4)=______.-[-( - 7)]=______. 22.-(-0.6)=______.-(-12.5)=______. 24.-[-( - 3 )]=______..-(-a)=______. 26.-[-(-b)]=______.-(-x + 1)=______. 28.-[-(-y - 2)]=______. 1.绝对值等4的数是______. 2.绝对值最小的有理数是______. 3.一个数的绝对值是它本身，这个数是______. 4.一个数的绝对值是它的相反数，这个数是___. 5.____________ 6. 7. 8.绝对值等于5.7的数是____________； 9.绝对值是5的数是　 　. 10.若|x|=3，|y|=2，则|x+y|=____________. 11.____________ 12.____________ 13.___________ 14.____________ 15._____；______. 17. 的绝对值等于(　　) 18.若与1互为相反数，则( 　　) 19.－|－(－7.5)| =__________. 20.-2的绝对值是__________. 21.　 　. 22.=( ) A. B. C. D.
中考链接 (2021)1.2021的相反数是(　　). A.﹣2021 B.2021 C. D.﹣ (2016)1.6的相反数为(　　). A.-6 B.6 C. D. (2013)1.﹣2的相反数是(　　). A.2 B.-2 C. D. (2022)1.-6的相反数是(　　).
A.-6 B.6 C. D. (2019)1.﹣8的绝对值是(　　) A.8 B.﹣8 C. D.﹣ (2017)1.的绝对值为( ) A.7 B. C. D. (2015)1.﹣7的绝对值为(　　) A.7 B. C. D. (2022)-6的绝对值是(　　) A.-6 B.6 C. D.
专题3 倒数 专题4 科学计数法
1.如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为_______. 2.的倒数是________. 3.的倒数是________. 4如果一个数的倒数是，则这个数是________. 5.已知a,b互为倒数，则的值为________. 6.若一个数的倒数是，则这个数的是_____. 7.已知m和n互为倒数，则的值为_______. 8._________与互为倒数. 9.的倒数是_________. 10.与互为倒数的数是________. 11.已知，则ab的值为________. 12.和________互为倒数. 的倒数是________. 14.的倒数是______；的倒数的是______. 15.的倒数是_______；的倒数是_______ 16.的倒数是_______；的倒数是_______. 17.已知：， 则的值是(　　) A. B. C.3 D.-3 1.二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位.其中114万亿用科学记数法表示为(　　) A.1.14×1012 B.1.14×1013 C.1.14×1014 D.1.14×1015 2.大型纪录片《厉害了，我的国》上映25天，累计票房约为4.027×108成为中国纪录电影票房冠军，这个用科学记数法表示的数据的原数为(　　) A.0.000000004027 B.0.00000004027 C.402700000 D.4027000000 3.年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A.B.C. D. 4.中国的太空空间站离地球大约400000米，则近似数400000用科学记数法表示为(　　) A.4×104 B.40×104 C.4×105 D.40×105 5.祖冲之发现的圆周率的分数近似值≈3.1415929，称为密率，比π的值只大0.0000003，0.0000003这个数用科学记数法可表示为(　　) A.0.3×10﹣6 B.0.3×10﹣7 C.3×10﹣6 D.3×10﹣7 6.某地城市轨道交通6号线全长22912m，该长度用科学记数法(精确到1000m)可表示为(　　) A.2.2×104m B.2.3×104m C.2.2×105m D.2.3×105m 7.2020年11月1日0时我国启动第七次全国人口普查，此次普查的全国总人口基数为1370536875人.将1370536875精确到千万位，用科学记数法表示为(　　) A.137 B.1.37×109 C.13.7×108 D.137×107
中考链接 (2020)1.2的倒数是(　　) A. B. C.2 D.﹣2 (2014)1.5的倒数为(　　) A. B.5 C. D.-5 (2023)1.的倒数是(　　) A.5 B.-5 C. D. (2023)2.市2022年全市地区生产总值(GDP)为2601.5亿元，将数据260150000000用科学记数法表示为(　　) A.2.6015×1010 B.2.6015×1011 C.2.6015×1012 D.2.6015×1013 (2024)2.第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月日在市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为　　 A. B. C. D.
专题5 二次根式 专题6 三视图
1.式子在实数范围内有意义，则的取值是( ) A.a≥-2 B.a≤-2 C.a≥2 D.a≤2 2.若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为( ) A. B. C. D. 3.下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是( ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 5.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 6.对于任意实数，下列各式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 7.估计的值在( ) A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 8.下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 9.计算： . 1.下列立体图形中，俯视图为三角形的是( ) 2.由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是( ) 3.如图所示为正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是( )
A.文 B.明 C.城 D.市 4.如图,这是由四个相同的小正方体组成的一个立体图形,它的俯视图是 ( ) 5.如图,这是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其主视图是( ) 6.如图,这是一个六角螺栓,它的主视图和俯视图都正确的是( )
中考链接 (2014)6.已知实数x、y满足+|y+3|=0，则x+y的值为( ) 　A.﹣2B.2C.4D.﹣4
(2018)13.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　. (2021)4.函数y＝的自变量x的取值范围是( ) A.x＜1 B.x＞1 C.x≤1 D.x≥1 (2022)7.与最接近的整数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (2024)3.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是( ) A. B. C. D. (2023)4.一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.三棱柱
专题7 幂的运算 专题8 整式的运算
1.若且，，则的值为(　　) A. B. C. D. 2.(　　) A. B. C. D. 3.计算：的结果是(　　) A. B. C. D. 4.计算的结果为(　　) A.1 B. C.2 D. 5.计算的结果是(　　) A. B. C. D. 6.若，，则(　　) A.108 B.54 C.36 D.72 7.计算的结果是(　　) A. B. C. D. 8.若，，则的值为(　　) A.12 B.6 C.9 D.5 9.若，，则 . 10.若，则 . 11.已知，则 . 13.计算：(1) (2)(3) (4)；(5). 1.下列运算正确的是(　　) A.m2 m3＝m6 B.(m4)2＝m6 C.(m﹣n)2＝m2﹣n2 D.m3+m3＝2m3 2.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为 的是(　　) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(　　) A. B.
C. D. 4.下列计算，正确的是(　　) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 6.下列运算正确的是(　　) A.a2 a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(a3)2=a6 D.a8÷a2=a4 7.下列计算正确的是(　　) A.a4+a5=a9 B.(2a2b3)2=4a4b6 C.﹣2a(a+3)=﹣2a2+6a D.(2a﹣b)2=4a2﹣b2 8.下列计算正确的是(　　) A.2x+3y=5xy B.(﹣2x2)3=﹣6x6 C.3y2 (﹣y)=﹣3y2 D.6y2÷2y=3y 9.下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D.
中考链接 (2013)3.下列各式计算正确的是(　　) A.(a7)2=a9B.a7 a2=a14C.2a2+3a3=5a5D.(ab)3=a3b3 (2014)2.计算x2 x3的结果为(　　) 　A.2x2 B.x5C.2x3 D.x6
(2015)2.计算(a2)3的结果为(　　) 　A.a4B.a5C.a6D.a9
(2016)2.计算3a2-a2的结果是(　　) A.4a2 B.3a2 C .2a2 D.3 (2021)10.已知10a＝20，100b＝50，则a+b+的值是(　　) A.2 B. C.3 D. (2020)6.下列各式运算正确的是(　　) A.x2+x3＝x5 B.x3﹣x2＝x C.x2 x3＝x6 D.(x3)2＝x6 (2022)5.下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. (2023)5.下列运算正确的是(　　) A.m3﹣m2＝m B.3m2 2m3＝6m5 C.3m2+2m3＝5m5 D.(2m2)3＝8m5 (2024)5.下列运算正确的是(　　) B. C. D.
专题9 一元二次方程根的判别式 专题10 一元二次方程根与系数的关系
1.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A.-16 B.-4 C.4 D.16 2.关于x一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C.且 D.且 3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4.下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A.2 B. C.2或 D. 6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 7.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 8.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 1.已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ） A．7 B． C．6 D． 2.若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 3.若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A． B． C． D．6 4.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ． 5.若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 6.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 7.若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 8.已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
中考链接 (2023)8.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是(　　) 没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 (2024)8.已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为　　 A.0 B.1 C.2 D.3 (2021)9.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则(x12+2)(x22+2)的值是(　　) A.8 B.32 C.8或32 D.16或40 (2022)9.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(　　) A. B. C.或3 D.或3 (2024)15.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
专题11 因式分解 专题12 概率
1.如果，，那么的值为(　　) A．0 B．1 C．4 D．9 2．分解因式：(　　) A． B． C． D． 3.分解因式：______________． 4.因式分解：________________． 5.分解因式：___________________． 6.分解因式：3x2﹣18x+27= ． 7.因式分解： ． 8.=__________.x2+2x+1=__________. 9.________._______. 10.__________.__________. 11.___________.____________. 12.__________.__________. 13.已知，且，则 ． 14.___________.a2﹣3a=__________. 15.___________.x2+2x+1=__________. 16.＝___________.=___________. 17.___________.=___________. 18.___________. ． 19. ．x2+x= ． 1.不透明袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为(　　) A. B. C. D. 2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为(　　) A. B. C. D. 3. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是(　　) A. B. C. D. 4. 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是(　　) A. 1 B. C. D. 5.不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是　 　.
中考链接 (2013)13.分解因式:x2y﹣4y=　　　　　　. (2014)13.分解因式:3a2+6a+3=　　　 　. (2015)14.分解因式:2m2﹣2=　　 　　 　. (2016)14.分解因式: . (2017)14.分解因式: . (2018)14.分解因式:3a2﹣3=　 　. (2021)13.分解因式:4﹣4m2＝　 . (2023)分解因式：__________________. (2023)分解因式：__________. (2022)分解因式：_________. (2023)分解因式：____________. (2021)14.不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　 　. (2023)6.从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为(　　) A. B. C. D. (2024)14.在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　 　.
专题13 实数的运算 专题14 全等三角形
2.. 3.(2019﹣)°﹣2﹣1+|﹣1|+sin245°+(﹣1)2019 4.+|﹣2|﹣()﹣1 5.. 6.|﹣|﹣2﹣1+ 7. 8. 9.. 10.(﹣1)4﹣|2﹣|+6tan30°﹣(3﹣) 11.2sin60°+|-2|+(﹣1)﹣1 12.(﹣1)2018+|﹣|﹣(﹣π)°﹣2sin60°． 13．×2﹣2﹣|tan30°﹣3|+2018° 14.()﹣2+(π2﹣π)°+cos60°+|﹣2| 15.2sin45°+(π﹣1)°﹣+|﹣2|； 16.|﹣2|+20130﹣(﹣)﹣1+3tan30°； 17.|﹣2|﹣+()﹣1+tan45° 18.()﹣1﹣2sin45°+|﹣|+(2018﹣π)° 1.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF. 求证：∠BAE＝∠DAF.
2.如图，将矩形纸片沿对角线折叠使，点落在平面上的点处，交于点. (1)求证：； (2)若，，求的长.
3.如图，AB＝AD，AC＝AE， ∠BAE＝∠DAC. 求证：∠C＝∠E.
4.如图，线段、相交于点, ,. 求证：.
5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF， 求证：△ABE≌△BCF.
已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，A、D两点在直线BF的同侧，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE. 求证：AC＝DF.
7.如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE. (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)当AB=5时，求CD的长.
中考链接 (2019)17.(π+1)0+(﹣2)2﹣×sin30°. (2020)17.|﹣5|﹣(π﹣2020)0+2cos60°+()﹣1. (2021)17.()0+()﹣1﹣(﹣4)+2cos30°. (2022)17.. (2023)17.3﹣1+(﹣1)0+2sin30°﹣(﹣). (2024)17.. (2021)18.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C， 求证：BD＝CE.
(2022)18.如图，已知点E、F分别在 ABCD的边AB、CD上，且AE=CF.求证：DE=BF.
(2023)18.如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC.求证：AD＝EB.
(2024)18.如图，在中，，是对角线上的点，且.求证：.
专题15 分式化简 专题16 定义运算
1.. 2. ． 3. 4.(-)÷ 5.÷(+) 6.(1﹣)÷ 7.(1+)÷ 8. 9.(﹣x﹣1) 10.4.÷﹣ 11. 12.﹣÷ 13. (1+)÷ 14. 15. 1.对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b= ，例如4◆3，因为4＞3.所以4◆3= =5.若x，y满足方程组 ，则x◆y=________. 2.如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是________． 3.定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 4.定义新运算：例如：，．若，则的值为________． 16. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是________．
中考链接 (2019)19.化简：(m+2+) . (2020)19.化简：(+1)÷. (2021)19.化简：(a+)÷. (2022)19.化简： (2023)19.化简：(+m﹣1)÷. (2024)19.化简：. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是________．（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为________．
专题17 统计和概率
1.2020年我县成功入选四川省文明城市，为了解市民对创建文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.请结合图中的信息，解决下列问题： (1)此次调查中接受调查的人数为多少人？ (2)请补全条形统计图； (3)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率. 2.某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩(得分为整数，满分为分)分成四类，并制作了如下的统计图表： 根据图表信息，回答下列问题： (1)该班共有学生 人；表中 ； (2)将丁类的五名学生分别记为、、、、，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求一定能参加决赛的概率. 3.为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题： （1）求n的值； （2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数； （3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率． 4.为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统 计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
中考链接 (2023)20．某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①将样本数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图； ②在80≤x＜90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）抽取的40名学生成绩的中位数是 　 　； （3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
专题18 二元一次方程组和一元一次不等式组的应用问题
商品甲乙进价(元/件)x+60x售价(元/件)200100
1.某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料平均价格(元/瓶)0234
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同. (1)求甲、乙两种商品的进价是多少元？ (2)若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a≥30)，设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值. 2.某商店准备购进A、B两种商品，A种商品毎件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元. (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m(10＜m＜20)元，B种商品售价不变，在(2)条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
3.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭 赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵 10 元，用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同. (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共 50 棵.此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了 10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过 1500 元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？] 4.某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个. (1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元？ (2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元.若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
5.某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元． (1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？ (2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？ 6.某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株． (1)请问A、B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
中考链接 (2024)21．某商场购进，两种商品，已知购进3件商品比购进4件商品费用多60元；购进5件商品和2件商品总费用为620元． （1）求，两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数最多为多少？ (2023)21．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
专题19 反比例函数与一次函数问题
1.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． 求k与m的值； (2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 2.如图，一次函数y1＝k1x+b(k1、b为常数，k1≠0)的图象与反比例函数y2＝(k2≠0，x＞0)的图象交于点A(m，8)与点B(4，2). ①求一次函数与反比例函数的解析式. ②根据图象说明，当x为何值时，k1x+b﹣＜0.
3.如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式；(2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 4. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集．
5.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 6.如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点满足，求a的值．
中考链接 (2024)23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，，且，求点的坐标． (2023)23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l： y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数 y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2． （1）求k，m的值； （2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
专题20 解直角三角形的应用
1.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图是政府给贫困户新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上).(参考数据：) (1)求屋顶到横梁的距离AG； (2)求房屋的高AB(结果精确到1m). 2.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度． （小明身高忽略不计，参考数据：，，）
3.如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由． （提示：，） 4.如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．
中考链接 (2024)22．如图，海中有一个小岛，某渔船在海中的点测得小岛位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点，测得小岛位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达点，这时测得小岛位于北偏西方向上．已知，相距 ．求，间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 22．如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
专题21 圆的综合题
24.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD.过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H. (1)求证：直线DH是⊙O的切线； (2)若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长. 22.如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，. (1)求证：； (2)连接，， 若，，，求的长.
3.如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作AB的垂线交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠G. (1)求证:EG是⊙O的切线； (2)若，AC=8， 求⊙O的半径. 4.如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE． (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．
5.如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C． (1)求证：∠ADE=∠PAE． (2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE． (3)若PE=4，CD=6，求CE的长． 6.如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，． (1)连接AF，求证：AF是的切线； (2)若，，求FD的长．
中考链接 (2024)24．如图，是的内接三角形，是的直径，过点作的切线与的延长线交于点，点在上，，交于点． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． (2023)24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC． （1）求证：BC平分∠DCF； （2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．
(2022)24．如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，， 求的长． (2021)24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC． （1）求证：∠ACF＝∠B； （2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD AE的值．
专题22 二次函数的综合题
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为，直线BC的解析式为. (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积取得最大值时相应点E的坐标； (3)将抛物线向左平移个单位，已知点M为抛物线的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 2.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
3.如图,以D为顶点的抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C,直线BC的表达式为. (1)求抛物线的表达式； (2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标； (3)在轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似 若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由. 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA=3，OB=1，与y轴交于C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(﹣1，4)． (1)求A、B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合)，PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
中考链接 (2024)25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当-1≤x≤t时，的取值范围是0≤y≤2t-1，求的值； （3）点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． (2023)25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E． ①当CD＝CE时，求CD的长； ②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．人民教育出版社(2022 版)
中
考
专
项
练
习
班级:
姓名:
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专题 1 相反数
2
专题 2 绝对值
专题 3 倒数
3
专题 4 科学计数法
专题 5 二次根式
4
专题 6 三视图
专题 7 幂的运算
5
专题 8 整式的运算
专题 9 一元二次方程根的判别式
6
专题 10 一元二次方程根与系数的关系
专题 11 因式分解
7
专题 12 概率
专题 13 实数的运算
8
专题 14 全等三角形
专题 15 分式化简
9
专题 16 定义运算
专题 17 统计和概率 10
专题 18 二元一次方程组和一元一次不等式组的应用利润问题 11
专题 19 反比例函数与一次函数 12
专题 20 解直角三角形的应用 13
专题 21 圆的综合题 14
专题 22 二次函数的综合题 15
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专题 1 相反数 专题 2 绝对值
1
1.绝对值等 4的数是______.1. 的相反数是（ ）
5 2.绝对值最小的有理数是______.
1 1
5 3.一个数的绝对值是它本身，这个数是______.A. 5 B. C. D.
5 5 4.一个数的绝对值是它的相反数，这个数是___.
1
2.实数 的相反数是（ ） 5. ( 2 ) ____________
2025
1 1
A. 2025 B. 2025 C. D. 6. 3.7 ______
2025 2025
3.有理数 2024 的相反数是（ ） 7. 0.75 ______
1 1
A. 2024 B. 2024 C. D.
2024 2024 8.绝对值等于 5.7的数是____________；
1
4. 的相反数是（ ） 9.绝对值是 5的数是 .
2 10.若|x|=3，|y|=2，则|x+y|=____________.
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2 11. ( 2) ____________
5.0.5 的相反数是 .
6. 4 12. ( 3.14) ____________-[-(+ )]的相反数是 .
7.-(-6)的相反数是 .
9 13. ( 60) ___________.-[-(-9)]的相反数是 .
10.-[+(-8)]的相反数是 .
11 2 14. 24 ____________.+(- )的相反数是 .
12.-[-(-9)]的相反数是 .
13 3 4 15. 29 _____； 29 ______..-(- . )的相反数是 .
15. 14.4的相反数是 .π的相反数是 .
5 17
1
. 的绝对值等于( )
16. ﹣|﹣ |的相反数是 . 3
17. ﹣(﹣3)的相反数是 .
18.若 a与 1互为相反数，则 a 2 ( )
18. ﹣(＋2)的相反数是 .
19. ﹣2017的相反数是 . 19.－|－(－7.5)| =__________.
20.-(-4)=______.-[-( - 7)]=______. 20.-2的绝对值是__________.
22.-(-0.6)=______.-(-12.5)=______. 21.| 2022| = .
24.-[-( - 3 )]=______..-(-a)=______.
26.-[-(-b)]=______.-(-x + 1)=______. 22. 1 2 =( )
28.-[-(-y - 2)]=______. A.1 2 B. 2 1 C.1 2 D. 1 2
(2021)1.2021的相反数是( ). (2019)1.﹣8的绝对值是( )
A.﹣2021 B.2021 C A.8 B.﹣8 C. D.﹣. D.﹣
(2016)1 6 (2017)1. 7的绝对值为( ). 的相反数为( ). 1 1
中 A.-6 B.6 C 1 D 1 A.7 B. 7 C. D. . .
考 6 6 7 7
链 (2013)1
(2015)1.﹣7的绝对值为( )
.﹣2的相反数是( ).
接 A 2 B 2 C 1 D 1 A 7 B
1 C 1. . . D. 7
. .- . .
2 2 7 7
(2022)1.-6 (2022)-6的绝对值是( )的相反数是( ). 1 1
A.-6 B.6 C 1 D 1 A.-6 B.6 C. D.. .
6 6 6 6
第 2 页
专题 3 倒数 专题 4 科学计数法
1.如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 1.二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国
_______. 内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，
2 3 我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提. 的倒数是________.
8 高七点二个百分点，稳居世界第二位.其中 114万亿用科
3 4 学记数法表示为( ). 的倒数是________.
7 A.1.14×1012B.1.14×1013C.1.14×1014D.1.14×1015
4 9 2.大型纪录片《厉害了，我的国》上映 25 天，累计票如果一个数的倒数是 ，则这个数是________.
5 8房约为 4.027×10 成为中国纪录电影票房冠军，这个用
5.已知 a,b互为倒数，则10 ab的值为________. 科学记数法表示的数据的原数为( )
6 1 1 A.0.000000004027 B.0.00000004027.若一个数的倒数是 ，则这个数的 是_____.
10 2 C.402700000 D.4027000000
7 m n m n 3. 2024年 6 月 6 日，嫦娥六号在距离地球约384000千.已知 和 互为倒数，则 的值为_______.
2 3 米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数
8 1._________与3 互为倒数. 据384000用科学记数法表示为（ ）
2
5 A.3.84 10
4B.3.84 105 C.3.84 106 D.38.4 105
9. 的倒数是_________.
6 4.中国的太空空间站离地球大约 400000 米，则近似数
10 13 400000 用科学记数法表示为( ).与 互为倒数的数是________.
A 4 B 4 5 55 1 .4×10 .40×10 C.4×10 D.40×1011.已知 a b 1，则 ab的值为________.
3 4 5.祖冲之发现的圆周率的分数近似值 ≈3.1415929，
12.5和________互为倒数.
4 称为密率，比π的值只大 0.0000003，0.0000003 这个
13. 的倒数是________.
7 数用科学记数法可表示为( )
A ﹣65 1 .0.3×10 B
﹣7 ﹣6 ﹣7
.0.3×10 C.3×10 D.3×10
14. 的倒数是______； 的倒数的是______.
11 5 6.某地城市轨道交通 6 号线全长 22912m，该长度用科
2 3 学记数法(精确到 1000m)可表示为( )15.1 的倒数是_______； 的倒数是_______ A 4 49 8 .2.2×10 m B.2.3×10 m5
15 C.2.2×10 m D
5
.2.3×10 m
16.0.5的倒数是_______； 的倒数是_______.
17 7.2020年 11月 1日 0时我国启动第七次全国人口普查，
1 1 1 ab 此次普查的全国总人口基数为 1370536875 人.将17.已知： ， 则 的值是( )
a b 3 b a 1370536875 精确到千万位，用科学记数法表示为( )
A 9 8 71 1 .137 B.1.37×10 C.13.7×10 D.137×10
A. B. C.3 D.-3
3 3
(2020)1.2的倒数是( )
A 1 1. B. C.2 D.﹣2 (2023)2.市 2022 年全市地区生产总值(GDP)为
2 2 2601.5 亿元，将数据 260150000000 用科学记数
(2014)1.5的倒数为( ) 法表示为( )
10 11
A 1. B 1 A.5 C. D.-5 .2.6015×10 B.2.6015×10中
5 5 C 12 D 13.2.6015×10 .2.6015×10
考
(2023)1 1. 的倒数是( ) (2024)2.第二十届中国国际酒业博览会于 2024链
5 年 3月 21 24日在市国际会展中心举办，各种活
接
A 5 B 1 1. .-5 C. D. 动带动消费 2.6 亿元，将数据 260000000 用科学
5 5
记数法表示为 ( )
A. 2.6 107 B. 2.6 108 C. 2.6 109 D. 2.6 1010
第 3 页
专题 5 二次根式 专题 6 三视图
1.式子 2a 4在实数范围内有意义，则 a的取值 1.下列立体图形中，俯视图为三角形的是( )
是( )
A.a≥-2 B.a≤-2 C.a≥2 D.a≤2
2.若 8和最简二次根式 3m 7 是同类二次根
式，则 m的值为( ) 2.由 5 个相同的小正方体组成的几何体如图所
A.m 4 B.m 3 C.m 5 D.m 6 示，该几何体的左视图是( )
3.下列二次根式化为最简二次根式后能与 3合
并的是( )
A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
4.下列计算正确的是( )
A.2 3 2 3 B. ( 3)2 3
3.如图所示为正方体的表面展开图，每个面内都
C 1 1. 2 5 7 D. 4 2 分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是
9 3
( )
5.下列计算正确的是( ) A.文 B.明 C.城 D.市
A. 2 2 2 2 B. 3 2 1 4.如图,这是由四个相同的小正方体组成的一个
C. 2 3 6 D. 6 2 3 立体图形,它的俯视图是 ( )
6.对于任意实数 a，下列各式中一定成立的是
( )
A. a2 1 a 1 a 1 B. a 6 2 a 6 5.如图,这是由一个圆柱体和一个长方体组成的
C. 16 a 4 a D. 25a4 5a2 几何体,其主视
图是( )
7.估计 65的值在( )
A.5 和 6 之间 B.6 和 7 之间
C.7 和 8 之间 D.8 和 9 之间
8.下列计算中，正确的是( ) 6.如图,这是一个六角螺栓,它的主视图和俯视
A.2 3 3 2 5 5 B.3 3 3 2 3 6 图都正确的是( )
C. 27 3 3 D.3 2 2= 3
9.计算： .
(2014)6.已知实数 x、y满足 +|y+3|=0， (2024)3.下列几何体中，其三视图的主视图和左
视图都为矩形的是( )
则 x+y的值为( )
A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣4
A. B. C. D.
(2018)13.若二次根式 x 1在实数范围内
中 (2023)4.一个立体图形的三视图如图所示，则该
考 有意义，则 x的取值范围是 . 立体图形是( )
链 (2021)4.函数 y＝ 的自变量 x的取值范
接 A.圆柱 B.圆锥
围是( ) C.长方体 D.三棱柱
A.x＜1 B.x＞1 C.x≤1 D.x≥1
(2022)7.与 2 + 15最接近的整数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
第 4 页
专题 7 幂的运算 专题 8 整式的运算
1.若 a 0且 ax 2，a y 3，则 a x y 的值为( ) 1.下列运算正确的是( )
6 5 2 m
2 m3 m6 4 2 6A. B. C. 1 D. A. ＝ B.(m ) ＝m3
m n 2 m2 n2 m3 m3 m3y5 C.( ﹣ ) ＝ ﹣ D. + ＝2
2. 2 y ( ) 2.按如图所示的
A. y B. y2
运算程序,能使输
C. y3 D. y4
出的结果为 的
2
3.计算： a a4的结果是( ) 是( )
A. B.
A. a8 B. a6 C. -a8 D. a6
C. D.
2 2019 1
2018

4.计算 的结果为( ) 3.下列计算正确的是( )
2
A.1 B. 1 C.2 D. 2 A. B.
5.计算 (ab2 )3的结果是( )
C. D.
A. ab5 B.ab6 C.a3b5 D.a3b6 4.下列计算，正确的是( )
6.若 a x 3， a y 2，则 a2x 3 y ( ) 1
A. 8 2 6 B. 2
3

A.108 B.54 C.36 D.72 2 2
1 13
7.计算 a a 2 a 2的结果是( ) C. 3 8 2 2 D. 2 2
A. a7 B.a10 C. a9 D.a12 5.下列运算正确的是( )
8.若10a 2，10b 3，则10a b的值为( ) A. a b a b a2 b2 a2 b2 B. a3 a4 a7
A.12 B.6 C.9 D.5
C. a3 a2 a5 D. 23 6
9.若5n a，6n b，则30n .
6.下列运算正确的是( )
am 6 an 9 a2m n 2 2 2 2 2 4 3 2 6 8 2 410.若 ， ，则 . A.a a =2a B.a +a =a C.(a ) =a D.a ÷a =a
xm 6 xn 2 xm n 7.下列计算正确的是( )11.已知 ， ，则 .
4 5 9 2 3 2 4 6
A.a +a =a B.(2a b ) =4a b
2 2 2 2
13.计算：(1)（x2）3 x2 x2 x6 C.﹣2a(a+3)=﹣2a +6a D.(2a﹣b) =4a ﹣b
8.下列计算正确的是( )
2 3 4 2 2 3 6
(2)m m5 2m3 4 m2 (3) a3 a4 a a2 2a4 A.2x+3y=5xy B.(﹣2x ) =﹣6x
2 2 2
C.3y (﹣y)=﹣3y D.6y ÷2y=3y
4 2 3a3b 2 a6b2 x4 y2 2
2
(4) ；(5) x
6 y3 . 9.下列各式运算结果为 a
5的是（ ）
3 3
A. a2 a3 B. a2a3 C. a2 D. a10 a2
(2013)3.下列各式计算正确的是( ) (2020)6.下列各式运算正确的是( )
A 7 2 9 ..(a ) =a B a7 a2 a14C a2 a3 a5D ab 3 a3b3 A.x2 x3 x5 B x3 2 = .2 +3 =5 .( ) = + ＝ . ﹣x＝x
(2014)2.计算 x2 x3 2 3 6 的结果为( ) C.x x＝x D x3 2 6.( ) ＝x
A 2 5 3.2x B.x C.2x D.x6 (2022)5.下列运算正确的是( )
2 3
(2015)2.计算(a ) 的结果为( ) A. 2 3 = 6 B.3 2 = 1
中 A a4 B a5 C a6 9. . . D.a C. 2 2 3 = 8 6 D. 6 ÷ 2 = 3
考 2 2(2016)2.计算 3a -a 的结果是( ) (2023)5.下列运算正确的是( )
链 A a2 B a2 C 2 3 2 2 3 5.4 . 3 .2a D.3 A.m﹣m＝m B.3m 2m＝6m
接 2 3 5 2 3 5(2021)10.已知 10a＝20， 100b＝50，则 C.3m +2m＝5m D.(2m ) ＝8m
a b (2024)5.下列运算正确的是( )+ + 的值是( )
A． 3a 2a3 5a4 B.3a2 2a3 6a6
A.2 B 5 9. C.3 D. B．C. ( 2a3)2 4a6 D. 4a6 a2 4a3
2 2
第 5 页
专题 9 一元二次方程根的判别式 专题 10 一元二次方程根与系数的关系
x 2
1.若关于 x 2
1.已知关于 的一元二次方程 x 2x a 0的两
的一元二次方程 x 4x c 0有两个
根分别记为x ，x ，若 x 2 21 1，则 a x1 x2 的值
相等的实数根，则实数 c的值为（ ） 1 2
A.-16 B.-4 C.4 D.16 为（ ）
2
2.关于 x的一元二次方程 m 2 x 4x 2 0有 A．7 B． 7 C．6 D． 6
2 2
两个实数根，则 m的取值范围是（ ） 2.若关于 x的一元二次方程 x 2mx m 4m 1 0
A.m 4 B.m 4 有两个实数根x ，x ，且 x1 2 x2 2 2x1x2 171 2 ，
C.m 4且m 2 D.m 4且m 2
m
3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是 则 （ ）
（ ） A．2或 6 B．2 或 8 C．2 D．6
A. x2 6x 0 B.x 2 - 9 = 0 3.若关于 x的一元二次方程 x2 2x p 0两根为
C. x2 6x 6 0 D. x2 6x 9 0 1 1x 、x1 2，且 3x x ，则 p的值为（ ）1 2
4.下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） 2 2
A． B． C． 6 D．6
x 2 2 1 2 3A. B. x 2 0 3
4.已知 x1、x
2
2是关于 x的方程 x﹣2x+k﹣1＝0 的
x 2 2 1 x 2 2 2 x2 xC. D. 1两实数根，且 x x ＝x
2
1 +2x2﹣1，则 k 的值
1 2
2 2
5.若关于 x的一元二次方程 a 2 x x a 4 0 为 ．
的一个根是 x 0，则a的值为（ ） 5.若一元二次方程 2x
2 4x 1 0的两根为 m，n，
1
A.2 B. 2 C.2 或 2 D. 2 则3m2 4m n2的值为 ．
6.若关于 x的一元二次方程 x2 2x c 0有两个 6.若m，n是一元二次方程 x2 5x 2 0的两个实
相等的实数根，则 c ．
数根，则m n 2 2的值为 ．
7.关于 x的一元二次方程 x2 x c 0有两个相 7.若一元二次方程 2x2 4x 1 0的两根为 m，n，
c 则3m2 4m n2等的实数根，则 的值为 ． 的值为 ．
8.若关于 x的方程4x2 2x m 0有两个相等的 8.已知方程 x2 x 2 0的两根分别为x1，x2，则
实数根，则m的值为 ． 1 1
x x 的值为 ．1 2
2 (2021)9.关于 x
2 2
的一元二次方程x +2mx+m﹣m＝
(2023)8.关于 x的一元二次方程x +2ax a2+ ﹣1 2 2
0 的两实数根 x1，x2，满足 x1x2＝2，则(x1 +2)(x2 +2)
＝0 的根的情况是( )
的值是( )
A．没有实数根 A.8 B.32 C.8 或 32 D.16 或 40
B.有两个相等的实数根
(2022)9.已知关于 的方程 2 2 1 +
中 C.有两个不相等的实数根 2 = 0的两实数根为 ，
D 1 2
，若 1 + 1 2 +
考 .实数根的个数与实数 a的取值有关 1 = 3，则 的值为( )
链 (2024)8. 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 A. B. C. 3或 3 D. 1或 3
接
x2 2x 1 k 0无实数根，则函数 y kx与函
(2024)15. 已 知 x1 ， x2 是 一 元 二 次 方 程
y 2数 的图象交点个数为 ( )
x x2 3x 5 0的两个实数根，则 (x 21 x2 ) 3x1x2 的
A.0 B.1 C.2 D.3
值是 ．
第 6 页
专题 11 因式分解 专题 12 概率
1.如果 a b 3，ab 1，那么a3b 2a2b2 ab3的值 1.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，
为( ) 除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球
A．0 B．1 C．4 D．9 后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都
2．分解因式： a3 9a ( ) 取到白色小球的概率为( )
A． a a 3 a 3 B． a a2 9 3 1 1 1
A. B. C. D.
C． a 3 a 3 D． a2 a 9 4 2 3 4
3.分解因式： x 2 x 4 1 ______________． 2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时
间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十
4.因式分解： x 2 x 4 1 ________________．
四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清
5.分解因式：(a 1)2 4a ___________________． 明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、
大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），
2
6.分解因式：3x ﹣18x+27= ． 冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从
2 二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概
7.因式分解：2a 4a 2 ．
率为( )
2a3 8ab28. =__________.x2+2x+1=__________.
1 1 1 1
9. 2mx2 8my2 ________. 2a2 4a 2 _______. A. 2 B. C. D.12 6 4
10. a2 7a __________.3am2 3a __________. 3. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文
x2 1 2x2 8 化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从11. ___________. ____________.4 上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则
12.3m3 12m __________. x3 25x __________. 选中“巴蜀文化”的概率是( )
13.已知 a2 b2 12，且 a b 2，则a b ． 1 1 1 3
A. B. C. D.
2 4 3 2 4
14. x2 y 2xy ___________.a ﹣3a=__________.
2 4. 不透明袋子中装有白球 2 个，红球 1 个，这些球除15. ab 4a ___________.x +2x+1=__________.
了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1个球，取出
16. a3 9a＝___________. a2 ab=___________. 白球的概率是( )
1 1 2
17. x2 3x ___________.2m2 2=___________. A. 1 B. C. 2 D.3 3
18.m2 5m ___________.a2 2a ． 5.不透明的袋子中装有 5 个球，其中有 3 个红球和 2个
黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出 1 个球，
19.3am2 3a ．x2+x= ． 它是黑球的概率是 .
x2(2013)13.分解因式: y﹣4y= . (2021)14.不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，
a2 a 4 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子(2014)13.分解因式:3 +6 +3= .
中随机摸出一个球，则摸出红球的概率
2
(2015)14.分解因式:2m﹣2= . 是 .
(2016)14.分解因式: 2a2 4a 2 . (2023)6.从 1，2，3，4，5，5 六个数中随机选
中
(2017)14.分解因式: 2m2 8 . 取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为
考
2
(2018)14.分解因式:3a﹣3= .
链 ( ) A. B. C. D.
m2接 (2021)13.分解因式:4﹣4 ＝ . (2024)14.在一个不透明的盒子中装有6个白球，
(2023)分解因式：x2 9 __________________. 若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.
(2023)分解因式：m3 4m2 4m __________. 2
若从中随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄
(2022)分解因式：ax2 axy ay2 _________. 3
(2023)分解因式：a3 2a2 a 球的个数为 .____________.
第 7 页
专题 13 实数的运算 专题 14 全等三角形
1. ( 6) cos45 1 1.如图，点 E，F 分别在菱 ( ) 1 | 3 2 |
2 形 ABCD 的边 BC，CD 上，且
1 BE＝DF.
2. 8 4cos 45 ( 1) 2015 . 求证：∠BAE＝∠DAF.
2
2.如图，将矩形纸片 ABCD
﹣1 2 2019
3.(2019﹣ )°﹣2 +|﹣1|+sin 45°+(﹣1) 沿对角线 BD折叠使，点 A落
﹣1
4. +| ﹣2|﹣( ) 在平面上的 F 点处， DF 交
BC于点 E .
5. ( 2)0 2cos30 16 |1 3 | . (1)求证： DCE BFE；
(2)若CD 2， ADB 30 ，求BE的长.
﹣1
6.|﹣ |﹣2 + 3.如图，AB＝AD，AC＝AE，
1
1 0 ∠BAE＝∠DAC.
7. 12 3tan 30 π 3 1 3
3 求证：∠C＝∠E.
5 0 8 2sin 30 2 4.如图，线段 AC、BD相交于点 E ,8. AE DE ,BE CE .
求证： B C .
9. .
4
10.(﹣1) ﹣|2﹣ |+6tan30°﹣(3﹣ ) 5.如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F
﹣1 分别在 BC，CD 上，且 BE=CF，
11.2sin60°+| 3 -2|+(﹣1) 3 -8
求证：△ABE≌△BCF.
2018
12.(﹣1) +|﹣ |﹣( ﹣π)°﹣2sin60°．
﹣2
13． ×2 ﹣| tan30°﹣3|+2018° 6. 已知：如图，点 B、E、
C、F在一条直线上，A、D
﹣2 2
14.( ) +(π﹣π)°+cos60°+| ﹣2| 两点在直线 BF 的同侧，BE
15.2sin45°+(π﹣1)°﹣ +|﹣2 |； ＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE.
0 ﹣1
16.| ﹣2|+2013 ﹣(﹣ ) +3tan30°； 求证：AC＝DF.
7.如图，已知线段 AC，BD 相交
﹣1
17.|﹣2|﹣ +( ) +tan45° 于点 E，AE=DE，BE=CE.
(1)求证：△ABE≌△DCE；
﹣1
18.( ) ﹣2sin45°+|﹣ |+(2018﹣π)° (2)当 AB=5 时，求 CD 的长.
(2021)18.如图，点 D 在 AB 上，点 E
在 AC 上，AB＝AC，∠B＝∠C，
(2019)17.(π 0 2+1) +(﹣2) ﹣ ×sin30°. 求证：BD＝CE.
(2020)17.|﹣5|﹣(π﹣2020)0+2cos60°+( )﹣1.
(2022)18.如图，已知点 E、F
中 分别在 ABCD的边 AB、CD
(2021)17.( )0+( )﹣1﹣(﹣4)+2 cos30°.
考 上，且 AE=CF.求证：DE=BF.
链 0 1
(2022)17. 3 + 2 1 + 2cos45° . (2023)18.如图，点 B在线段 AC
接 2 上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝
(2023)17.3﹣1+( ﹣1)0+2sin30°﹣(﹣ ). BC.求证：AD＝EB.
1 (2024)18.如图，在 ABCD中，
(2024)17. | 3 | ( 2024)0 2sin 60 ( ) 1 .
2 E， F 是对角线 BD上的点，且
DE BF .求证： 1 2 .
第 8 页
专题 15 分式化简 专题 16 定义运算
x2 4x 4 3 1.对于实数 a，b，定义运算“◆”：a◆b= ，
1. ( x 1) . 2. ．
x 1 x 1
例如 4◆3，因为 4＞3.所以 4◆3= =5.若 x，y
2a a2 a 1 b
3. 2 ( a) 4.( 2 - )÷a 4 a 2 a b2 a 1 b a 满足方程组 ，则 x◆y=________.
2.如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入 k
5. ÷( + ) 6.(1﹣ )÷
的值为 125，则第 2018 次输出的结果是________．
7.(1+ )÷ 8.
9.( ﹣x﹣1)
n
3.定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n m mn
4. ÷ ﹣
10.
3
（m，n 均为整数，且m 0）．例：2*3 2 2 3 2，
2a 1 a
2

2
11. a 4 a 2 a 4a 4 则
( 2)*2 ________．
a2 b a 0
﹣ ÷ 4.定义新运算： a b
例如：
12. a b a 0
2 4 ( 2)2 (1+ )÷ 4 0， 2 3 2 3 1．若
13.
x 1 3 ，则 x的值为________．
2a 1 a 4
14. 2 a 4 a 2 a2 4a 4
16. 对于实数 a，b定义运算“※”为 a※b a 3b，例
2
15. (a 1 4a 1) a 8a 16 如 5※2 5 3 2 11，则关于 x的不等式 x※m 2
a 1 a 1
有且只有一个正整数解时，m的取值范围是________．
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于 1 的
(2019)19.化简：(m+2+ ) .
点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点 0,1 是函
(2020)19.化简：( +1)÷ .
数 y x 1图象的“近轴点”．
中
(2021)19.化简：(a+ )÷ . （ 1）下列三个函数的图象上存在 “近轴点 ”的是
考
链
(
2 3 +1 2 1 ________．（填序号）；
(2022)19.化简： + 1) ÷ .
接
① y x 3；② y 2 ；③ y x2 2x 1．
(2023)19.化简：( +m﹣1)÷ . x
y2 x2 y2 （2）若一次函数 y mx 3m图象上存在“近轴点”，则
(2024)19.化简： ( x 2y) .
x x
m 的取值范围为________．
第 9 页
专题 17 统计和概率
1.2020 年我县成功入选四川省文明城市，为了解市民对创建文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某
个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得
到下列不完整的统计图.请结合图中的信息，解决下列问题：
(1)此次调查中接受调查的人数为多少人？
(2)请补全条形统计图；
(3)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的 4位市民中随机选
择 2 位进行回访，已知这 4 位市民中有 2 位男性，2 位女性.请用
画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率.
2.某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩(得分为整数，满分为100分)分成四类，并制作了如下的
统计图表：
根据图表信息，回答下列问题：
(1)该班共有学生 人；表中 a ；
(2)将丁类的五名学生分别记为 A、 B、C、D、 E，现从中随机
挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求 B
一定能参加决赛的概率.
3.为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统
计．现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其
中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整
的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求 n 的值；
（2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，
现从这 4名学生中任意抽取 2名学生，求恰好抽到 2名男生的概率．
4.为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了
了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社
团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．
（2）在扇形统计图中，A 组所占的百分比是______，并补全条形统
计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这 4个
社团中随机抽取 2 个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的 2 个社团恰好是 B 和 C 的概率．
(2023)20．某校组织全校 800 名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取 40
名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分
信息．①将样本数据分成 5 组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x
＜80，80≤x＜90，90≤x＜100，并制作了如图所示的不完整的
频数分布直方图；
中
②在 80≤x＜90 这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，
考
85，86，86，86，87，88，89．
链
根据以上信息，解答下列问题：
接
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的 40 名学生成绩的中位数是 ；
（3）如果测试成绩达到 80 分及以上为优秀，试估计该校 800
名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
第 10 页
专题 18 二元一次方程组和一元一次不等式组的应用问题
1.某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、 2.某商店准备购进 A、B 两种商品，A 种商品毎件的进价
售价如下表： 商品 甲 乙 比 B 种商品每件的进价多 20 元，用 3000 元购进 A 种商
x x 品和用 1800 元购进 B种商品的数量相同.商店将 A种商进价(元/件) +60
品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45
售价(元/件) 200 100
元.
饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少
平均价格(元/瓶) 0 2 3 4 元？
若用 360元购进甲种商品的件数与用 180元购进乙种商 (2)商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A、B 两种商
品的件数相同. 品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量
(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元？ 的一半，该商店有几种进货方案？
(2)若超市销售甲、乙两种商品共 50 件，其中销售甲种 (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A
商品为 a 件(a≥30)，设销售完 50 件甲、乙两种商品的 种商品售价优惠 m(10＜m＜20)元，B 种商品售价不变，
总利润为 w元，求 w与 a之间的函数关系式，并求出 w 在(2)条件下，请设计出销售这 40 件商品获得总利润最
的最小值. 大的进货方案.
3.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困 4.某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型
家庭 赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的 号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的
价格比甲种树苗贵 10 元，用 480 元购买乙种树苗的棵 90%，用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮
数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同. 球的个数多 10个.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ (1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗 (2)该文体商店计划购进篮球和排球共 100 个，且排球
共 50 棵.此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低 个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100
了 10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗 元，排球的售价定为每一个 90元.若该批篮球、排球都
的总费用不超过 1500 元，那么他们最多可购买多少棵 能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能
乙种树苗？] 获得最大利润？最大利润是多少？
5.某自行车经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A型和 6.某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植 A、B 两
30 辆 B 型自行车，其中 B 型车单价是 A 型车单价的 6 倍 种苗木共 6000 株，其中 A 种苗木的数量比 B 种苗木的
少 60 元． 数量的一半多 600 株．
(1)求 A、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？ (1)请问 A、B两种苗木各多少株？
(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超 (2)如果学校安排 350 人同时开始种植这两种苗木，每
过 5.86 万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至 人每天平均能种植 A 种苗木 50 株或 B 种苗木 30 株，应
多能购进 B 型车多少辆？ 分别安排多少人种植 A种苗木和 B 种苗木，才能确保同．
时．完成任务？
(2024)21．某商场购进 A，B两种商品，已知购进 (2023)21．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习
3件 A商品比购进 4 件 B商品费用多 60 元；购进 5 俗．今年端午节来临之际，某商场预测 A 粽子能够畅
件 A商品和 2 件 B商品总费用为 620 元． 销．根据预测，每千克 A 粽子节前的进价比节后多 2 元，
（1）求 A， B两种商品每件进价各为多少元？ 节前用 240 元购进 A粽子的数量比节后用相同金额购进
中 （2）该商场计划购进 A，B两种商品共 60 件，且 的数量少 4 千克．根据以上信息，解答下列问题：
考 购进 B商品的件数不少于 A商品件数的 2倍．若 A （1）该商场节后每千克 A 粽子的进价是多少元？
链 商品按每件 150 元销售，B商品按每件 80 元销售， （2）如果该商场在节前和节后共购进 A 粽子 400 千克，
接 为满足销售完 A，B两种商品后获得的总利润不低 且总费用不超过 4600 元，并按照节前每千克 20 元，节
于 1770 元，则购进 A商品的件数最多为多少？ 后每千克 16 元全部售出，那么该商场节前购进多少千
克 A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
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专题 19 反比例函数与一次函数问题
y kx 2 k 0 2.如图，一次函数 y1＝k1x+b(k1、b 为常数，k 1≠0)的图1.如图，一次函数 的图像与反比例函数
象与反比例函数 y2＝ (k2≠0，x＞0)的图象交于点
y m m 0, x 0 的图像交于点 A 2,n ，与 y 轴交于
x A(m，8)与点 B(4，2).
①求一次函数与反比例函数的解析
点 B，与 x 轴交于点C 4,0 ．
式.
(1) 求 k 与 m的值； ②根据图象说明，当 x 为何值时，
(2) P a, 0 为 x 轴上的一动 k1x+b﹣ ＜0.
7
点，当△APB 的面积为 时，
2
求 a的值．
k 4. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数 y x b和
3.如图，反比例函数 y k 0 与正比例函数
x 9
y mx m 0 y A 1, 2 反比例函数 的图象相交于点 A 1,m ， B n,1 ． 的图象交于点 和点 B，点C是点 x
A关于 y轴的对称点，连接 （1）求点 A，点 B的坐标及一
AC， BC． 次函数的解析式；
(1)求该反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等
(2)求 ABC的面积； 9
(3)请结合函数图象，直接写出 式 x b 的解集．
k x
不等式 mx的解集．
x
5.如图，一次函数 y ax b的图象与 x 轴交于点 6.如图，一次函数 y kx b的图象与 x 轴正半轴相交于
A 4 k 2，0 ，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y x 0 的 点 C，与反比例函数 y 的图象在第二象限相交于点
x x
图象交于点 C、D．若 A( 1,m)，过点 A作
tan BAO 2， BC 3AC． AD x轴，垂足为 D，
(1)求一次函数和反比例函数 AD CD．
的表达式； (1)求一次函数的表达式；
(2)求 OCD的面积． (2)已知点E(a,0)满足
CE CA，求 a 的值．
(2024)23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次 (2023)23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：
函数 y kx b与 x轴相交于点 A( 2,0)，与反比例 y＝kx+2 与 x，y 轴分别相交于点 A，B，与反比例函数
函数 y a 的图象相交于点 B(2,3)． y＝ （x＞0）的图象相交于点 C，已知 OA＝1，点 C的
x
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； 横坐标为 2．
中
a （1）求 k，m的值；
考 （2）直线 x m(m 2)与反比例函数 y (x 0)和x （2）平行于 y轴的动直线与 l
链
2 和反比例函数的图象分别交
接 y (x 0) 的图象分别x 于点 D，E，若以 B，D，E，O
交 于 点 C ， D ， 且 为顶点的四边形为平行四边
形，求点 D 的坐标．
S OBC 2S OCD ，求点C的
坐标．
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专题 20 解直角三角形的应用
1.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图是政 2.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为
府给贫困户新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图 1600m，小明想利用这个观景台测量对面山顶 C 点处
形，对称轴是房屋的高 AB所在的直线，为了测量房屋 的海拔高度，他在该观景台上选定了一点 A，在点 A 处
的高度，在地面上 C点测得屋顶 A的仰角为 35°，此
C E A 测得 C 点的仰角 CAE 42 ，再在 AE上选一点 B，时地面上 点、屋檐上 点、屋顶上 点三点恰好共
线，继续向房屋方向走 8m到达点 D时，又测得屋檐 E 在点 B 处测得 C 点的仰角 45 ， AB 10m．求山
点的仰角为 60°，房屋的横梁 EF＝12m，EF∥CB，AB 顶 C点处的海拔高度．
交 EF于点 G(点 C，D，B在同一水平线上).(参考数据： （小明身高忽略不计，参考数据： sin 42 0.67，
sin35 0.6，cos35 0.8，tan35 0.7， 3 1.7 ) cos42 0.74， tan 42 0.90）
(1)求屋顶到横梁的距离 AG；
(2)求房屋的高 AB(结
果精确到 1m).
3.如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方 4.如图，某座山 AB的项部有一座通讯塔 BC，且点 A，
向航行，在A处测得灯塔C在北偏东 60 方向上，继续 B，C 在同一条直线上，从地面 P 处测得塔顶 C 的仰角为
航行1h到达 B处，这时测得灯塔C在北偏东 45 方向上， 42 ，测得塔底 B的仰角为35 ．已知通讯塔BC的高度
已知在灯塔C的四周 40km内有暗礁，问这艘轮船继续 为32m，求这座山 AB的高度（结果取整数）．参考数
向正东方向航行是否安全？并说明理由． 据： tan35 0.70，tan 42 0.90．
（提示： 2 1 .414， 3 1.732）
(2024)22．如图，海中有一个小岛C ，某渔船在海 22．如图，某数学兴趣小组为了测量古树 DE 的高度，
中的 A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西 采用了如下的方法：先从与古树底端 D在同一水平线上
向东航行一段时间后到达 B点，测得小岛C 位于北 的点 A 出发，沿斜面坡度为 i＝2： 的斜坡 AB 前进
偏西 30 方向上，再沿北偏东 60 方向继续航行一段 20 m 到达点 B，再沿水平方向继续前进一段距离后到
时间后到达 D点，这时测得小岛C位于北偏西 60 达点 C．在点 C处测得古树 DE 的顶端 E的俯角为 37°，
中 方向上．已知 A，C相距 30n mile．求C， D间 底部 D 的俯角为 60°，求古树 DE 的高度（参考数据：
考 的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，计算结果
链
接 用根号表示，不取近似值）．
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专题 21 圆的综合题
24.如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O上，点 D是半圆 AB 22.如图， 是 的直径，过 外一点 作 的
的中点，连接 AC，BC，AD，BD.过点 D 作 DH∥AB 交 CB 两条切线 ， ，切点分别为 ， ，连接 ， .
的延长线于点 H. (1)求证： ；
(1)求证：直线 DH 是⊙O 的切线； (2)连接 ， ，
(2)若 AB＝10，BC＝6，求 AD，BH 若 ， ，
的长. ，求 的长.
3.如图,在△ABC 中,以 BC 为直径的⊙O 交 AC 于点 E,过 4.如图，AB 是⊙O的弦，过 AB 的中点 E 作 EC⊥OA，垂
点 E作 AB 的垂线交 AB于点 F,交 CB的延长线于点 G,且 足为 C，过点 B 作直线 BD 交 CE 的延长线于点 D，使得
∠ABG=2∠G. DB=DE．
(1)求证:EG 是⊙O的切线； (1)求证：BD 是⊙O 的切线；
1 (2)若 AB=12，DB=5，求△AOB 的面积．
(2)若 tanC ，AC=8，
2
求⊙O 的半径.
5.如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 为⊙O 的切线，切点 6.如图，点 O是 ABC的边 AC 上一点，以点 O 为圆心，
分别为 A、B，直线 PO 交⊙O 于点 D、E，交 AB 于点 C． OA 为半径作 O，与 BC 相切于点 E，交 AB 于点 D，连
(1)求证：∠ADE=∠PAE． 接 OE，连接 OD 并延长交 CB 的延长线于点 F，
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE． AOD EOD．
(3)若 PE=4，CD=6，求 CE 的长． (1)连接 AF，求证：AF 是 O的
切线；
(2)若 FC 10， AC 6，求 FD
的长．
(2024)24．如图， ABC是 O的内接三角形，AB (2023)24．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝2 ，⊙O
是 O的直径，过点 B作 O的切线与 AC的延长 的弦 CD⊥AB 于点 E，CD＝6．过点 C 作⊙O 的切线交 AB
线交于点 D，点 E在 O上，AC CE，CE 交 AB 的延长线于点 F，连接 BC．
于点 F ． （1）求证：BC 平分∠DCF；
（1）求证： CAE D；
（2）G 为 上一点，连接
（2）过点 C 作 CG AB 于点
CG 交 AB 于点 H，若 CH＝
G，若OA 3， BD 3 2 ，求
3GH，求 BH 的长．
中 FG的长．
考
链
接 (2022)24．如图，点 在以 为直径的⊙ 上， (2021)24．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过点 C
作⊙O的切线交 BA 的延长线于点 F，AE 是⊙O 的直径，
平分∠ 交⊙ 于点 ，交 于点 ，过点 作⊙ 连接 EC．
的切线交 CO的延长线于点 ． （1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若 AB＝BC，AD⊥BC 于点
(1)求证： ∥ ； D，FC＝4，FA＝2，求 AD AE
(2)若 = 2 5， = 5， 的值．
求 的长．
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专题 22 二次函数的综合题
1. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 1 2 3
y ax2 bx 2 2.如图，二次函数 y x x 4 的图象与 x 轴交于（a 0）与 y 轴交于点 C，与 x轴交于 A， 4 2
B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，且 A 点坐标为 ( 2, 0)， A，B 两点（点 A 在点 B的左侧），与 y 轴交于点 C，点
2 P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 P 的
直线 BC 的解析式为 y x 2 .
3 横坐标为 m．过点 P作直线 PD x轴于点 D，作直线 BC
(1)求抛物线的解析式； 交 PD 于点 E
(2)过点 A 作 AD∥BC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC (1)求 A，B，C 三点的坐标，并直接写出直线 BC 的函数
上方抛物线上一动点，连接 CE，EB，BD，DC.求四边形 表达式；
BECD 面积取得最大值时相应点 E的坐标；
(2)当△CEP是以 PE 为底边的等腰三角形时，求点 P的
(3)将抛物线 y ax2 bx 2（a 0）向左平移 2 个单
坐标；
位，已知点 M 为抛物线 y ax2 bx 2（a 0）的对称轴 (3)连接 AC，过点 P 作
上一动点，点 N 为平移后 直线 l∥AC，交 y 轴
的抛物线上一动点.在(2)
于点 F，连接 DF．试探
中，当四边形 BECD 的面积
最大时，是否存在以 A，E， 究：在点 P 运动的过程
M，N 为顶点的四边形为平 中，是否存在点 P，使
行四边形？若存在，求出 得CE FD，若存在，
点 N 的坐标；若不存在， 请直接写出 m的值；若
请说明理由. 不存在，请说明理由．
3.如图,以 D 为顶点的抛物线 yy x bx c交 x轴于 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax +bx+c 交 x
A、B两点，交 y轴于点C,直线 BC的表达式为 y x 3 . 轴于 A、B 两点(A 在 B的左侧)，且 OA=3，OB=1，与 y
(1)求抛物线的表达式； 轴交于 C(0，3)，抛物线的顶
(2)在直线 BC 上有一点 点坐标为 D(﹣1，4)．
P,使PO+PA的值最小,求 (1)求 A、B 两点的坐标；
点 P的坐标； (2)求抛物线的解析式；
(3)在 x轴上是否存在一 (3)过点 D 作直线 DE∥y 轴，
点 Q,使得以 A、C、Q 为 交 x轴于点 E，点 P是抛物线
顶点的三角形与△BCD 上 B、D两点间的一个动点(点
相似 若存在,请求出点 P 不与 B、D 两点重合)，PA、
Q 的坐标；若不存在,请说明理由. PB 与直线 DE 分别交于点 F、G，当点 P 运动时，EF+EG
是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理
由．
(2024)25．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知 (2023)25．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物
2 线 y ax
2
＝ +2x+c 与坐标轴分别相交于点 A，B，C（0，6）
抛物线 y ax bx 3经过点 A(3,0) ，与 y轴交于
三点，其对称轴为 x＝2．
点 B，且关于直线 x 1对称． （1）求该抛物线的解析式；
（1）求该抛物线的解析式； （2）点 F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直
（2）当-1≤x≤t 时，y的取值范围是 0≤y≤2t-1， 线 AF 分别与 y 轴，直线 BC 交于点 D，E．
中 求 t的值； ①当 CD＝CE 时，求 CD 的长；
考 （3）点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点， ②若△CAD，△CDE，△CEF 的面积分别为 S1，S2，S3，且
链 过点C 作 x轴的垂线交直线 AB于点 D，在 y轴上 满足 S1+S3＝2S2，求点 F的坐
接 是否存在点 E，使得以 B， 标．
C，D，E为顶点的四边
形是菱形？若存在，求出
该菱形的边长；若不存在，
说明理由．
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