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专题3 直线、射线、线段
知识解读
1.与直线、射线、线段有关的规律
与直线、射线、线段有关的规律题众多，解决这类问题的办法是：先写出具体的实例，再归纳这些实例的共同的特点来探求其中的规律.
2.线段公理的运用
两点之间，线段最短.探求最短路径、最小距离等问题常用到这个公理.
3.列方程解决线段计算问题
在无法通过和差倍分来直接计算线段的长度时，经常需要设未知数，构造方程来求解.
4.设参数解决线段计算问题
当题目中未知的线段比较多时，通过增设参数，能使题目变得简单易解。
培优学案
典例示范
1.与直线、射线、线段有关的规律
例1平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
提示：通过画图可知：两条直线只有一个交点，
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2；
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3；
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4；
由此断定n条直线两两相交，最多有交点（1＋2＋3＋…＋n－1）个.
【技巧点评】
画图探求，从简单情形考虑，通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论.
跟踪训练
1.（1）8条直线最多能把平面分成多少个区域？
（2）n条直线最多能把平面分成多少个区域？
2.线段公理的运用
例2 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形。求其中最长的一段的取值范围.
提示：如图3-1，设AB是所围成的五边形ABCDE的最长边，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，根据“两点之间，线段最短”有：
AB＜BC＋CD＋DE＋EA.
【技巧点评】
将求最长线段AB的取值范围转化成A，B两点间由两条不同的线相连接：线段AB和折线AEDCB，再运用线段公理来解决。
跟踪训练
直线a上有四个不同的点，依次为A，B，C，D.那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（ ）
A.可以是线段AD外的某一点 B.只是B点和C点
C.只是线段AD的中点 D.有无数多个点
3.列方程解决线段计算问题
例3如图3-2，B，C两点把线段AD分成2：3：4三部分，点E是线段AD的中点，EC=2cm.
求：（1）AD的长；（2）AB:BE.
提示：根据条件AB:BC:CD=2：3：4，设AB=2x，注意到E是AD中点，从而可将BC，CD，AD，AE都用含x的式子表示出来，再由AC，AE，EC的关系建立方程，从而求解。
【技巧点评】
本题关键是根据给出的比例关系巧设未知数x，进而把相关线段用含x的式子表示出来，再由AC－AE=EC列出方程来求出x.要注意方程思想在解题中的应用。
跟踪训练
3.如图3-3，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度.
4.设参数解决线段计算问题
例4已知点C在直线AB上，且AC＞BC，线段AB=a，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度。
提示：点C在直线AB上，有两种可能（见图3-4）.设BC=b，则可表示出AC，进而表示出MC和NC，从而求出MN.
【技巧点评】
本题可采用整体法，将AC＋BC（或AC－BC）看成一个整体来求解.设BC=b，引入这个参数后，解题更方便.
跟踪训练
4.如图3-5，点C在线段AB上，BC=10，点M，N分别是AB，AC的中点，求MN的长。
培优训练
1.（2017·贵州黔南）如图3-6，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是 （ ）
A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线
C.垂线段最短 D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行
2.（2014·湖南长沙）如图3-7，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长为 （ ）
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
3.（2013·武汉）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点….那么六条直线最多有 （ ）
A.21个交点 B.18个交点 C.15个交点 D.10个交点
4.某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图3-8所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，使得各小区员工到停靠点的总路程最少，那么停靠点的位置应在 （ ）
A.A区 B.B区 C.C区 D.A，B两区之间
5.（2017·广西桂林）如图3-9，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝________.
6.已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC使BC＝3cm，则线段AC＝
7.平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线.若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为__________.
8.已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR＝__________MN.
9.在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离。
10.M，N是线段AB上的两点，且AM:BM＝2：3，AN:BN＝4：1，MN＝3cm，求AM，NB的长.
【挑战竞赛】
1.（重庆市竞赛）五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候.已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次.到目前为止，e握了 （ ）
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
2.（五羊杯邀请赛）如图3-10，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN:PQ等于 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.（第16届江苏省竞赛）如图3-11所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20km，而村庄G正好是AF的中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在 （ ）
A.A处 B.C处 C.G处 D.E处
4.（第13届希望杯）冰冰过生日时，妈妈给她买了一个大蛋糕，形状是圆柱形的，来为冰冰过生日的有7个同学，算上冰冰的爸爸、妈妈和她自己共10个人，现想把这个蛋糕切成至少10块，且是沿竖直方向切分这块蛋糕，则至少需切的刀数为 （ ）
A.3 B.4 C.6 D.9
5.（第16届希望杯）公园里准备修五条甬道，并在甬道交叉路口处设一个报亭，
这样的报亭最多设 （ ）
A.9个 B.10个 C.11个 D.12个
6.（数学新蕾邀请赛）如图3-12，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EF＝e，则图中所有线段长度的和______.
7.（重庆市竞赛）如图3-13，从甲地到乙地共有4条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丙地有5条路可走，那么从甲地到丙地共有________条路可走.
8.（第9届希望杯）线段AB上有P，Q两点，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝________.
9.（第11届希望杯）如图3-14，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，已知图中所有的线段之和为39，求线段BC的长.
10.（第5届华罗庚金杯）摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？
11.（第18届希望杯）平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。
（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？
（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？

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