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专题9 等腰三角形
知识解读
1. 等腰三角形中的分类讨论
有两条边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形的三条边中，哪两条边相等，往往要分类讨论.
2.三角形三边关系在等腰三角形中的应用
结合三角形的三边关系和等腰三角形的概念，可以探索出等腰三角形的腰长大于其周长的四分之一，且小于其周长的一半；等腰三角形的底边长大于0且小于其周长的一半.
培优学案
典例示范
1. 等腰三角形中的分类讨论
例1 已知等腰三角形的两边长为4和9，求该等腰三角形的周长.
提示：分腰为4和腰为9两种情况讨论，要注意利用三角形三边关系检验两种情况下，三角形是否成立.
【技巧点评】
条件中只是告知三角形的两条边长度，没有明确哪条是腰，哪条是底时，需要分类讨论.
跟踪训练
1. 若等腰三角形的一边长为8，周长为26，求该等腰三角形的其他两边长.
例2 等腰三角形ABC一腰上的中线BD将△ABC的周长分成15和12两部分，求△ABC的三条边的长.
提示：有两种可能性：一是AB+AD=15，BC+CD=12；二是AB+AD=12，BC+CD=15.
【技巧点评】
题目没有明确告知哪部分是15，哪部分是12，所以要分情况讨论.
跟踪训练
2.等腰三角形ABC的周长为39，其一腰上的中线将其分成两个三角形，这两个三角形的周长之差为6，求△ABC的三条边的长.
2. 三角形的三边关系在等腰三角形中的应用
例3 等腰三角形的腰长为4，求其周长l的取值范围.
提示：先利用三边关系求出底的取值范围，再确定周长的取值范围.
【技巧点评】
2腰长<周长<4腰长（或者周长<腰长<周长）。
跟踪训练
3. 等腰三角形的周长为16，其腰长a的取值范围是 ，其底边长b的取值范围是 .
培优训练
直击中考
1.（2017·内蒙古包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2.（2017·浙江台州）如图9-1，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是 ( )
A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
图9-1 图9-2 图9-3
3.（2017·海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( )
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
4.（2016·湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.（2016·江苏扬州）如图9-2，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( )
A.6 B.3 C.2.5 D.2
6.（2017·广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是 .
7.（2016·山东滨州）如图9-3，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，
∠A=50°，则∠CDE的度数为 .
8.（2017·四川内江）如图9-4，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
求证：△BDE是等腰三角形.
图9-4
9.（2017·北京）如图9-5，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
求证：AD=BC.
图9-5
10.（2017·宁夏）在等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分别为垂足.求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.
图9-6
挑战竞赛
1.（全国初中数学联赛）如图9-7，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 ( )
A.24 B.38 C.46 D.50
图9-7 图9-8
2.将长度为25厘米的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a，b，c，且满足a≤b≤c，则（a，b，c）有 组解，所构成的三角形都是 三角形.
3.（江苏二十一届初中数学竞赛）如图9-8，在每个小正方形边长都为1的网格中取出12个格点，以这些格点为顶点的等腰直角三角形共有 个.
4.一个等腰三角形的周长是15cm，底边长与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长.

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