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《2.3.2平行线的性质》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 王丹丹
预备性知识：
平行线的性质 文字语言 符号语言 图形语言
性质1 两直线平行， 同位角相等. ∵ ∴
性质2 两直线平行， 内错角相等. ∵ ∴
性质3 两直线平行， 同旁内角互补. ∵ ∴
平行线的判定 文字语言 符号语言 图形语言
判定1 同位角相等， 两直线平行. ∵ ∴
判定2 内错角相等， 两直线平行. ∵ ∴
判定3 同旁内角互补， 两直线平行. ∵ ∴
平行公理 平行于同一条直线的两直线平行 ∵ ∴
例1：根据下图，回答下列问题：
(1)若∠1=∠2，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
∠1与∠2是内错角，若∠1=∠2，则根据 “内错角相等，两直线平行”，可得BF//CE.
(2)若∠2=∠M，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
∠2与∠M 是同位角，若∠2=∠M，则根据 “同位角相等，两直线平行”，可得AM//BF.
(3)若∠2 +∠3 = 180°，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
∠2与∠3 是同旁内角，若∠2 +∠3=180°，则根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得AC//MD.
活动1：独立思考
例2（基础性目标1）：如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由.
解：因为∠1＝∠2，
根据“内错角相等，两直线平行”，
所以 EF∥CD.
又因为AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以EF∥AB.
例3（基础性目标2）：如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝107°，求∠2，∠3的度数.
解：因为a∥b，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠2＝∠1＝107°.
因为c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以∠1＋∠3＝180°，
所以∠3＝180°－∠1＝180°－107°＝73°.
活动2：典例精讲（拓展性目标）
例4.（拓展性目标1）如图，AB∥CD，∠B=∠D，点F在AD上，EF交BC的延长线于点E. 试说明：∠E=∠DFE.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠B+∠DCB=180°(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠B=∠D(已知)，
所以∠D+∠DCB=180°(等量代换).
所以AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行).
所以∠E=∠DFE(两直线平行，内错角相等).
（拓展性目标2）你能根据解题过程说说平行线的性质与判定之间有怎样的关系？
活动3：回顾与反思（挑战性目标1）
回顾直线相交与平行的探究过程，你积累了哪些研究几何图形的方法与经验
1.在现实生活中认识相交线与平行线，总结其定义及对顶角等相关概念;
2.在研究相交线的特殊情形“重直”时,通过画图总结垂线的性质;
3.经过操作活动,观察、分析、归纳判断两直线平行的条件及平行线的性质;
4.通过画图总结平行线其他的性质,依据两直线平行的条件进行尺规作图.
活动4：头脑风暴（挑战性目标2）
已知AB∥CD，请你在平面内任取一点E（点E不在平行线上），连接AE,CE.请探索∠EAB、∠ECB、∠AEC之间的关系，并说明理由.
小结：
说说本节课你的收获
当堂检测
1. (基础性知识) 如图， AE//CD，∠1=37°，∠D=54°，则∠2=,∠BAE=.
2. (基础性知识)有下列说法:①两直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④两直线平行,同位角相等.其中是平行线的性质的是(　D　)
A.① B. ②③ C.④ D. ①④
3． (基础性知识)如图所示，已知AB⊥GH于点M,CD⊥GH,直线CD,EF,GH相交于一点O,直线EF,AB相交于点P.若∠1=42°,则∠2等于(　B　)
A.130° B.138° C.140° D.142°
4.（拓展性知识）如图，已知∠ 1=105°， ∠ 2=75°，请说明 a//b.
解：因为∠ 1=105°， ∠ 1+ ∠ 3=180°，
所以∠ 3 =180°- ∠ 1 =180°-105°=75°.
因为∠ 2=75°，
所以∠ 2= ∠ 3，
所以 a//b(同位角相等，两直线平行).
5.（挑战性知识）如图所示，已知∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若DE⊥AC,∠2=140°,求∠AFG的度数.
解:(1)BF∥DE.理由如下:因为∠AGF=∠ABC,
所以GF∥BC,所以∠1=∠FBC.
因为∠1+∠2=180°,所以∠FBC+∠2=180°,所以BF∥DE.
(2)因为BF∥DE,DE⊥AC,所以∠AFB=∠AED=90°.
因为∠1+∠2=180°,∠2=140°,所以∠1=40°,
所以∠AFG=90°-40°=50°.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
1．已知a∥b，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　D　）
A．100° B．135° C．155° D．165°
2．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4的大小是__120___度．
拓展性作业：
3. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，BE∥GF，∠1＝∠2．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠ADE＝50°，求∠2的度数．
解：（1）证明：∵BE∥GF，
∴∠2＝∠CBE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CBE，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，∠ADE＝50°，
∴∠ABC＝∠ADE＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE∠ABC50°＝25°，
∵BE∥GF，
∴∠2＝∠CBE＝25°
4. 如图，AB∥CD，点P，Q分别是AB，CD上的一点，射线PB绕点P顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒2度，旋转至与QD重合便立即回转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动．若射线PB先转动30秒，射线QC才开始转动，则射线QC转动_30或110_秒后，QC与PB平行．
挑战性作业：
5. 【阅读 领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．
【实践 体悟】如图2，已知∠ABE＝∠DCF，∠E＝∠F．求证：AB∥CD．
（1）小明同学想到通过连接BC，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程：
证明：连接BC．
因为∠E＝∠F（已知），
所以 　BE∥CF　（内错角相等，两直线平行），
所以 　∠EBC＝∠FCB　（两直线平行，内错角相等），
因为∠ABE＝∠DCF（已知），
所以∠ABE+　∠EBC　＝∠DCF+　∠FCB　（等式性质），
所以 　∠ABC　＝ 　∠DCB　（等量代换），
所以AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　）．
（2）请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程．
（2）延长BE交直线CD于点M，
∵∠BEF＝∠F，
∴BM∥CF，
∴∠BMC＝∠DCF．
∵∠ABE＝∠DCF，
∴∠BMC＝∠ABE，
∴AB∥CD．
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 王丹丹
预备性知识：
平行线的性质 文字语言 符号语言 图形语言
性质1
性质2
性质3
平行线的判定 文字语言 符号语言 图形语言
判定1
判定2
判定3
平行公理
例1：根据下图，回答下列问题：
(1)若∠1=∠2，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
(2)若∠2=∠M，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
(3)若∠2 +∠3 = 180°，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？
活动1：独立思考
例2（基础性目标1）：如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由.
例3（基础性目标2）：如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝107°，求∠2，∠3的度数.
活动2：典例精讲（拓展性目标）
例4.（拓展性目标1）如图，AB∥CD，∠B=∠D，点F在AD上，EF交BC的延长线于点E. 试说明：∠E=∠DFE.
（拓展性目标2）你能根据解题过程说说平行线的性质与判定之间有怎样的关系？
活动3：回顾与反思（挑战性目标1）
回顾直线相交与平行的探究过程，你积累了哪些研究几何图形的方法与经验
活动4：头脑风暴（挑战性目标2）
已知AB∥CD，请你在平面内任取一点E（点E不在平行线上），连接AE,CE.请探索∠EAB、∠ECB、∠AEC之间的关系，并说明理由.
小结：
说说本节课你的收获
当堂检测
1. (基础性知识) 如图， AE//CD，∠1=37°,∠D=54°，则∠2=
____,∠BAE=_____.
2. (基础性知识)有下列说法:①两直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④两直线平行,同位角相等.其中是平行线的性质的是(　　)
A.① B. ②③ C.④ D. ①④
3． (基础性知识)如图所示，已知AB⊥GH于点M,CD⊥GH,直线CD,EF,GH相交于一点O,直线EF,AB相交于点P.若∠1=42°,则∠2等于(　　)
A.130° B.138° C.140° D.142°
4.（拓展性知识）如图，已知∠ 1=105°， ∠ 2=75°，请说明 a//b.
5.（挑战性知识）如图所示，已知∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若DE⊥AC,∠2=140°,求∠AFG的度数.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
1．已知a∥b，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）
A．100° B．135° C．155° D．165°
2．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4的大小是_____度．
拓展性作业：
3. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，BE∥GF，∠1＝∠2．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠ADE＝50°，求∠2的度数．
4. 如图，AB∥CD，点P，Q分别是AB，CD上的一点，射线PB绕点P顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒2度，旋转至与QD重合便立即回转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动．若射线PB先转动30秒，射线QC才开始转动，则射线QC转动________秒后，QC与PB平行．
挑战性作业：
5. 【阅读 领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．
【实践 体悟】如图2，已知∠ABE＝∠DCF，∠E＝∠F．求证：AB∥CD．
（1）小明同学想到通过连接BC，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程：
证明：连接BC．
因为∠E＝∠F（已知），
所以 　 　（内错角相等，两直线平行），
所以 　 　（两直线平行，内错角相等），
因为∠ABE＝∠DCF（已知），
所以∠ABE+　 　＝∠DCF+　 　（等式性质），
所以 　 　＝ 　 　（等量代换），
所以AB∥CD（ 　 　）．
（2）请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程．
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