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考点精炼--正余弦定理的边角互化
2025年高考数学二轮复习备考
一、单选题
1．在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知的内角所对的边分别为，的面积为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，若，则最大角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线与圆在第二象限相交于点M，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．，，是的内角，，所对的边，若，则（ ）
A．1011 B．2022 C．2020 D．2021
7．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．锐角中，内角A B C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，则（ ）
A． B．锐角三角形
C．的面积为 D．的外接圆半径大于2
10．古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在中，，且的面积为，则（ ）
A．角A，B，C构成等差数列 B．的周长为36
C．的内切圆面积为 D．边上的中线长度为
三、填空题
11．在中，，则cosA= .
12．在中，，则 .
13．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 .
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，若，且，则的值为 .
四、解答题
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
16．已知中，内角的对边分别为，，，.
(1)求A；
(2)若且的内切圆的半径，求的面积.
17．在中，角的对边分别为 且.
(1)求角C；
(2)求的最大值.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)设D为边AB的中点，若，且，求a．
参考答案
1．A
由得，所以，
由于,
故选：A
2．B
设三角形外接圆半径是，
因为，所以,
即
因为，所以,因为，解得，
解得，
又，即，解得．
故选:B.
3．A
因为，故可得，又因为a，b，c成等差数列，即，故可得，由余弦定理可得，
故选：A.
4．B
由正弦定理得到，从而确定最大角，利用余弦定理即可求.
由正弦定理，得，
设，，，，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，即这个三角形的最大角是．
故选：B
5．C
联立双曲线与圆的方程，求出点M的坐标，再结合给定条件及正弦定理列式计算作答.
令双曲线的半焦距为c，则，设点，
依题意，，解得，且，
在中，由正弦定理及得：，
则有，即，
整理得，因，则有，即，
所以双曲线的离心率.
故选：C
6．D
由余弦定理得，再由三角恒等变换及正弦定理得即可求解.
因为，由余弦定理得，，由正弦定理可得.
故选：D.
7．B
利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到，从而利用锐角三角形的性质得到的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解.
因为，则由正弦定理得，
又，
所以，
则，
因为是锐角三角形，则，则，
所以，即，则，
所以，解得，则，
所以.
故选：B.
8．A
根据即可得出，从而求出，然后即可得出，根据为锐角即可得出，然后根据正弦定理可得出，从而可求出的范围.
因为，所以，，又，所以，若为锐角三角形，则，，所以，，，，
故选：A.
9．CD
根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识确定正确答案.
，
所以，由正弦定理得，故A错误；
由余弦定理，得，所以角是钝角，故B错误；
由，得，
的面积为，故C正确；
设的外接圆半径为，
则，故D正确.
故选：CD
10．ACD
对于A，由正弦定理可知，
设，，，
由余弦定理可得，
所以，，故角A，B，C构成等差数列，故A正确；
对于B，根据海伦公式得，，得，
所以，，，所以的周长为，故B错误；
对于C，设内切圆的半径为r，则，得，
所以的内切圆面积为，故C正确；
对于D，设的中点为，则，
在中，，故D正确．
故选：ACD
11．
利用余弦定理求得正确答案.
由余弦定理得.
故答案为：
12．
先利用正弦定理化角为边求出边，再利用余弦定理即可得解.
因为，所以，
所以，
由余弦定理.
故答案为：.
13．
根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即.
中，，，
所以，所以，
根据正弦定理，，
即，
因为，所以，
由为三角形内角可知，，
根据正弦定理，，
所以
，
其中，，
当时取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
14．/
先利用正弦定理将已知式子统一成边的形式，再结合，可得，然后利用余弦定理可求出，再求出的值，从而可求得结果
解：中，，
所以，
因为，
所以，解得；
所以，
因为为三角形内角，
所以
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
16．(1)
(2)
（1）∵,则，整理得，
∴，
又∵，
∴.
（2）由题意可得：的面积，即，
整理得：，
由（1）得：，则，
解得：或（舍去），
故的面积.
17．(1)
(2)
（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系化简已知等式即可得，结合，可求得的值.
（2）通过边角互化将转换为，再由（1）知角，利用辅助角公式化简，即可求得最大值.
（1）在中，由正弦定理得，，
，
.
， ，
即.
（2）由正弦定理得：
，
其中，又，
故，
∴，
∴，
故的最大值为.
18．(1)
(2)或
（1）在中，由及正弦定理得，
即，即，
而，即，则，又，
所以.
（2）依题意，，则，或，
当时，由，
得，
在中，由正弦定理得，，则，
在中，由余弦定理得，
因此，
当时，，
，，
所以或.
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