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7.1　实际问题中导数的意义
[学习目标]　1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题.
一、导数在物理学中的应用
例1　物体作自由落体运动，其方程为s(t)=gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g=9.8 m/s2).
(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；
(2)求s'(2)，并解释它的意义.
反思感悟　在物理学中：
(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度.
(2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数.
(3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数.
跟踪训练1　某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)=t3-2t+1.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义；
(2)求W'(1)，W'(2)，解释它们的意义.
二、导数在经济活动中的应用
例2　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)=x2+60x+2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义.
延伸探究　若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.
反思感悟　在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决.
跟踪训练2　东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c(单位：元)与生产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义.
三、导数在生活中的应用
例3　某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y=f(x)=2.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f'(64)，f'(100)，并解释它们的实际意义.
反思感悟　解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.
跟踪训练3　一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y=f(x)=+4.
(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f'(1)，f'(4)，并解释它的实际意义.
1.知识清单：
(1)导数在物理学中的应用.
(2)导数在经济活动中的应用.
(3)导数在生活中的应用.
2.方法归纳：数学建模.
3.常见误区：忽略实际问题的定义域.
1.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W=W(t)，则W'(t0)表示(　　)
A.t=t0时做的功 B.t=t0时的速度
C.t=t0时的位移 D.t=t0时的功率
2.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示，则f'(10)表示 (　　)
A.t=10时的降雨强度 B.t=10时的降雨量
C.t=10时的时间 D.t=10时的温度
3.如果物体做直线运动的方程为s(t)=2(1-t)2，则其在t=4时的瞬时速度为 (　　)
A.12 B.-12
C.4 D.-4
4.某汽车的路程函数是s=2t3-gt2(g=10 m/s2)，则当t=2 s时，汽车的加速度是　　　　m/s2.
答案精析
例1　解　(1)当t从2 s变到4 s时，
位移s从s(2)变到s(4)，
此时，位移s关于时间t的平均变化率为
=
=9.8×3=29.4(m/s).
它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.
(2)∵s'(t)=gt，
∴s'(2)=2g=19.6(m/s).
它表示物体在t=2 s时的瞬时速度为19.6 m/s.
跟踪训练1　解　(1)当t从1 s变到3 s时，
功W从W(1)=1-2+1=0(J)变到
W(3)=33-2×3+1=22(J)，
其平均变化率为==11(J/s)，
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(2)因为W'(t)=3t2-2，
所以W'(1)=3-2=1(J/s)，
W'(2)=3×22-2=10(J/s)，
W'(1)，W'(2)分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J.
例2　解　当x从10件提高到20件时，
总成本C从C(10)=2 675元变到C(20)=3 350元.
此时总成本的平均改变量为=67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.
延伸探究　解　因为C'(x)=x+60，
所以C'(75)=×75+60=97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.
跟踪训练2　解　(1)产量为1 000台时的总利润为
c(1 000)=-2×1 0002+7 000×1 000+600
=5 000 600(元)，
平均利润为=5 000.6(元/台).
(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为=
=2 000(元/台).
(3)∵c'(x)=(-2x2+7 000x+600)'=-4x+7 000，
∴c'(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000(元/台).
c'(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元/台).
c'(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元.
c'(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.
例3　解　(1)x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率为==(道/分钟).它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题.
(2)因为f'(x)=，所以f'(64)=(道/分钟)，
f'(100)=(道/分钟).
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题.
跟踪训练3　解　(1)当x从1 h变到4 h时，
产量y从f(1)= g变到f(4)= g，此时平均变化率为==(g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间内这个人平均每小时生产 g产品.
(2)f'(x)=+，于是f'(1)=(g/h)，
f'(4)=(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.
随堂演练
1.D
2.A　[f'(t)表示t时刻的降雨强度.故选A.]
3.A　[s'(t)=-4(1-t)，∴s'(4)=-4(1-4)=12.]
4.14　[∵v(t)=s'(t)=6t2-gt，
a(t)=v'(t)=12t-g，
∴a(2)=12×2-10=14(m/s2).](共60张PPT)
第二章
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7.1　实际问题中导数的意义
1.了解导数在实际问题中的意义.
2.能用导数解释一些实际问题.
学习目标
低碳生活是指在生活中要尽力减少所消耗的能量，特别是二氧化碳的排放量，从而减少对大气的污染，减缓生态恶化.低碳生活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长.如何使汽油的使用效率最高？
导 语
一、导数在物理学中的应用
二、导数在经济活动中的应用
课时对点练
三、导数在生活中的应用
随堂演练
内容索引
导数在物理学中的应用
一
　　　物体作自由落体运动，其方程为s(t)=gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g=9.8 m/s2).
(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；
例 1
当t从2 s变到4 s时，
位移s从s(2)变到s(4)，
此时，位移s关于时间t的平均变化率为
=
=9.8×3=29.4(m/s).
它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.
(2)求s'(2)，并解释它的意义.
∵s'(t)=gt，
∴s'(2)=2g=19.6(m/s).
它表示物体在t=2 s时的瞬时速度为19.6 m/s.
在物理学中：
(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度.
(2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数.
(3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数.
反
思
感
悟
　　　　　某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)=t3-2t+1.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义；
跟踪训练 1
当t从1 s变到3 s时，
功W从W(1)=1-2+1=0(J)变到
W(3)=33-2×3+1=22(J)，
其平均变化率为
==11(J/s)，
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(2)求W'(1)，W'(2)，解释它们的意义.
因为W'(t)=3t2-2，
所以W'(1)=3-2=1(J/s)，
W'(2)=3×22-2=10(J/s)，
W'(1)，W'(2)分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J.
二
导数在经济活动中的应用
　　　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)=x2+60x+2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义.
例 2
当x从10件提高到20件时，
总成本C从C(10)=2 675元变到
C(20)=3 350元.
此时总成本的平均改变量为
=67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.
　　　　　若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.
因为C'(x)=x+60，
所以C'(75)=×75+60=97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.
延伸探究
反
思
感
悟
在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决.
　　　　　东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c(单位：元)与生产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
跟踪训练 2
产量为1 000台时的总利润为
c(1 000)=-2×1 0002+7 000×1 000+600
=5 000 600(元)，
平均利润为=5 000.6(元/台).
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为
=
=2 000(元/台).
(3)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义.
∵c'(x)=(-2x2+7 000x+600)'
=-4x+7 000，
∴c'(1 000)=-4×1 000+7 000
=3 000(元/台).
c'(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元/台).
c'(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元.
c'(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利
1 000元.
导数在生活中的应用
三
　　　某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y=f(x)=2.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
例 3
x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率为==(道/分钟).它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题.
(2)求f'(64)，f'(100)，并解释它们的实际意义.
因为f'(x)=，所以f'(64)=(道/分钟)，
f'(100)=(道/分钟).
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答道题.
反
思
感
悟
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.
解决实际问题的一般步骤
　　　　　一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)
是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y=f(x)=+4.
(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
跟踪训练 3
当x从1 h变到4 h时，
产量y从f(1)= g变到f(4)= g，此时平均变化率为==(g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间内这个人平均每小时生产 g产品.
(2)求f'(1)，f'(4)，并解释它的实际意义.
f'(x)=+，于是f'(1)=(g/h)，f'(4)=(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.
1.知识清单：
(1)导数在物理学中的应用.
(2)导数在经济活动中的应用.
(3)导数在生活中的应用.
2.方法归纳：数学建模.
3.常见误区：忽略实际问题的定义域.
随堂演练
四
1
2
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1.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W=W(t)，则W'(t0)表示
A.t=t0时做的功 B.t=t0时的速度
C.t=t0时的位移 D.t=t0时的功率
√
2.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示，则f'(10)表示
A.t=10时的降雨强度 B.t=10时的降雨量
C.t=10时的时间 D.t=10时的温度
1
2
3
4
√
f'(t)表示t时刻的降雨强度.故选A.
3.如果物体做直线运动的方程为s(t)=2(1-t)2，则其在t=4时的瞬时速度为
A.12 B.-12
C.4 D.-4
1
2
3
4
√
s'(t)=-4(1-t)，∴s'(4)=-4(1-4)=12.
4.某汽车的路程函数是s=2t3-gt2(g=10 m/s2)，则当t=2 s时，汽车的加速度是　　 m/s2.
1
2
3
4
∵v(t)=s'(t)=6t2-gt，
a(t)=v'(t)=12t-g，
∴a(2)=12×2-10=14(m/s2).
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课时对点练
五
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是
A.8 B.
C.-1 D.-8
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基础巩固
√
原油温度的瞬时变化率为f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5)，所以当x=1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
2.某物体运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s=5-2t2，则该物体在t=2时的瞬时速度为
A.-3米/秒 B.-8米/秒
C.8米/秒 D.3米/秒
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√
该物体在t=2时的瞬时速度即为s在t=2时的导函数的值，又s'=-4t，故该物体在t=2时的瞬时速度为s'|t=2=-8米/秒，故选B.
3.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x)，假设f'(x)>0恒成立，且f'(10)=10，f'(20)=1，则这些数据说明第20天与第10天比较
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
√
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因为导数的含义是变化率，f'(10)>f'(20)>0，所以公司的盈利在增加，且增加的幅度变小.
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4.细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM=2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM=x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为
A.2x B.3x
C.4x D.5x
√
设m(x)=kx2，当AM=2时，m(2)=k·22=8，∴k=2.∴m(x)=2x2.∴ρ(x)=m'(x)=4x.
5.某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)=-t3-4t2+20t+15，则s'(1)的实际意义为
A.汽车刹车后1 s内的位移
B.汽车刹车后1 s内的平均速度
C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D.汽车刹车后1 s时的位移
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√
由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.
6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是
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√
7.人体血液中药物的质量浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，且f'(2)=0.3，则f'(2)表示______________________________________
_________________________.
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服药后2 min时血液中药物的质量浓度以每
分钟0.3 mg/mL的速度增加
8.如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是　　 .
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∵面积S=πr2，半径r=50t，
∴S=2 500πt2.
令r=50t=250，∴t=5，又S'=5 000πt，
∴当t=5时的膨胀率为5 000π×5=25 000π.
25 000π
9.某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)=2 000+450q+0.02q2.
(1)写出收入函数；
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设收入函数为R(q)，利润函数为L(q).
收入函数为R(q)=490q.
(2)写出利润函数；
1
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利润函数为L(q)=R(q)-C(q)
=490q-(2 000+450q+0.02q2)
=-2 000+40q-0.02q2.
(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义.
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利润函数的导数为
L'(q)=(-2 000+40q-0.02q2)'=40-0.04q.
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量.
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10.航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？
h(0)表示航天飞机发射前的高度；
h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度；
h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度.
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(2)求航天飞机升空后第2 s内的平均速度；
航天飞机升空后第2 s内的平均速度
==
=170(m/s).
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(3)求航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度.
由h(t)=5t3+30t2+45t+4，
∴h'(t)=15t2+60t+45，
∴h'(2)=60+120+45=225(m/s).
因此，航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
11.如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速逆时针旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图象大致是
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综合运用
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由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；
选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；
选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间
时段快，与实际不符；
选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快.符合实际.
12.设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A.成正比，比例系数为C
B.成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D.成反比，比例系数为2C
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√
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根据题意知，V=πR3(t)，S=4πR2(t)，球的体积增长速度为V'=4πR2(t)·R'(t)，球的表面积的增长速度为S'=2·4πR(t)·R'(t)=.
∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.
13.一个质量为2 kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，并且物体的动能Ek=mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为　　　 J.
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121
由s(t)=t2+t+1，得v=s'(t)=2t+1.
则物体开始运动后第5 s时的瞬时速度v=s'(5)=11，此时的动能为Ek=×
2×112=121.
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14.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)=p0(1+5%)t，其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是　　　元/年.(1.0510≈1.629，ln 1.05≈0.049，精确到0.01)
0.08
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∵p0=1，∴p(t)=(1+5%)t=1.05t.
在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t=10时的函数值.
∵p'(t)=(1.05t)'=1.05t·ln 1.05，
∴p'(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).
∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
15.水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为
12 m，试求当水深10 m时，水面上升的速度为　　　　 .
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拓广探究
m/min
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设容器中水的体积在t min时为V，水深为h，
则V=20t，V=πr2h(r如图所示).
由图知=，∴r=h，
∴V=π··h3=h3，
∴20t=h3，∴h=，
于是h'=··，
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当h=10时，t=，此时h'=，
∴当水深10 m时，水面上升的速度为 m/min.
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16.一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)=3t2-ln t.
(1)求当t从1 s变到2 s时，电荷量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义(ln 2≈0.69)；
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当t从1 s变到2 s时，
电荷量从Q(1)变到Q(2)，
此时电荷量Q关于时间t的平均变化率为=
≈8.31，
它表示从t=1 s到t=2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
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(2)求Q'(2)，并解释它的实际意义.
Q'(t)=6t-，Q'(2)=11.5，它的实际意义是在t=2 s这一时刻经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.作业33　实际问题中导数的意义
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A.8 B.
C.-1 D.-8
2.某物体运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s=5-2t2，则该物体在t=2时的瞬时速度为(　　)
A.-3米/秒 B.-8米/秒
C.8米/秒 D.3米/秒
3.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x)，假设f'(x)>0恒成立，且f'(10)=10，f'(20)=1，则这些数据说明第20天与第10天比较(　　)
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
4.细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM=2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM=x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为(　　)
A.2x B.3x
C.4x D.5x
5.某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)=-t3-4t2+20t+15，则s'(1)的实际意义为(　　)
A.汽车刹车后1 s内的位移
B.汽车刹车后1 s内的平均速度
C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D.汽车刹车后1 s时的位移
6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　　)
7.(5分)人体血液中药物的质量浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，且f'(2)=0.3，则f'(2)表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
8.(5分)如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是　　　.
9.(10分)某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)=2 000+450q+0.02q2.
(1)写出收入函数；(2分)
(2)写出利润函数；(4分)
(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义.(4分)
10.(12分)航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？(3分)
(2)求航天飞机升空后第2 s内的平均速度；(4分)
(3)求航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度.(5分)
11. 如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速逆时针旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图象大致是(　　)
12.设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径(　　)
A.成正比，比例系数为C
B.成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D.成反比，比例系数为2C
13.(5分)一个质量为2 kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，并且物体的动能Ek=mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为　　　　J.
14.(5分)假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)=p0(1+5%)t，其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是　　　　元/年.(1.0510≈1.629，ln 1.05≈0.049，精确到0.01)
15.(5分)水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，试求当水深10 m时，水面上升的速度为　　　　.
16.(13分)一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)=3t2-ln t.
(1)求当t从1 s变到2 s时，电荷量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义(ln 2≈0.69)；(7分)
(2)求Q'(2)，并解释它的实际意义.(6分)
答案精析
1.C　[原油温度的瞬时变化率为f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5)，所以当x=1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.]
2.B　[该物体在t=2时的瞬时速度即为s在t=2时的导函数的值，又s'=-4t，故该物体在t=2时的瞬时速度为s'|t=2=-8米/秒，故选B.]
3.B　[因为导数的含义是变化率，f'(10)>f'(20)>0，
所以公司的盈利在增加，且增加的幅度变小.]
4.C　[设m(x)=kx2，当AM=2时，m(2)=k·22=8，
∴k=2.∴m(x)=2x2.∴ρ(x)=m'(x)=4x.]
5.C　[由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.]
6.A
7.服药后2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加
8.25 000π
解析　∵面积S=πr2，半径r=50t，
∴S=2 500πt2.
令r=50t=250，∴t=5，又S'=5 000πt，
∴当t=5时的膨胀率为5 000π×5=25 000π.
9.解　设收入函数为R(q)，利润函数为L(q).
(1)收入函数为R(q)=490q.
(2)利润函数为L(q)=R(q)-C(q)
=490q-(2 000+450q+0.02q2)
=-2 000+40q-0.02q2.
(3)利润函数的导数为
L'(q)=(-2 000+40q-0.02q2)'=40-0.04q.
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量.
10.解　(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度；
h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度；
h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度.
(2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度
=
=
=170(m/s).
(3)由h(t)=5t3+30t2+45t+4，
∴h'(t)=15t2+60t+45，
∴h'(2)=60+120+45=225(m/s).
因此，航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
11.D　[由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快.符合实际.]
12.D　[根据题意知，V=πR3(t)，S=4πR2(t)，球的体积增长速度为V'=4πR2(t)·R'(t)，球的表面积的增长速度为S'=2·4πR(t)·R'(t)=.
∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.]
13.121
解析　由s(t)=t2+t+1，得v=s'(t)=2t+1.
则物体开始运动后第5 s时的瞬时速度v=s'(5)=11，
此时的动能为Ek=×2×112=121.
14.0.08
解析　∵p0=1，∴p(t)=(1+5%)t=1.05t.
在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t=10时的函数值.
∵p'(t)=(1.05t)'=1.05t·ln 1.05，
∴p'(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).
∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
15. m/min
解析　设容器中水的体积在t min时为V，水深为h，
则V=20t，V=πr2h(r如图所示).
由图知=，∴r=h，
∴V=π··h3=h3，
∴20t=h3，∴h=，
于是h'=··，
当h=10时，t=，此时h'=，
∴当水深10 m时，水面上升的速度为 m/min.
16.解　(1)当t从1 s变到2 s时，
电荷量从Q(1)变到Q(2)，
此时电荷量Q关于时间t的平均变化率为=≈8.31，
它表示从t=1 s到t=2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
(2)Q'(t)=6t-，Q'(2)=11.5，它的实际意义是在t=2 s这一时刻经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.

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