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《2.2.1利用同位角判定两直线平行及平行公理》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.两条直线相交成四个角，如果有____一个角是直角_____，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.如图，记作_____AB⊥CD_____，垂足为点O.
几何语言：
(1)∵AB⊥CD，
∴______∠BOC或∠AOC或∠AOD或∠BOD______=90°.(填出一个即可)
(2)∵∠BOC=90°，
∴_____AB⊥CD_______.
2.如何判定图中的直线平行？你是怎么判断的？
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
3.除了定义法，还有其它判断两直线平行的方法吗？
活动1：(基础性目标1)
在日常生活中，人们经常用到平行线.
如图，装修工人要在墙上钉木条，如果木条b与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行
木条a与竖直木条所成的角为90°时，才能使木条a与木条b平行.
如果木条b不与竖直木条垂直呢
探究 如图1，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条a.如图2，在转动木条a的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化 木条a何时与木条b平行
木条a与木条b的位置关系经历“相交→平行→相交”这一变化过程.当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
改变图中∠1的大小，旋转木条a，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行
当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
活动2：(基础性目标2)
思考 两条直线相交，可以构成四个角，若在图中再添加一条直线，构成了几个角？
此图可看作两直线AB，CD被第三条直线l所截，共构成八个角，简称“三线八角”.
通常直线AB，CD叫作被截线，直线l叫作截线.
观察∠1与∠2，它们有怎样的位置关系？
①在两条被截直线的同一方；②在截线的同侧.
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.找出其他的同位角.
∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8也分别是同位角.
总结:同位角的位置特征:
①在两条被截直线的同一方；②在截线的同侧.形如字母“F”(或倒置、反置、旋转).
注意:同位角强调两角的位置关系，与角的大小无关.
基础性目标2练习 图中的∠1与∠2是同位角吗？
活动3：(基础性目标3)
由上面的活动可知：当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
总结：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简述为:同位角相等，两直线平行.
两直线平行，用符号“//”表示.
例如，直线a与直线b平行，记作a//b.
填写下面的结论：
两条直线平行的判定方法1：
文字语言：_____同位角相等，两直线平行_____.
图形语言：
几何语言：
∵∠1=∠2(已知)________
∴l1//l2(同位角相等，两直线平行)_________
基础性目标3练习 1.1.找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段.
解:AB//CD，EF//CH.
2.如图，∠1=∠2=55°，直线 AB与CD平行吗
解:AB//CD.
∵∠1=∠2=55°，∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3.
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
活动4：(拓展性目标4)
你能根据“同位角相等，两直线平行”这一原理，借助三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线吗？
一落 把三角尺的一边落在已知直线上.
二靠 用直尺紧靠三角尺的另一边.
三推 沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点.
四画 沿三角尺过已知点的边画直线.
思考 在画平行线过程中，三角尺起着什么样的作用？
在移动的过程中，三角尺的度数不变，保证同位角相等.
活动5：(拓展性目标5)
思考 1.经过点C能画出几条直线？
2.与直线AB平行的直线有几条？
3.经过点C能画出几条直线与直线AB平行？
1.无数条
2.无数条
3.1条
总结：平行公理（基本事实）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
强调“存在性”和“唯一性”
活动6：(拓展性目标6)
在图中，分别过点C和D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系
EF与GH平行
总结：平行公理的推论(平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线平行
填写下面的结论：
平行公理的推论(平行线的传递性)：
文字语言：_____平行于同一条直线的两条直线平行_____.
图形语言：
几何语言：
∵b//a，c//a________
∴b//c(平行于同一条直线的两条直线平行)_________
拓展性目标5、6练习 对于同一平面内的三条直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行 请画图说明.
解:c与b的位置关系是相交.
小组合作活动7：(挑战性目标7)
将装修工人要在墙上钉木条的情景抽象如图，直线a⊥c，b⊥c．求证：a∥b．
证明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，
∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定义)，
∴∠1＝∠2(等量代换)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
总结：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
小组合作活动8：(挑战性目标8)
请模仿挑战性活动7改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
当堂检测
1．(基础性目标1)在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果a⊥b，b⊥c，则a 　∥　c．
2．(基础性目标2)如图中∠1与∠2不是同位角的是(　B　)
A． B． C． D．
3.(基础性目标3)如图，∠A＝50°，则当∠1＝　130　°时，AB∥CD．
4.(拓展性目标4)如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 　同位角相等，两直线平行　．
5.(基础性目标3)如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝86°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转　16　度．
6.(拓展性目标5、6)下列说法错误的是(　B　)
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
7.(挑战性目标7)如图，在△ABC中，D，E分别在AC，BC上，∠C＝20°，∠CDE＝120°，∠B＝40°，请问DE与AB是否平行？并说明理由.
解：DE∥AB.理由如下：
在△CDE中，∠CDE＝120°，∠C＝20°，
∠CDE+∠C+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-∠CDE-∠C=180°-120°-20°=40°.
又∵∠B＝40°，∴∠DEC=∠B，
∴DE∥AB(同位角相等，两直线平行).
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1．找出图中互相平行的直线．
解：∵∠1＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1＝∠ABC，
∴m∥n，
∵∠DEC＝∠ABC＝50°，
∴a∥b．
拓展性作业：
2．如果只有直尺，你能在上面的方格纸上画出平行线吗？
解：如图所示：
3．你能用一张不规则的纸(比如，如图所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗？与同伴说说你的折法，请在图中画出示意图，写出平行依据.
解：如图所示：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
4.直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点的位置关系如何？
解：A、B、C三点的位置关系是：在同一直线上，
理论依据是：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
挑战性作业：
5．如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，求证：AB∥EF．
证明：∵CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，
∴∠DCF＝2∠DCG＝130°，
∵∠DCF+∠DCE=180°，
∴∠DCE＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥EF．
6．已知：如图，∠EGB＝∠GHD，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
求证：GM∥HN．
证明：∵GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
∴∠EGM∠EGB，∠GHN∠GHD，
∵∠EGB＝∠GHD，
∴∠EGM＝∠GHN，
∴GM∥HN．
7.请模仿挑战性作业第6题改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.两条直线相交成四个角，如果有___________________，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.如图，记作___________________，垂足为点O.
几何语言：
(1)∵AB⊥CD，
∴_____________________=90°.(填出一个即可)
(2)∵∠BOC=90°，
∴____________________.
2.如何判定图中的直线平行？你是怎么判断的？
3.除了定义法，还有其它判断两直线平行的方法吗？
活动1：(基础性目标1)
在日常生活中，人们经常用到平行线.
如图，装修工人要在墙上钉木条，如果木条b与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行
如果木条b不与竖直木条垂直呢
探究 如图1，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条a.如图2，在转动木条a的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化 木条a何时与木条b平行
改变图中∠1的大小，旋转木条a，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行
活动2：(基础性目标2)
思考 两条直线相交，可以构成四个角，若在图中再添加一条直线，构成了几个角？
通常直线AB，CD叫作被截线，直线l叫作截线.
观察∠1与∠2，它们有怎样的位置关系？
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.找出其他的同位角.
总结:同位角的位置特征:__________________________________________________
注意:同位角强调两角的位置关系，与角的大小无关.
基础性目标2练习 图中的∠1与∠2是同位角吗？
活动3：(基础性目标3)
由上面的活动可知：当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
总结：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简述为:同位角相等，两直线平行.
两直线平行，用符号“__________”表示.
例如，直线a与直线b平行，记作__________.
填写下面的结论：
两条直线平行的判定方法1：
文字语言：____________________.
图形语言：
几何语言：
∵____________________________
∴____________________________
基础性目标3练习 1.1.找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段.
2.如图，∠1=∠2=55°，直线AB与CD平行吗
活动4：(拓展性目标4)
你能根据“同位角相等，两直线平行”这一原理，借助三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线吗？
思考 在画平行线过程中，三角尺起着什么样的作用？
活动5：(拓展性目标5)
思考 1.经过点C能画出几条直线？
2.与直线AB平行的直线有几条？
3.经过点C能画出几条直线与直线AB平行？
总结：平行公理（基本事实）：________________________________________
强调“存在性”和“唯一性”
活动6：(拓展性目标6)
在图中，分别过点C和D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系
总结：平行公理的推论(平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线平行
填写下面的结论：
平行公理的推论(平行线的传递性)：
文字语言：__________________________________________________.
图形语言：
几何语言：
∵______________________________________________
∴_________________________________________________
拓展性目标5、6练习 对于同一平面内的三条直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行 请画图说明.
小组合作活动7：(挑战性目标7)
将装修工人要在墙上钉木条的情景抽象如图，直线a⊥c，b⊥c．求证：a∥b．
总结：________________________________________
小组合作活动8：(挑战性目标8)
请模仿挑战性活动7改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
当堂检测
1．(基础性目标1)在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果a⊥b，b⊥c，则a 　__________　c．
2．(基础性目标2)如图中∠1与∠2不是同位角的是(　　)
A． B． C． D．
3.(基础性目标3)如图，∠A＝50°，则当∠1＝　__________　°时，AB∥CD．
4.(拓展性目标4)如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 　______________________________　．
5.(基础性目标3)如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝86°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转　__________　度．
6.(拓展性目标5、6)下列说法错误的是(　　)
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
7.(挑战性目标7)如图，在△ABC中，D，E分别在AC，BC上，∠C＝20°，∠CDE＝120°，∠B＝40°，请问DE与AB是否平行？并说明理由.
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1．找出图中互相平行的直线．
拓展性作业：
2．如果只有直尺，你能在上面的方格纸上画出平行线吗？
3．你能用一张不规则的纸(比如，如图所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗？与同伴说说你的折法，请在图中画出示意图，写出平行依据.
4.直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点的位置关系如何？
挑战性作业：
5．如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，求证：AB∥EF．
6．已知：如图，∠EGB＝∠GHD，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
求证：GM∥HN．
7.请模仿挑战性作业第6题改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
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