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2025 年高三一模考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C A B D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 BD BCD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 80 5 13. 或 （注：写对一个不得分） 14. ，10 （注：第一空 2分，第二空 3分）
3 6 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）解：（1）零假设 H0 :与性别无关. …………………1 分
100 (40 30 10 20) 2 50
根据列联表中的数据得 2 16.667 10.828 x ， …………5 分
50 50 60 40 3 0.001
依据 0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，对机器人表演节目的喜欢与性别有关联
…………………6分
n(AB) 40 4
（2）依题意得， P（B | A) ， …………8分
n(A) 50 5
P（B | A) n(AB) 20 2 , …………10 分
n(A) 50 5
则 P B A P B A …………11 分
意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概
率大；或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等
等 …………13 分
16.（15 分）
（1）证明：由CD // BE， BC CD DE 1, DEB 60 ，易求 BE 2 …………1分
取 PE的中点 M，连结 MF，F为 PB的中点
高二数学试题参考答案 第1页(共 6页)
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MF // BE 1所以 ,MF BE ,所以MF 1,MF //CD
2
所以四边形 CDMF 为平行四边形 . ………4分
所以，CF //DM ，又CD 平面PAD ，DM 平面PAD
所以CF //平面PAD …………6分
（2）由 PE EB 2 , PB 2 2，所以 PE 2 EB2 PB2
所以 PE EB，又平面 PBE⊥平面 ABCD所以 PE⊥平面 ABCD…………8分
以 E 为原点， EB所在直线为 x轴，过 E与 EB垂直的直线为 y轴， EP所在直线为 z轴,建立如图所示的空
间直角坐标系，则
D( 3 1，，0)，
2 2
P(0，0，2) , B(0，2，0) , F (0，1，1) , A( 3， 1，0) , …………10 分
PA ( 3， 1， 2) , PB (0，2， 2) ,DF ( 3 1 ，，1)
2 2
设平面 ABP的法向量为n (x，y，z)，则 n PA，n PB
n PA 0 3x y 2z 0
，所以 ，取 z 1，则 x 3 ， y 1
n PB 0 2y 2z 0
所以平面 ABP的一个法向量为 n ( 3， 1， 1) ………………………13 分
设DF 与平面 ABP所成角为 ，则
3 1
sin | n DF |
| 1|
2 2 3 10
| n | |DF | 5 2 10
所以直线DF 与平面 ABP 3 10所成角的正弦值为 ……………………15 分
10
17.（15 分）
（1）解： f ' (x) ae x 1
当 a 0时， f ' (x) 0 恒成立，此时 f (x)在 R 上单调递减 …………………2 分
当 a 0时，令 f ' (x) 0 ，则 x lna
x ( ， ln a)， f ' (x) 0， f (x)单调递减，
x ( lna， )， f ' (x) 0， f (x)单调递增
综上所述，当 a 0时， f (x)的减区间为 ( ， )，无增区间；
高二数学试题参考答案 第2页(共 6页)
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当 a 0时， f (x)的减区间为 ( ， lna)，增区间为 ( ln a， ) . ……………………6分
（2）因为存在 x [ 1，1]，使得 | f (x) | 2 .只需 fmax (x) 2或 fmin (x) 2 ……………8 分
因为 a 0，所以 f (x) aex x x 1 …………………………10 分
所以只需 fmax (x) 2 由（1）知 fmax (x)为 f ( 1)与 f (1)中的较大者
所以 f (1) ae 1 3 2或 f ( 1) ae 1 1 2解得 a 或 a e， …………13 分
e
所以 a 3
e
3
综上所述， a的取值范围为[ ， ) ………………………15 分
e
18.（17 分）（1）解：若 i j 100，则 (i, j)的所有取值情况为：
(1,99), (2,98), (3,97),..., (50,50),...(97,3), (98,2), (99,1)
故数阵{a(i , j )}共 99 项，由 a(i, j) i
2 j2知： a(50,50) = 0，
a(1,99) + a(99,1) = a(2,98) + a(98,2) = ... = a(i , j ) + a( j ,i) = 0
所以T = a(1,99) + a(2,98) + a(3,97) +...+ a(50,50) +...+ a(97,3) + a(98,2) + a(99,1) = 0 . ………………4分
（2）证明： a a (m2 n2 )( p2 q2 ) (mp nq)2 (mq np)2(m,n) ( p ,q)
由m,n, p,q N *知，mp nq,mq np N *，故 a(m,n) a( p ,q) a(mp nq ,mq np)，
所以 a m n a( , ) ( p q 也是数阵{a i j }中的项. ……………………………8分, ) ( , )
2 2
（3） i, j {1,2,3,...,n}若 i j知： a(i , j ) i j ( i j)( i j)
由 i j与 i j具有相同的奇偶性知要使 a( j ,i)的值为奇数，需使 j i与 j i都是奇数，
即 i与 j必定一奇一偶，
当 n 3时， (i, j)的取值情况有 4 种，故 P 4 2 ；3 A2

3 3
当 n 4时， (i, j)的取值情况有 8 种，故 P 8 2 ；4 A24 3
当 n 5时， (i, j)的取值情况有 12 种，故 P 12 3；4 A2

5 5
……
当 n 3且 n为奇数i,时j ，{1,2,3,...,n}中有 n 1个奇数， n 1个偶数，
2 2
高二数学试题参考答案 第3页(共 6页)
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n2 1
故 (i, j)的取值情况有 n 1 n 1 2 n
2 1 n 1
种，故P 2 ； …………………14 分
2 2 2 n A2n 2n
n
当 n 3且 n为偶数时，{1,2,3,L, n} n中有 个奇数， 个偶数，
2 2
n2
2 n
故 (i, j)的取值情况有 n n n 2 种，故Pn 2 ；2 2 2 A2n 2(n 1)
综上所述，当 n 3且 n为奇数时， P n 1 ；当 n 3且n为偶数时，P n …………17 分n 2n n 2(n 1)
b
19.解：（1）由双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x知： 2，即b2 2a2 .
a
3 4 b
2 2a2
把点 ( 3, 2)带入双曲线 C 的方程得： 1，由 解得：
a2 1
a2 b2 3 4
，
1 b2 2
a2 b2
y2
所以双曲线 C 的标准方程为 x2 1. ………………………3 分
2
(2) 解法 1：①由题意知切线 PQ的斜率存在，故设切线 PQ的方程为 y kx m，
O |m |由圆 的圆心到直线 PQ的距离d 2，
1 k 2
所以m2 2k 2 2…………① ………………………5 分
2
把 y kx m x2 y带入 1消 y得： (k 2 2)x2 2kmx m2 2 0 ，
2
由题意知 0 .设 P(x0 , y0 )，Q(x1, y1)， R(x2 , y2)，
x 2km m
2 2
那么由韦达定理知： 0 x1 ， x xk 2 2 0 1
， ………………………7分
k 2 2
2
y y 2 2 k m
2 2k 2 2k 2m2
那么 20 1 (kx0 m)(kx1 m) k x0x1 km(x0 x1) m 2 2 mk 2 k 2
2k 2 2m2 x x y y 2k
2 2 m2
，那么 0 1 0 1 0 ……………………10 分k 2 2 k 2 2
所以OP OQ x0x1 y0 y1 0，所以OQ OP，同理可得OR OP，
所以Q,O,R三点共线，又由双曲线C关于原点O对称，所以Q,R两点关于原点对称.……………12 分
②MP MQ是定值-2，证明如下：
连接OP,OM ，由①知：OR OP，OM PQ，所以 RT OMQ: RT PMO，
高二数学试题参考答案 第4页(共 6页)
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uuur uuur
所以 |MQ | |OM | ，所以MP MQ |MP ||MQ | |OM | 2 2 为定值. ………………17 分
|OM | |MP |
解法 2：证明：设 P(x0，y0 )，Q(x1，y1) , R(x2，y2 )
①当 x0 2 时，
若 P( 2，2)，则Q( 2，2)， R( 2， 2)；
若 P( 2， 2)，则Q( 2， 2)， R( 2，2)满足条件 ……………4分
②当 x0 2时，
设 PQ：y y0 k1(x x0 )， PR：y y0 k2 (x x0 )
PQ | y k x |因为 与圆 O相切，所以 O到直线 PQ的距离为： d 0 1 0 2
1 k 21
所以 (2 x20 )k
2
1 2x0 y0k1 2 y
2
0 0， 同理 (2 x
2 )k 2 20 2 2x0 y0k2 2 y0 0
所以 k1，k2时方程 (2 x
2
0 )k
2 2x0 y0k 2 y
2
0 0的两根
2
k k 2 y0 2 2(x
2
0 1) 2(2 x
2 )
所以 1 2 2 2
0
2 2 （*） ………………………7 分2 x0 2 x0 2 x0
2
x2 y联立 12 化简得： (2 k
2
1 )x
2 (2x0k
2
1 2k1y0 )x (x0k1 y
2
0 ) 2 0
y k1(x x0 ) y0
x x 2k y
2
所以 1 0
2x0k1
0 1 ，2 k 21
2 2 y 22 0 2x ( )
2
x x 2k y 2x
0
同理 2 0 0
k2 k1 k1 2(4x0 k1y0 )
0 2 2 2 ，（ ）2 k 2
k1k2 2
2 2 ( )2 2 k1
k1
2k 2 2
所以 (x x ) (x x ) 1y0 2x0k1 2(2x0 k1y0 ) 2(2x0 2x 0k1 )0 1 0 2 2 k 2 2 k 2 2
2x
2 k 01 1 1
所以 2x0 x1 x2 2x0，所以 x1 x2 0 .所以 x1 x2 ，又因为Q、R在双曲线上，所以 y1 y2，
所以Q、R关于原点对称. ……………………12 分
②MP MQ为定值-2，理由如下：
由①知 OP OQ x0x1 y0 y1，
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{#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}
y 2 2 2 2 2 2 2 2又 0 y1 4(x0 1)(x1 1) 4[x0 x1 (x0 x1 ) 1]
4[x 20 x
2
1 (x x )
2
0 1 2x0x1 1] .
x x 4 2k
2 2 2
由①得： 1 ， (x x )2 8k (1 k )0 1 2 0 1
1 1 ，
k 2 21 2 (k1 2)
y 2 y 2 （4 2k
2 )2 8k（2 1 k 2 ) 8 4k 2 （4 2 k 2 )2
所以 1 1 1 1 10 1 4[ 2 2 2 1] (k1 2) (k1 2)
2 k 2 2 21 2 (k1 2)
k 2 2 y y （2 2 k
2 )
因为 11 ，所以 0 1 k 21 2
OP OQ 4 2k
2 2k 2 4
所以 1 12 0，k1 2 k
2
1 2
2
所以MP MQ (OP OM ) (OQ OM ) OP OQ OP OM OM OQ OM
2
OP OQ OM 0 2 2
所以MP MQ为定值 2. ……………………17 分
（或： 设 PR与圆 O切于点 N，连结 OM，ON，OP,则OM PQ ,
ON PR ,所以 QPO RPO ,又由①知 O为QR的中点.所以
OP为 PQR的高。即 OP⊥OQ，下同解法 1）
高二数学试题参考答案 第6页(共 6页)
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