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《2.1.1两直线的位置关系》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
预备性知识：
观察下面的图片：你认为两条直线有哪些位置关系？
问题1：在纸上画出两条直线，再次观察它们有怎样的位置关系？
问题2：研究两条直线的位置关系，有什么样的前提条件？前提条件能否去掉？
问题3：分享你搜集的生活中有关两条直线相交和平行的例子。
问题1：因为直线是可以无限延长的，所以两条直线的位置关系为相交和平行、
问题2：前提条件为：在同一平面内。
活动1：（基础性目标1）
总结同一平面内，两条直线的位置关系分别是什么？
在同一平面内，两条相交直线的位置关系为相交和平行；
若两条直线只有一个公共点，我们就称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
活动2： （基础性目标1）
问题4：如图，直线AB,CD相交于点O.∠1和∠2的位置有什么关系？
∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线
总结：在图中，直线AB与CD相较于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
问题5：图中还有其它的角也构成对顶角吗？
∠3与∠4
【基础性练习2】下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　C　）
活动3：（基础性目标2）
问题6：如图，直线AB,CD相交于点O.∠1和∠2具有特殊的位置关系，它们的大小有什么关系？并说出理由与同伴交流.
解：∠1=∠2
理由：∠AOB和∠COD都是平角，
∠2+ ∠3=180°，∠1+∠3=180°(平角的定义)
∠2=180- ∠3，∠1=180- ∠3，
∠2= ∠1. (等式的性质)
总结：对顶角的性质：对顶角相等。
活动4：（拓展性目标1）
问题7：如图，观察并思考∠1和∠3有什么数量关系？
∠1与∠3构成一个平角，
所以∠1+∠3=180°
总结：
一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
问题8：如图，观察并思考还有哪些角也构成互为补角的关系吗？
图中互为补角的角还有∠2与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4
问题9：思考老师手中的大三角板的30°角与你手中小三角板60°角互余吗？你有什么结论尝试与同桌交流。
互余，因为互余、互补只有角度的数量有关，与角度的位置无关
活动5：（拓展性目标1）
问题10：如图①,打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.将图①简化为图②,ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°,且∠1=∠2.
(1)请在图②中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由.
解:(1)互为补角的角有∠1与∠AOC,∠2与∠BOD,
∠1与∠BOD,∠2与∠AOC,∠DON与∠CON;
互为余角的角有∠1与∠3,∠2与∠3,∠2与∠4,∠1与∠4.
(2) ∠3与∠4的大小有什么关系 ∠AOC与∠BOD呢 你能说明你的理由吗？与同伴进行交流.
解:(2) ∠3=∠4.理由:∠1+∠3= 90°,∠2+∠4=90°,且∠1=∠2,
∠3=∠4.
∠AOC=∠BOD.理由:∠AOC +∠1=180°,∠BOD +∠2=180°,且∠1=∠2,
∠AOC=∠BOD.
总结：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
活动6：（拓展性目标2）
问题11：如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.请指出所量角的度数，并说明理由.
解:扇形零件的圆心角为40°.
可以根据对顶角相等得出所量角的度数是40°，
也可以利用补角得出所量角的度数是180°-140°=40°
活动7：（挑战性目标1）
问题11：如图，在长方形的台球桌面上， ∠1 =∠2 ，∠2+∠3= 90°
（1）如果∠1= 58°，那么∠3等于多少度？
（2）请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。
解:
∠2+∠3= 90°
90°-58°=32°
小结：
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
1.（基础性练习）如图所示，直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于(C　　)
A.90° B.150° C.180° D.210°
2. （基础练习）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝（　A　）
A．36° B．38° C．52° D．46°
3. （基础练习）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则
∠EOB的大小为____32______°．
4.(拓展性练习)因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2,其推理依据是(　D　)
A.同角的余角相等 B.对顶角相等
C.等角的补角相等 D.同角的补角相等
5.（拓展性练习）如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠BOF，∠AOC=90°，则∠COE=　45　°.
6.（拓展性练习）一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？
解：设这个角的度数是x，
则180°﹣x＝3（90°﹣x），
解得x＝45°．
答：这个角的度数是45°．
7.（挑战性练习）如图所示，直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OD平分∠BOF，
∠BOE=50°.
(1)求∠AOC的度数; (2)求∠EOF的度数.
解:(1)因为∠BOE=50°,∠COE=90°,
且∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,
所以∠AOC=180°-50°-90°=40°.
(2)由题意知∠DOE=90°,
所以∠BOD=90°-50°=40°.
因为OD平分∠BOF,
所以∠BOD=∠DOF=40°,
所以∠EOF=50°+40°+40°=130°.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
如图，直线a，b相交，∠1＝38°，求∠2，∠3，∠4的度数．
解：∠2=142°， ∠3＝38° ∠4=142°
拓展性作业：
2.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树干与山坡所成的锐角为___60°．
3.互补的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？
解：互为补角的两个角不可以都是锐角，因为两个锐角的和小于180°；
互为补角的两个角可以都是直角，因为两个直角的和就是180°；
互为补角的两个角不可以都是钝角，因为两个钝角的和大于180°．
挑战性作业：
4. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线。
(1)若∠1＝41°，∠2＝18°，求出∠AFG的度数．
(2)请根据今天所学的知识，尝试编写一道角度运算的题目并解答。
解：∠AFG=121°
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
预备性知识：
观察下面的图片：你认为两条直线有哪些位置关系？
问题1：在纸上画出两条直线，再次观察它们有怎样的位置关系？
问题2：研究两条直线的位置关系，有什么样的前提条件？前提条件能否去掉？
问题3：分享你搜集的生活中有关两条直线相交和平行的例子。
活动1：（基础性目标1）
总结同一平面内，两条直线的位置关系分别是什么？
活动2： （基础性目标1）
问题4：如图，直线AB,CD相交于点O.∠1和∠2的位置有什么关系？
总结：在图中，直线AB与CD相较于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
问题5：图中还有其它的角也构成对顶角吗？
【基础性练习2】下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　）
活动3：（基础性目标2）
问题6：如图，直线AB,CD相交于点O.∠1和∠2具有特殊的位置关系，它们的大小有什么关系？并说出理由与同伴交流.
总结：对顶角的性质：对顶角相等。
活动4：（拓展性目标1）
问题7：如图，观察并思考∠1和∠3有什么数量关系？
总结：
一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
问题8：如图，观察并思考还有哪些角也构成互为补角的关系吗？
问题9：思考老师手中的大三角板的30°角与你手中小三角板60°角互余吗？你有什么结论尝试与同桌交流。
活动5：（拓展性目标1）
问题10：如图①,打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.将图①简化为图②,ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°,且∠1=∠2.
(1)请在图②中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由.
(2) ∠3与∠4的大小有什么关系 ∠AOC与∠BOD呢 你能说明你的理由吗？与同伴进行交流.
总结：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
活动6：（拓展性目标2）
问题11：如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.请指出所量角的度数，并说明理由.
活动7：（挑战性目标1）
问题11：如图，在长方形的台球桌面上， ∠1 =∠2 ，∠2+∠3= 90°
（1）如果∠1= 58°，那么∠3等于多少度？
（2）请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。
小结：
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
1.（基础性练习）如图所示，直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于(　　)
A.90° B.150° C.180° D.210°
2. （基础练习）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝（　　）
A．36° B．38° C．52° D．46°
3. （基础练习）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则
∠EOB的大小为__________°．
4.(拓展性练习)因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2,其推理依据是(　　)
A.同角的余角相等 B.对顶角相等
C.等角的补角相等 D.同角的补角相等
5.（拓展性练习）如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠BOF，∠AOC=90°，则∠COE=　　　　°.
6.（拓展性练习）一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？
7.（挑战性练习）如图所示，直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OD平分∠BOF，
∠BOE=50°.
(1)求∠AOC的度数; (2)求∠EOF的度数.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
如图，直线a，b相交，∠1＝38°，求∠2，∠3，∠4的度数．
拓展性作业：
2.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树干与山坡所成的锐角为______________．
3.互补的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？
挑战性作业：
4. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线。
(1)若∠1＝41°，∠2＝18°，求出∠AFG的度数．
(2)请根据今天所学的知识，尝试编写一道角度运算的题目并解答。
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