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第1课时 对顶角、余角与补角
第2章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
【学习目标】
1.通过相交线的问题探索过程，发现并理解对顶角的特征，知道对顶角相等，提升自我的探索、推理总结能力.
2.通过认知、交流的过程，了解补角、余角的定义，知道并会运用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”这一性质，提升自我解决实际问题的能力.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
注意：平行线的定义包含三层意思：
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段
（2）“不相交”就是说两条直线没有交点；
（1）“在同一平面内”是前提条件；
总结归纳
新知初探
贰
新知初探
探究一：对顶角的概念及性质
贰
如图，直线 AB、CD 相交于 O，∠1 和∠2 有什么位置关系？
2
1
A
B
C
D
O
活动1：
1. 有公共顶点，
2. 两边互为反向延长线.
请你观察图中∠1 和∠2 这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系
2
1
A
B
C
D
O
活动2：
∠1 = ∠2
对顶角相等.
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 和∠3 有公共顶点 O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角. ∠2 和∠4 也是对顶角.
对顶角：
A
O
C
B
D
1
3
2
4
总结归纳
对顶角相等
对顶角的性质：
即时测评
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
1.下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
D
1
2
C
1
2
D
1
2
A
1
2
B
2. 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠1＝40°，
∠BOC＝110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70° (等量代换).
注意：隐含条件“对顶角相等”.
探究二：余角与补角的性质
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称互补). 可以说∠3 是∠4 的补角或∠4 是∠3 的补角.
3
4
定义：
2
1
如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角 (简称互余). 可以说∠1 是∠2 的余角或∠2 是∠1 的余角.
定义：
∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°(x<90)
90° - x°
180° - x°
观察可得结论：
同一个锐角的补角
比它的余角大___°.
做一做
90
图 1
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图 2
如图 1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 1 简化成图 2，ON 与 DC 交于点 O，∠DON = ∠CON = 90°，∠1 = ∠2.
补角和余角的性质
活动2：小组合作交流，解决下列问题：在图2 中，
问题 1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题 2：∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？
问题 3：∠3 与∠4 有什么关系？为什么？
因为∠1 =∠2，
∠1 +∠AOC = 180°，
∠2 +∠BOD = 180°，
所以∠AOC =∠BOD.
同角(等角)的补角相等
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图 2
因为∠1 =∠2，
∠ 1 +∠3 = 90°，
∠ 2 +∠4 = 90°，
所以∠3 =∠4.
同角(等角)的余角相等
归纳总结：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等.
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图 2
即时测评
1.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角为x°，则180-x=4（90-x），
所以x=60.
答：这个角是60°.
分析：可以利用方程思想解决这道题.
2.如图，E、F是直线DG上两点，∠1=∠2，∠3=∠4=90°，找出图中相等的角并说明理由.
解：∠5=∠6，理由是：等角的余角相等.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 下列说法中，正确的有（　 ）
①对顶角相等；
②相等的角是对顶角；
③不是对顶角的两个角就不相等；
④不相等的角不是对顶角.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
B
√
√
当堂达标
叁
2. 如图，已知∠AOB = 90°， ∠AOC =∠BOD，则与
∠AOC 互余的角有________________.
∠BOC 和∠AOD
当堂达标
叁
3. 如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，∠EOD = 90°，
回答下列问题：
(1) ∠AOE 的余角是 ，补角是 ；
(2) ∠AOC 的余角是 ，补角是 ，
对顶角是 .
C
A
B
D
O
E
∠AOC 或∠DOB
∠BOE
∠AOE
∠BOC 或∠AOD
∠BOD
当堂达标
叁
4. 如图，∠COD =∠EOD = 90°，点 C、O、E 在一条直线上， 且∠2 =∠4， 请说出∠1 与∠3 之间的关系，并试着说明理由.
∠1 =∠3
(等角的余角相等).
课堂小结
肆
课堂小结
肆
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角或等角的
余角相等
同角或等角的
补角相等
对顶角的性质：对顶角相等.
课后作业
基础题：1.习题2.1 第 1,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题2.1第5、9题
谢
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第1课时 对顶角、余角与补角 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过相交线的问题探索过程，发现并理解对顶角的特征，知道对顶角相等，提升自我的探索、推理总结能力.
2.通过认知、交流的过程，了解补角、余角的定义，知道并会运用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”这一性质，提升自我解决实际问题的能力.
【学习过程】
任务一：
活动1:观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
【方法归纳】
在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 . 在同一平面内，不相交的两条直线叫作 .
注意：平行线的定义包含三层意思：
（1）“ ”是前提条件；
（2）“不相交”就是说两条直线没有 ；
（3）平行线指的是“ ”而不是两条射线或两条线段
活动2：如图，直线 AB、CD 相交于 O，∠1 和∠2 有什么位置关系？
1. 有公共顶点，2. 两边互为反向延长线.
两条直线直线AB和CD，交于点O，∠1 和∠2有 O,它们
两边互为 ，这样的两个角叫作 。
请你观察图中∠1 和∠2 这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系 请说出理由？
【即时测评】
1.下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
2. 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2 的度数.
评价任务一
得分：
任务二：余角与补角的性质
活动2:补角与补角的概念
如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角(简称互补).
如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角 (简称互余).
做一做：请填写下列表格
∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角
5°
32°
45°
77°
62°23，
X°
活动3　如图，打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图抽象成几何图形，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.
小组合作交流，解决下列问题：
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
【方法归纳】同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.
【即时测评】
1.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
2.如图，E、F是直线DG上两点，∠1=∠2，∠3=∠4=90°，找出图中相等的角并说明理由.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
下列说法中，正确的有（　 ）
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③不是对顶角的两个角就不相等；④不相等的角不是对顶角.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
2. 如图，已知∠AOB = 90°， ∠AOC =∠BOD，则与∠AOC 互余的角有 .
3. 如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，∠EOD = 90°，回答下列问题：
(1) ∠AOE 的余角是 ，补角是 ；
(2) ∠AOC 的余角是 ，补角是 ，对顶角是 .
4. 如图，∠COD =∠EOD = 90°，点 C、O、E 在一条直线上， 且∠2 =∠4， 请说出∠1 与∠3 之间的关系，并试着说明理由.
参考答案
即时测评：
1.60°
2.∠5=∠6，理由是：等角的余角相等.
当堂训练
1.B
2.∠BOC 和∠AOD
3.(1) ∠AOC 或∠DOB,∠BOE (2)∠AOE,∠BOC 或∠AOD,∠BOD
4.∠1 =∠3, 等角的余角相等
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第1课时　对顶角、余角与补角
课标摘录 理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质。
教学目标 1.理解对顶角、补角和余角的概念,能在图形中辨认。 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程。 3.掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等,并能解决一些实际问题。
教学重难点 重点:理解补角、余角、对顶角的定义,知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的性质。 难点:通过简单的推理,归纳出余角、补角的性质,并能用规范的语言描述其性质。
教学策略 数学来源于生活,反之又服务于生活。引导学生从身边熟悉的情境出发,使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程,体会本节课的重要性和在生活中的广泛应用;通过学习情境的运用,可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,同时发展了学生的空间观念和几何直观。
情境导入　观察下列图片,说一说直线与直线的位置关系。 归纳总结: 我们知道,在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种。 若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线。 在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线。 注意:平行线的定义包含三层意思: (1)“在同一平面内”是前提条件;(2)“不相交”就是说两条直线没有交点;(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段。
新知初探 探究一　对顶角的概念及其性质 活动1:请先画一画:两条直线AB和CD交于点O,再回答下列问题: 1.观察:∠1和∠2的位置有什么关系 大小有何关系 为什么 小组合作交流,尝试用自己的语言描述对顶角的定义。
2.剪刀可以看成两直线相交,那么剪刀在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗 ∠3和∠4呢 你有何结论 归纳结论:对顶角的性质:对顶角相等。 意图说明 引导学生建立模型,鼓励学生大胆探索,掌握对顶角的性质,并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题。积累解题经验,提高灵活地运用所学知识解决问题的能力。 探究二　余角、补角的概念和性质 活动2:余角、补角的概念和性质 1.用量角器,量出∠1,∠2,∠3,∠4的度数,观察∠1与∠3有什么关系 2.图中还有哪些角,具有这种关系 归纳结论: 如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角。 类似地,如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角。 注意: 互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关。 活动3:探究余角与补角的性质 如图所示,打台球时,选择适当的方向,用白球击打灰球,反弹后的灰球会直接入袋,此时∠1=∠2,将图抽象成几何图形,ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,∠1=∠2。 小组合作交流,解决下列问题: 问题1:哪些角互为补角 哪些角互为余角 问题2:∠3与∠4有什么关系 为什么 问题3:∠AOC与∠BOD有什么关系 为什么 你还能得到哪些结论 归纳结论: 同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。 活动4:拓展提升 1.已知一个角的补角是它的余角的4倍,求这个角的度数。 分析:可以利用方程思想解决这道题。
2.如图所示,E,F是直线DG上两点,∠1=∠2,∠3=∠4=90°,∠5与∠6相等吗 为什么 意图说明 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学,掌握补角、余角的性质,并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题。从而更好地理解知识,让学生的认知结构得到不断的完善。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 对顶角、余角与补角 1.同一平面内的两条直线的位置关系:平行和相交 2.对顶角的概念和性质 3.余角、补角的概念和性质
教学反思
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1　两条直线的位置关系
第1课时　对顶角、余角与补角
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系有　 　和　 　两种。若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为　 　。在同一平面内,不相交的两条直线叫作　 　。
相交
平行
相交线
平行线
2.对顶角的概念及性质
(1)定义:如图所示,直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有　 　,
它们的两边　 　,具有这种位置关系的两个角叫作对顶角;
公共顶点O
互为反向延长线
(2)性质:对顶角　 　。
相等
3.补角、余角
(1)定义:一般地,如果两个角的和是　 　,那么称这两个角互为补角;类似地,如果两个角的和是　 　,那么称这两个角互为余角。
(2)性质:同角(或等角)的补角　 　,同角(或等角)的余角　 　。
180°
90°
相等
相等
课堂互动
知识点1:相交线与平行线
②③
例1　如图所示,能相交的是　 　,平行的是　 　。(填序号)
⑤
① ② ③ ④ ⑤
知识点2:对顶角
例2　(2024贵阳期末)如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数,依据是　 　。
对顶角相等
知识点3:余角和补角
例3　已知一个角的补角比这个角的余角的2倍还多20°,求这个角的度数。
[思路点拨] 本题主要考查余角和补角的定义,借助方程是解决本题的关键。
解:设这个角的度数为x。
由题意,得180°-x=2(90°-x)+20°。
解得x=20°。
答:这个角的度数为20°。
基础题
1.根据语句“直线a与直线b相交,点P在直线a上,直线b不经过点P。”画出的图形是( )
D
2.如图所示,已知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段m平行,请借助直尺判断该线段是( )
C
A.a B.b C.c D.d
3.(2024清镇期中)如图所示,∠1和∠2是对顶角的是( )
C
A B
C D
4.(2024兰州)若∠A=80°,则∠A的补角是( )
A.100° B.80° C.40° D.10°
5.如图所示,直线AB,CD相交于点O,因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=
180°,所以 ∠1=∠2,其推理依据为( )
A.对顶角相等 B.同角的余角相等
C.等量代换 D.同角的补角相等
A
D
6.如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的度数为( )
B
A.30° B.50° C.60° D.80°
7.下列生活中的例子:①笔直的两条铁轨;②操场上的双杠;③长方形门框的上下边。其中属于平行线的是　 　。(填序号)
8.(2024广西)已知∠1与∠2为对顶角,∠1=35°,则∠2=　 　°。
①②③
35
9.将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起,且∠1比∠2大20°,则∠1的度数为多少
解:设∠2=x,
则∠1=x+20°。
根据题意,得x+x+20°=90°,
解得x=35°。
所以∠1=35°+20°=55°。
中档题
10.如图所示,直线AB与CD相交于点O,OD平分∠BOE,若∠AOC=42°,则∠AOE等于( )
A.126° B.96° C.102° D.138°
B
11.如图所示,三条直线l1,l2,l3相交于同一点,则∠1+∠2+∠3=
　 　。
180°
12.若一个角的补角比这个角的余角的4倍还多15°,则这个角的补角的度数为　 　。
115°
13.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=90°。
(1)写出与∠COD互余的角。
解:(1)因为∠AOC=∠BOD=90°,
所以∠COD+∠AOD=90°,
∠COD+∠BOC=90°。
所以与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC。
(2)图中是否有互补的角 若有,请写出来。
(3)∠AOD与∠BOC相等吗 请说明理由。
解:(2)∠COD与∠AOB,∠AOC与∠BOD互补。
(3)∠AOD与∠BOC相等。理由:同角的余角相等。
素养题
14.(推理能力)如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE是∠COB的平分线,
∠FOE=90°,∠AOD=70°。
(1)求∠BOE的度数。
(2)OF是∠AOC的平分线吗 请说明理由。
解:(2)OF是∠AOC的平分线。
理由如下:因为∠FOE=90°,
所以∠COE+∠COF=90°,
所以∠EOB+∠FOA=90°。
因为OE是∠COB的平分线,
所以∠COE=∠EOB,
所以∠COF=∠FOA(等角的余角相等),
即OF是∠AOC的平分线。

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