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《2.2.2利用内错角或同旁内角判定两直线平行》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.平行的判定方法1：________________________________________________________
2.平行公理（基本事实）：_______________________________________________________
3.平行公理的推论：_______________________________________________________
4.尺规作角：尺规作∠A′O′B′＝∠AOB
活动1：(基础性目标1)
问题 小明有一块小画板，他想知道它的上、 边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB(如图所示).
思考 小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
观察∠1与∠4，它们有怎样的位置关系？
具有∠1与∠4这样位置关系的角称为内错角.
图中的内错角还有哪些？
内错角的位置特征:__________________________________________________________
观察∠1与∠2，它们有怎样的位置关系？
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同旁内角
图中还有哪些同旁内角？
同旁内角的位置特征:_________________________________________________________
总结：同位角的位置特征：形如字母“________”(或倒置、反置、旋转).
内错角的位置特征：形如字母“_________”(或倒置、反置、旋转).
同旁内角的位置特征：形如字母“_________”(或倒置、反置、旋转).
注意:同位角、内错角、同旁内角强调两角的位置关系，与角的大小无关.
基础性目标1练习 观察下图并填空：
(1)∠1与_________是同位角；
(2)∠5与________是同旁内角；
(3)∠1与________是内错角.
活动2：(基础性目标2)
探究 能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
(1)内错角满足什么关系时，两直线平行 为什么
如图，由∠3=∠2，可推出a//b吗？如何推出？
总结：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简述为:内错角相等，两直线平行.
填写下面的结论：
两条直线平行的判定方法2：
文字语言：_______________________________________.
图形语言：
几何语言：
∵___________________________________
∴___________________________________
(2)同旁内角满足什么关系时两直线平行 为什么
如图，如果∠1+∠2=180°，你能判定a//b吗
总结：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简述为:同旁内角互补，两直线平行.
填写下面的结论：
两条直线平行的判定方法3：
文字语言：______________________________________.
图形语言：
几何语言：
∵___________________________________
∴______________________________________
除了定义法，我们学习了哪些判断两直线平行的方法？
活动3：(拓展性目标3)
如下图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由．
以下是小颖的思考过程：BC与AE是平行的．
因为∠BCA与∠EAC是内错角，而且又相等．
再找一组平行线，并说明你的理由．
思考 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢
拓展性目标3练习 .当图中各角分别满足下列条件时，你能判定哪两条直线平行
(1)∠1=∠4；(2)∠2=∠4；(3)∠1+∠3=180°.
活动4：(拓展性目标4)
尝试 如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN， 并且使MN与AB平行.
(1)过点P的直线有多少条
(2)满足什么条件的直线才能与AB平行
你能用尺规过直线外一点作这条直线的平行线吗？
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN//AB.
小组合作活动5：(挑战性目标5)
如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE．当∠ACD＝　_____________________________　时，CE∥AB．
小组合作活动6：(挑战性目标6)
请模仿挑战性活动5改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
当堂检测
1．(基础性目标1)下列说法不正确的是(　　)
A．∠1与∠4是同位角 B．∠3与∠5是同旁内角
C．∠3与∠4是内错角 D．∠3与∠6是同位角
2.(拓展性目标3)下列各图中，能画出AB∥CD的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
3.(拓展性目标4)如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA即为所求．
请你按照小亮的步骤完成作图，并写出小亮作图的依据：____________________________
4.(挑战性目标5)如图，直线a、b被直线l所截，AD、BC为其中一组同旁内角的角平分线．若AD⊥BC，则a与b的位置关系是什么？
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1.如图，下列说法不正确的是(　　)
A．∠3和∠4是同位角 B．∠1和∠3是对顶角
C．∠4+∠2＝180° D．∠1和∠4是内错角
拓展性作业：
2.如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是(　　)
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180°
3．如图，一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？为什么？
4.如图，∠DAB+∠CDA＝180°，∠ABC＝∠1，直线AB与CD平行吗？直线AD与BC呢？为什么？
挑战性作业：
5.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
6.请模仿挑战性作业第5题改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.平行的判定方法1：___同位角相等，两直线平行__________________________
2.平行公理（基本事实）：___过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行__________
3.平行公理的推论：____平行于同一条直线的两条直线平行_________________________
4.尺规作角：尺规作∠A′O′B′＝∠AOB
活动1：(基础性目标1)
问题 小明有一块小画板，他想知道它的上、 边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB(如图所示).
思考 小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
观察∠1与∠4，它们有怎样的位置关系？
①在直线l的两侧；②在直线AB，CD的之间
具有∠1与∠4这样位置关系的角称为内错角.
图中的内错角还有哪些？
∠3与∠2
内错角的位置特征:①在两条被截直线之间；②在截线的两侧.形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转).
观察∠1与∠2，它们有怎样的位置关系？
①在直线l的同旁；②在直线AB，CD的之间
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同旁内角
图中还有哪些同旁内角？
∠3与∠4
同旁内角的位置特征:①在两条被截直线之间；②在截线的同侧.形如字母“U”(或倒置、反置、旋转).
总结：同位角的位置特征：形如字母“____F_____”(或倒置、反置、旋转).
内错角的位置特征：形如字母“_____Z____”(或倒置、反置、旋转).
同旁内角的位置特征：形如字母“____U_____”(或倒置、反置、旋转).
注意:同位角、内错角、同旁内角强调两角的位置关系，与角的大小无关.
基础性目标1练习 观察下图并填空：
(1)∠1与____∠4_____是同位角；
(2)∠5与_____∠3____是同旁内角；
(3)∠1与____∠2_____是内错角.
活动2：(基础性目标2)
探究 能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
(1)内错角满足什么关系时，两直线平行 为什么
如图，由∠3=∠2，可推出a//b吗？如何推出？
解：∵∠3=∠2(已知)，
∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2，
∴a//b(同位角相等，两直线平行).
总结：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简述为:内错角相等，两直线平行.
填写下面的结论：
两条直线平行的判定方法2：
文字语言：_____内错角相等，两直线平行_____.
图形语言：
几何语言：
∵∠3=∠2(已知)________
∴a//b(内错角相等，两直线平行)_________
(2)同旁内角满足什么关系时两直线平行 为什么
如图，如果∠1+∠2=180°，你能判定a//b吗
解：∵∠1+∠2=180°(已知)，
∠1+∠3=180°(邻补角定义)，
∴∠2=∠3(同角的补角相等)，
∴a//b(同位角相等，两直线平行).
总结：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简述为:同旁内角互补，两直线平行.
填写下面的结论：
两条直线平行的判定方法3：
文字语言：_____同旁内角互补，两直线平行_____.
图形语言：
几何语言：
∵∠1+∠2=180°(已知)________
∴a//b(同旁内角互补，两直线平行)_________
除了定义法，我们学习了哪些判断两直线平行的方法？
判定方法1 同位角相等，两直线平行
判定方法2 内错角相等，两直线平行
判定方法3 同旁内角互补，两直线平行
平行公理推论 平行于同一条直线的两条直线平行
活动3：(拓展性目标3)
如下图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由．
以下是小颖的思考过程：BC与AE是平行的．
因为∠BCA与∠EAC是内错角，而且又相等．
再找一组平行线，并说明你的理由．
AC与DE是平行的．因为∠BCA与∠CDE是同位角，而且又相等．
思考 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢
这条截线的作用是构造出同位角、内错角、同旁内角，从而将两直线的位置关系转化为角之间的数量关系，进而可以通过操作、观察来探索同位角或内错角或同旁内角的数量关系与两直线平行之间的联系.
拓展性目标3练习 .当图中各角分别满足下列条件时，你能判定哪两条直线平行
(1)∠1=∠4；(2)∠2=∠4；(3)∠1+∠3=180°.
解:(1)∵∠1=∠4，
∴a//b(同位角相等，两直线平行).
(2)∵∠2=∠4，
∴l//m(内错角相等，两直线平行).
(3)∵ ∠1+∠3=180°，
∴l//n(同旁内角互补，两直线平行).
活动4：(拓展性目标4)
尝试 如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN， 并且使MN与AB平行.
(1)过点P的直线有多少条
(2)满足什么条件的直线才能与AB平行
解：(1)过点P的直线有无数条.
(2)如图，满足∠DPN=∠DOB时，直线MN才能与AB平行.
你能用尺规过直线外一点作这条直线的平行线吗？
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN//AB.
作法与示范：
1.如图1，在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD.
2.如图2，以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB.
PN边所在的直线MN就是要作的直线.
如图1 如图2
小组合作活动5：(挑战性目标5)
如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE．当∠ACD＝　60°或120°　时，CE∥AB．
解：分两种情况：
①如图1所示，
当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°；
②如图2所示，
当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
故答案为：60°或120°．
小组合作活动6：(挑战性目标6)
请模仿挑战性活动5改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
当堂检测
1．(基础性目标1)下列说法不正确的是(　D　)
A．∠1与∠4是同位角 B．∠3与∠5是同旁内角
C．∠3与∠4是内错角 D．∠3与∠6是同位角
2.(拓展性目标3)下列各图中，能画出AB∥CD的是(　D　)
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
3.(拓展性目标4)如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA即为所求．
请你按照小亮的步骤完成作图，并写出小亮作图的依据：_内错角相等，两直线平行______
4.(挑战性目标5)如图，直线a、b被直线l所截，AD、BC为其中一组同旁内角的角平分线．若AD⊥BC，则a与b的位置关系是什么？
解：a∥b如图，
∵AD⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAD+∠ABC+∠AOB＝180°，
∴∠BAD+∠ABC90°，
∵AD、BC分别是∠MAB、∠ABN的角平分线，
∴∠MAB=2∠BAD，∠ABN=2∠ABC，
∴∠MAB+∠ABN=2(∠BAD+∠ABC)＝180°，
∴a∥b.
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1.如图，下列说法不正确的是(　C　)
A．∠3和∠4是同位角 B．∠1和∠3是对顶角
C．∠4+∠2＝180° D．∠1和∠4是内错角
拓展性作业：
2.如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是(　C　)
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180°
3．如图，一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？为什么？
解：街道AB与CD平行；理由如下：
∵∠ABC＝∠BCD＝150°，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
4.如图，∠DAB+∠CDA＝180°，∠ABC＝∠1，直线AB与CD平行吗？直线AD与BC呢？为什么？
解：AB∥CD，AD∥BC，
理由是：∵∠DAB+∠CDA＝180°，
∴AB∥CD；
∵∠ABC＝∠1，
∴AD∥BC．
挑战性作业：
5.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
解：AB∥CD，PG∥QH，
理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∴∠1＝∠GPQAPQ，∠2＝∠PQH∠EQD，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，
∴AB∥CD，PG∥QH．
6.请模仿挑战性作业第5题改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究

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