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专题8.1 平方根【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 平方根概念理解】 2
【题型2 求一个数的（算术）平方根】 3
【题型3 求代数式的（算术）平方根】 4
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】 6
【题型5 由平方根的概念解方程】 8
【题型6 由算术平方根的非负性求值】 9
【题型7 估算算术平方根的取值范围】 11
【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】 13
【题型9 平方根与数轴的综合】 15
【题型10 算术平方根的规律探究】 18
知识点：平方根
平方根：
①定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、
负根号，其中叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数有两个平方根，我们把正数的正的平方根，叫做的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当时，；
③算术平方根具有双重非负性：；.
【题型1 平方根概念理解】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的平方根一定有两个
B．任何非负数都有两个平方根
C．没有平方根的数一定是负数
D．一个数的平方根一定小于这个数本身
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数：，．其中有平方根的数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【题型2 求一个数的（算术）平方根】
【例2】（24-25九年级下·四川广安·开学考试）16的平方根是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【变式2-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）下面语句中正确的是（ ）
A．64的平方根是 B．的平方根是
C．的平方根是 D．的算术平方根是
【变式2-2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）若的平方等于3，则等于（ ）
A． B．9 C．或 D．9或
【变式2-3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
【题型3 求代数式的（算术）平方根】
【例3】（23-24七年级·河南洛阳·阶段练习）已知的平方根是的算术平方根是4，则 .
【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·七年级校联考期中）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式3-2】（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【变式3-3】（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若与是同一个正数的平方根，则a的值为 ．
【变式4-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
【变式4-2】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·广东茂名·期中）已知，的平方根是，求的平方根．
【题型5 由平方根的概念解方程】
【例5】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习），求x的值．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式5-3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程
(1)；
(2)．
【题型6 由算术平方根的非负性求值】
【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知与都是非负数，且它们的算术平方根互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【变式6-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ．
【变式6-2】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知，那么的值为 ；
【变式6-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ．
【题型7 估算算术平方根的取值范围】
【例7】（23-24七年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则
【变式7-1】（23-24七年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式7-2】（23-24七年级·北京朝阳·期末）将边长分别和的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（23-24七年级·广东汕头·单元测试）满足的所有整数的和是 ．
【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】
【例8】（23-24七年级·山东威海·期末）已知－2的整数部分为a，+2的整数部分为b，那么b－a的平方根是 ．
【变式8-1】（23-24七年级·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【变式8-2】（23-24七年级·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值．
【变式8-3】（23-24七年级·浙江·阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则 .
【题型9 平方根与数轴的综合】
【例9】（23-24七年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ．
【变式9-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对应点可能为点 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”）
【变式9-2】（23-24七年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C．1+ D．+2
【变式9-3】（23-24七年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，，，裁剪，剪成一个小正方形．
(1)在图1中，剪成的小正方形的面积为________，边的长为________；
(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点与数轴上表示1的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数．
【题型10 算术平方根的规律探究】
【例10】（23-24七年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
25
根据以上规律，若，则（ ）
A． B．379 C．12 D．120
【变式10-1】（23-24七年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ．
【变式10-2】（23-24七年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
【变式10-3】（23-24七年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律= ；
(2)计算．
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专题8.1 平方根【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 平方根概念理解】 2
【题型2 求一个数的（算术）平方根】 3
【题型3 求代数式的（算术）平方根】 4
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】 6
【题型5 由平方根的概念解方程】 8
【题型6 由算术平方根的非负性求值】 9
【题型7 估算算术平方根的取值范围】 11
【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】 13
【题型9 平方根与数轴的综合】 15
【题型10 算术平方根的规律探究】 18
知识点：平方根
平方根：
①定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、
负根号，其中叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
(1)定义：正数有两个平方根，我们把正数的正的平方根，叫做的算术平方根．
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当时，；
③算术平方根具有双重非负性：；.
【题型1 平方根概念理解】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的平方根一定有两个
B．任何非负数都有两个平方根
C．没有平方根的数一定是负数
D．一个数的平方根一定小于这个数本身
【答案】C
【分析】本题考查了平方根，注意平方根与算术平方根的关系：一个非负数的正平方根是它的算术平方根．根据平方根、算术平方根的概念进行解答即可．
【详解】解：A、一个正数有两个平方根，零的平方根是零，负数没有平方根，故A错误；
B、一个正数有两个平方根，零的平方根是零，所以任何非负数有一个或两个平方根，故B错误；
C、负数没有平方根，故C正确；
D、如0.2是0.04的一个平方根，0.2大于0.04，所以一个数的平方根不一定小于这个数本身，故D错误；
故选：C．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
【答案】A
【分析】本题运用了平方根和算术平方根的性质，利用平方根和算术平方根的性质可求解．
【详解】解：①36的平方根是，故①错误；
②9的平方根是，没有平方根，故②错误；
③0.1是0.01的算术平方根，故③错误；
④的平方根是，故④错误；
⑤81的算术平方根是9，故⑤错误．
故选：A．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：A、，故该选项计算正确，符合题意；
B、，故该选项计算错误，不符合题意；
C、，故该选项计算错误，不符合题意；
D、没有算术平方根，故该选项计算错误，不符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数：，．其中有平方根的数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是掌握一个正数有两个平方根，零的平方根是零，负数没有平方根．
先化简，根据正数和0有平方根即可解答．
【详解】解：，，，
∴48，，0，共4个数有平方根，，，共3个没有平方根，
故选：B．
【题型2 求一个数的（算术）平方根】
【例2】（24-25九年级下·四川广安·开学考试）16的平方根是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义求解即可．
【详解】解：，
故选：B
【变式2-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）下面语句中正确的是（ ）
A．64的平方根是 B．的平方根是
C．的平方根是 D．的算术平方根是
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根，平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
【详解】A、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意；
B、的平方根不是，原选项说法错误，不符合题意；
C、负数没有平方根，原选项说法错误，不符合题意；
D、的算术平方根是，原选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【变式2-2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）若的平方等于3，则等于（ ）
A． B．9 C．或 D．9或
【答案】C
【分析】本题考查了平方根，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，直接利用平方根的概念计算即可．
【详解】解：∵的平方等于3，
∴等于或．
故选：C．
【变式2-3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
【答案】A
【分析】本题运用了平方根和算术平方根、立方根的性质，解题的关键是准确应用性质．利用平方根和算术平方根、立方根的定义可求解．
【详解】解：①36的平方根是，故①错误；
②9的平方根是，没有平方根，故②错误；
③，故③错误；
④是的一个平方根，故④错误；
⑤，的平方根是，故⑤错误；
⑥81的算术平方根是9，故⑥错误；
综上分析可知：正确的为0个．
故选：A．
【题型3 求代数式的（算术）平方根】
【例3】（23-24七年级·河南洛阳·阶段练习）已知的平方根是的算术平方根是4，则 .
【答案】3
【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：2a-1=9，3a+b-1=16，
解得：a=5，b=2，
∴=
【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根，本题属于基础题型．
【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·七年级校联考期中）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．
【详解】＋
＝
由题意知，， ，
∴，，
∴，
9的平方根是，
∴平方根为，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
【变式3-2】（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可．
【详解】解：由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键．
【变式3-3】（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可；
【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是，
∴，，
∴，．
∵是的整数部分，，
∴．
∴．
∵的平方根是．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．
【题型4 由（算术）平方根求式子的值】
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若与是同一个正数的平方根，则a的值为 ．
【答案】1或5
【分析】本题考查平方根，相反数，一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．一个正数的平方根是两个互为相反数的式，或两式相等．
【详解】解：∵与是同一个正数的平方根，则两式互为相反数或两式相等，
或，
或，
故答案为：1或5．
【变式4-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
【答案】25
【分析】本题考查了平方根的知识点，解题的关键是根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解．
根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值，从而求出这个正数．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
，
∴这个正数是，
故答案为： 25．
【变式4-2】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键．根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入中求解即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是4，
∴，将代入，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【变式4-3】（24-25八年级上·广东茂名·期中）已知，的平方根是，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
根据算术平方根、平方根的定义求出a、b的值，再计算，最后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：依题意得：，，
∴，，
∴，
∵16的平方根为，
∴的平方根为．
【题型5 由平方根的概念解方程】
【例5】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习），求x的值．
【答案】
【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，将方程变形为，再利用平方根的定义求解即可．
【详解】解：
．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用．
（1）先变形为，再求平方根即可求解；
（2）先变形为，再求平方根得，然后解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
即；
（2）解：，
，
，
即，
∴或．
【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)原方程无解
【分析】本题考查了利用平方根解方程，能熟练利用平方根的定义解方程是解题的关键．
（1）将方程化为，由平方根的定义，即可求解；
（2）将方程化为，由平方根的性质，即可求解；
【详解】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
负数没有平方根，
原方程无解．
【变式5-3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程；
（1）根据平方根的定义解方程即可求解；
（2）根据立方根的定义解方程即可求解．
【详解】（1）解：
∴
解得：或
（2）解：
∴
解得：
【题型6 由算术平方根的非负性求值】
【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知与都是非负数，且它们的算术平方根互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】此题考查了算术平方根的定义、相反数的定义，有理数的乘方运算，已知字母的值求代数式的值，根据非负实数的性质及算术平方根的定义、相反数的定义得到，由此求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵与都是非负数，且它们的算术平方根互为相反数，
∴，
∴，，
解得，，
∴．
故选：A．
【变式6-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了算术平方根的非负性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据算术平方根的非负性质列式求出和的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：12．
【变式6-2】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知，那么的值为 ；
【答案】
【分析】本题考查非负性，乘方运算，代数式求值，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式6-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：由题意可得，
解得：，
∴，
∴，
∴的算术平方根是5．
故答案为：5．
【题型7 估算算术平方根的取值范围】
【例7】（23-24七年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则
【答案】
【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方根定义，掌握比较无理数估算的方法是解决问题的关键．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出的值，即可得出答案．
【详解】解：∵，即，
∴，
∵a，b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，
，
．
故答案为：．
【变式7-1】（23-24七年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可．
【详解】∵面积为10的正方形的边长为a，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a的值在3和4之间，
故选：C．
【变式7-2】（23-24七年级·北京朝阳·期末）将边长分别和的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，
∴正方形的面积为2，
∴该正方形的边长为：，
∵1＜＜，
∴1＜＜1.5，
∴该正方形的边长最接近整数是：1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
【变式7-3】（23-24七年级·广东汕头·单元测试）满足的所有整数的和是 ．
【答案】
【分析】首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和．
【详解】解：，
，
，
又，
，
满足的所有整数有，，，，它们和为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．
【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】
【例8】（23-24七年级·山东威海·期末）已知－2的整数部分为a，+2的整数部分为b，那么b－a的平方根是 ．
【答案】
【分析】估算出－2与+2的取值范围，求得的值，进而计算的平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
4的平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根估算，求一个数的平方根，正确的求得的值是解题的关键．
【变式8-1】（23-24七年级·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴9的平方根是；
故答案为．
【变式8-2】（23-24七年级·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值．
【答案】(1)3；
(2)的值是0或2
【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，
（1）先估算出的大小，然后确定整数部分；
（2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入求x的值即可．
【详解】（1）解：∵
∴，即，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
故答案为：3；．
（2）∵
∴，
∴的整数部分为11，的整数部分为4，
∴小数部分是，的小数部分，
∴
即：
∴，
解得或．
∴满足条件的的值是0或2．
【变式8-3】（23-24七年级·浙江·阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则 .
【答案】1
【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.
【详解】解：∵
∴，
∴
∴的整数部分为10，的整数部分为2，
∴a=
b=
代入得：
=12018
=1
【题型9 平方根与数轴的综合】
【例9】（23-24七年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ．
【答案】-2a+b/b－2a
【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可．
【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴
＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b+b﹣a+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键．
【变式9-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对应点可能为点 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”）
【答案】C
【分析】由于是5的算术平方根，故，又，所以是在点2与之间，由题图中的数轴上可知，处于点处，即点表示的数是．
【详解】解：由于是5的算术平方根，
故，又，
所以是在点2与之间，
由题图中的数轴上可知，
又处于点处，即点表示的数是．
故答案为：C．
【点睛】本题考查概念算术平方根的应用，无理数在数轴上的表示，难点要将近似为，才能更准确确定出是在点处．
【变式9-2】（23-24七年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C．1+ D．+2
【答案】C
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB=，而AB=AE，得AE=，A点的坐标为1，故E点的坐标为+1．
【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=．
【变式9-3】（23-24七年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，，，裁剪，剪成一个小正方形．
(1)在图1中，剪成的小正方形的面积为________，边的长为________；
(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点与数轴上表示1的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数．
【答案】(1)10，；
(2)点表示的数为或
【分析】本题考查了算术平方根的意义，分类讨论是解答本题的关键．
（1）用割补法可求出正方形的面积，利用算术平方根的意义可求出边的长；
（2）根据实数与数轴的关系求解，注意要分两种情况求解．
【详解】（1）由16个边长均为1的小正方形剪开后，剪成一个小正方形，
小正方形的面积为；
，
；
故答案为10，；
（2），
以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，点表示的数为或．
【题型10 算术平方根的规律探究】
【例10】（23-24七年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
25
根据以上规律，若，则（ ）
A． B．379 C．12 D．120
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∵，
∴，
故选：A．
【变式10-1】（23-24七年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字规律问题，先判断序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根，即可得出第10个数，进而得出第n个数．
【详解】解：∵一列数按如下规律排列：，，，，，，…，
∴序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根，
则第10个数是，第个数是．
故答案为：，．
【变式10-2】（23-24七年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键．
根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式．
【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，
第10个等式：，
故答案为：．
【变式10-3】（23-24七年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律= ；
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键；
（1）通过观察得出规律，根据规律即可解答；
（1）利用规律得出原式为，化简即可．
【详解】（1）根据规律可知，
=1+（n为正整数），
故答案为：1+；
（2）由规律可得，原式
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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