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(共26张PPT)
18.2.2菱形的判定
人教版2024—2025学年八年级下册
菱形ABCD的性质：
1.具有平行四边形的一切性质。
2.菱形本身具有的特殊性质:
四条边相等,
两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
3.菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半. （为什么？）
O
温故知新
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
AB=BC
A
B
C
D
□ABCD
A
B
C
D
菱形ABCD
□ABCD
四边形ABCD是菱形
AB=BC
定义法:
菱形的判定方法一
思考 此外，还有其他的判定方法吗？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
思考：我们知道菱形的对角线互相垂直. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
你能证明这一猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定方法二
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
求证： 是菱形
已知：在 中，AC ⊥ BD
ABCD
ABCD
证明：
∴ ABCD是菱形
又∵ AC ⊥ BD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∴BA=BC
O
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4, OB=3, AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
典例精析
一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，求证：这个平行四边形为菱形。
典例精析
变式1：一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，那么平行四边形的面积是 。
24㎝
变式练习
变式2：如图, 矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F, 求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
变式练习
变式3：如图，AD∥BC，BD垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。
C
D
B
A
O
┐
) 1
2 (
变式练习
情境：李芳同学先画两条等长的线段AB、 AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、
CD，就得到了一个四边形ABCD ，猜一猜，这是什么四边形？
猜想：四边都相等的四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
AB=BC=CD=DA
四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定方法三
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证一证
菱形常用的判定方法：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）
3、有四条边相等的四边形是菱形.
归纳小结
做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形．
(3)邻角相等的四边形是菱形．
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形．
(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形．
(6)对角线互相垂直的四边形是菱形．
(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
错
对
对
对
错
对
错
对
小试牛刀
证明： ∵AD是角平分线, ∴∠1= ∠2,
又∵AE=AC, AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED, ∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线, 点E、F分别在 AB、 AD上, 且AE=AC, EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
变式1：如图,在△ABC中，∠BAC＝90°AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于C，EF⊥BC于F，求证:四边形AEFG是菱形.
变式练习
变式2：如图,CD为直角△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形．
变式练习
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
变式3：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
变式练习
C
A
B
D
E
F
G
H
变式4：如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
理由如下：连接AC、BD
变式练习
变式5 ： 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
变式练习
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
归纳
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
思考:
课后提升
D
C
B
A

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