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专题10与三角形有关的角
知识解读
1.与三角形的角平分线有关的角
（1）如图10-1①，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则.
（2）如图10-1②，点P是的外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，则.
（3）如图10-1③，点P是∠ABC的平分线和∠ACE的平分线的交点，则.
2.利用外角比较角的大小
“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”，这是比较角的大小的常用方法.
3.三角形的角的计算
培优学案
典例示范
1.与三角形的角平分线有关的角
例1 如图10-2，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，试说明.
提示：.
【技巧点评】
三角形两个内角平分线的交角等于90°加上第三角的一半的和.
跟踪训练
1.如图10-3，点P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，试说明.
例2 如图10-4，点P是∠ABC的平分线和∠ACE的平分线的交点，试说明.
提示：.
【技巧点评】
三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角等于第三角的一半.
跟踪训练
2.如图10-5，∠ABC与∠ACG的平分线交于；与的平分线交于；如此下去，与的平分线交于，探究与∠A的关系（n为自然数）.
2.利用外角比较角的大小
例3如图10-6，点P是△ABC内的一点，求证：∠BPC>∠A.
提示：延长BP交AC于点D，则∠BPC>∠PDC，∠PDC>∠A.要说明角的大小关系时，经常采用“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”.
跟踪训练
3.如图10-7，在△ABC中，D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，试比较∠1与∠2的大小.
3.三角形的角的计算
例4如图10-8，将△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠1、∠2与∠A之间有一种数量关系始终保持不变，请你找出这一规律，并说明理由.
提示：连接，由三角形外角的性质得到，.
【技巧点评】
折叠后的图形与原来的图形形状、大小完全一样.
跟踪训练
4.如图10-9，将△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠1、∠2与∠A之间有怎样的数量关系呢？请说出你的理由
培优训练
1.（2017·湖南株洲）如图10-10，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD的度数是（ ）
A. B. C. D.
2.（2017·黑龙江大庆）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）
A.120° B. C. D.
3.（2017·四川德阳）在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）
A.15° B. C. D.
4.（2016·四川乐山）如图10-11，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A. B. C. D.
5.（2016·山东枣庄）如图10-12，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
6.（2017·青海）如图10-13，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠A=50°，则∠BOC= .
7.如图10-14所示，在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.
8．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
9．（2016·四川内江）
问题引入
（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=a，则∠BOC= （用a表示）；如图2，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=a，则∠BOC= （用a表示）
拓展研究：
（2）如图3，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=a，猜想∠BOC= （用a表示），并说明理由．
（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=a，请猜想∠BOC= ．
挑战竞赛
1．（第15届希望杯）若三角形三个内角∠A、∠B、∠C的关系满足3∠A>5∠B，3∠C≤2∠B，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状无法确定
2．三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围是（ ）
A．36°≤β≤45° B．45°≤β≤60° C．50°≤β≤90° D．45°≤β≤72°
3．（第14届希望杯）如图3，△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAE，∠ABD=∠ABF，则∠D的大小（ ）
A．105° B．90° C．75° D．60°
启东培优微专题
4．（希望杯）已知△ABC的三个内角的度数比是m：( m+1)：( m+2)，其中m是大于1的正整数，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（第13届希望杯）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是两组对边延长线的交点，EG、FG分别平分∠BEC、∠DFC，若∠ADC=60°，∠ABC=80°，则∠EGF的大小是（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
6．（北京市竞赛）在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C，4∠C=7∠A，则∠B的度数为 ．
7．如图，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，设∠DAE=α，∠DBE=β，求∠DCE值．（用含α、β的代数式表示）

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