资源简介

《相交线与平行线》复习课自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 王丹丹
一、回顾思考
1.举例说出生活中的对顶角、互补的角与互余的角？
对顶角：如十字路口，两条路相交形成的四个角中，相对的两个角就是对顶角；剪刀张开后角的两边互为反向延长线，两个角是对顶角.
补角：一个角为120°，另一个角为60°，这两个角互补.
余角：一个角为30°，另一个角为60°，这两个角互余.
2.判定两条直线是否平行，通常有哪些方法？
通常有以下方法：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行；
④平行于同一直线的两条直线互相平行；
⑤在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；
⑥在同一平面内，不相交的两条直线平行.
3.平行线有哪些特征？
①平行线没有交点；
②两直线平行，同位角相等；
③两直线平行，内错角相等；
④两直线平行，同旁内角互补.
4.怎样用尺规作已知直线的平行线？与用尺规作一个角等于已知角有怎样的联系？
作法 示范
1.在直线 AB上任取一点 O,过点O,P作直线CD.
2.以点 P为顶点,以 PD为一边,在直线 CD 的右侧作∠DPN= ∠ DOB.
用尺规作已知直线的平行线，实际上是作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行，得到所作的直线与已知直线平行.
二、绘制本单元思维导图（课前完成）
建议：绘制思维导图关注四个要素：
一是关键词（不是短语，更不是句子），
二是连接线（类似神经元的曲线方式），
三是布局（核心在中间，逐级展开），
四是色彩（合理运用色彩，原则上每一层级一个色彩）；
六个标准： 一是内容完整，二是表述简练，三是结构明确，四是重点突出，五是逻辑清楚，六是布局合理
三、典例精讲
【考点一 对顶角+余角】
例1．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　B　）
A．29° B．32° C．45° D．58°
【考点二 垂线的性质 】
例2. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　A　）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点三 利用平行线的性质求角度】
例3．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　 60 　°．
【考点四 平行线的性质+等腰三角形】
例4．如图，直线a∥b，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B．若θ＝44°，则∠AOB＝ 　 92 　°．
【考点五 平行线的判定】
例5.如图所示，∠1=47°,∠2=133°,∠D=47°,那么AB与CD平行吗 BC与DE呢 为什么
解:AB∥CD,BC∥DE.
理由:因为∠1=47°,
所以∠ABC=∠1=47°.
又因为∠2=133°,
所以∠ABC+∠2=180°,
所以AB∥CD.
因为∠2=133°,所以∠BCD=180°-∠2=47°.
又因为∠D=47°,
所以∠BCD=∠D,
所以BC∥DE.
四、思维提升
同学们：“两条直线AB，CD 遇上一块含 60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60°)”会有怎样的数学故事呢？请同学们想一想、摆一摆，画一画，写一写.
五、总结反思
对照学习目标检查学习效果，谈谈你的感受、收获或困惑！
六、课后练习
基础性作业：
1. 如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　C　）
A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180°
C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA
2. 若一个角的补角的比这个角的余角大20°，则这个角的度数为　75　度．
3. 如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交于P，小明觉得直线c一定和b相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 　经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行　．
拓展性作业：
4. 如图，AC与BD相交于点E，∠1＝65°，∠D＝65°．
（1）若∠A＝30°，试求∠ACD的度数；
（2）取线段AB的中点F，连结EF．若∠AFE+∠BCD＝180°，∠A＝∠AEF．求证：CA平分∠BCD．
（1）解：∵∠1＝65°，∠D＝65°，
∴∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°；
（2）证明：如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠AFE+∠BCD＝180°，
∴∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ACB，
∵∠A＝∠AEF，∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ACB，
即CA平分∠BCD．
5. 如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数．
（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠D+∠ACD＝180°，
又∵∠D+∠BAC＝180°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD．
（2）解：连接CE，
∵AC∥DE，∠CED＝35°，
∴∠ACE＝∠CED＝35°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACE＝70°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝70°，
又∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
挑战性作业：
6. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝　60　°；
（2）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
解：（2）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 王丹丹
一、回顾思考
1.举例说出生活中的对顶角、互补的角与互余的角？
2.判定两条直线是否平行，通常有哪些方法？
3.平行线有哪些特征？
4.怎样用尺规作已知直线的平行线？与用尺规作一个角等于已知角有怎样的联系？
二、绘制本单元思维导图（课前完成）
建议：绘制思维导图关注四个要素：
一是关键词（不是短语，更不是句子），
二是连接线（类似神经元的曲线方式），
三是布局（核心在中间，逐级展开），
四是色彩（合理运用色彩，原则上每一层级一个色彩）；
六个标准： 一是内容完整，二是表述简练，三是结构明确，四是重点突出，五是逻辑清楚，六是布局合理
三、典例精讲
【考点一 对顶角+余角】
例1．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　　）
A．29° B．32° C．45° D．58°
【考点二 垂线的性质 】
例2. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点三 利用平行线的性质求角度】
例3．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　 　°．
【考点四 平行线的性质+等腰三角形】
例4．如图，直线a∥b，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B．若θ＝44°，则∠AOB＝ 　 　°．
【考点五 平行线的判定】
例5.如图所示，∠1=47°,∠2=133°,∠D=47°,那么AB与CD平行吗 BC与DE呢 为什么
四、思维提升
同学们：“两条直线AB，CD 遇上一块含 60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60°)”会有怎样的数学故事呢？请同学们想一想、摆一摆，画一画，写一写.
五、总结反思
对照学习目标检查学习效果，谈谈你的感受、收获或困惑！
六、课后练习
基础性作业：
1．如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180°
C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA
2．若一个角的补角的比这个角的余角大20°，则这个角的度数为　 　度．
3．如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交于P，小明觉得直线c一定和b相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 　 　．
拓展性作业：
4．如图，AC与BD相交于点E，∠1＝65°，∠D＝65°．
（1）若∠A＝30°，试求∠ACD的度数；
（2）取线段AB的中点F，连结EF．若∠AFE+∠BCD＝180°，∠A＝∠AEF．求证：CA平分∠BCD．
5．如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数．
挑战性作业：
6．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝　 　°；
（2）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
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