资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【培优提升】 平行线的几何模型作辅助线
类型一 猪蹄模型
例1
1．如图，，猜想与有怎样的位置关系，并说明理由.
2．（1）如图①，已知，探究与有怎样的位置关系；
（2）如图②，已知，试猜想之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，已知，试猜想之间的数量关系，请直接写出这种关系，不用说明理由．

3．如图，为之间的一点，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数；
【灵活运用】
（2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数．
类型二 铅笔头模型
例2（2022春 江源区期中）
5．（1）如图，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．

6．如图所示，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，已知，，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
9．（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由；
（2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数．
类型三 小马图
例3
10．如图，，则有何关系？为什么？
11．【信息阅读】
材料信息：
如图①，，点是直线，外任意一点，连接，．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数．
解：过点作．
．
，
．
．
．
【问题解决】
(1)通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：___________；
(2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
类型四 多拐角模型
例4（2022春 温县校级期末）
12．（1）如图， ，若，，求的度数．
（2）如图， ，探究，，三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
（2024秋 青山区期末）
13．如图，若，则、、之间的关系为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　）
A． B．
C． D．
15．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，若，则（ ）

A． B． C． D．
类型五 平行线与角平分线的综合问题
例5（2024秋 徐州校级期末）
17．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ．
18．综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
(1)如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
(3)如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
19．一块直角三角板按照如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
20．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
(1)如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C的度数；
(2)如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；
(3)如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
21．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
(1)（基础问题）在图1中，试说明：．（完成填空部分）
证明：过点G作直线，
又，，__________
，_________，
·
(2)（类比探究）在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
(3)（应用拓展）如图3图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于F，连接，若恰好平分，，求的度数．
22．如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线，根据点在与之内和之外的不同位置，，，三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中，，三个角之间的数量关系：① ．② ．③ ．④ ．
23．如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．

(1)求与的和；
(2)当点在直线上运动时，试说明；
(3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值．
24．（1）如图①，若，，．求的度数．
（2）如图①，在的条件下，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由．
（3）如图②，，根据（2）中的猜想，直接写出的度数．
参考答案：
1．，见解析.
【分析】延长BE交CD于F，通过三角形外角的性质可证明∠B=∠EFD，则能证明AB∥CD．
【详解】解：延长BE交CD于F．
∵∠BED=∠B+∠D，
∠BED=∠EFD+∠D，
∴∠B=∠EFD，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及两直线平行的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
2．（1）；（2）．理由见解析（3）
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点C作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）结合（1）（2），根据平行线的性质和判定得出角的关系即可．
【详解】解：（1）过点E作 （F在E点右侧）．
因为，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．

（2）．
理由：过点C作（D在C点右侧），
所以．
因为，
所以．
所以．
因为，
所以．

（3）如图，过拐点分别作的平行线，

由（1）（2）可得：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
3．A
【分析】本题考查平行线的性质，过P作，得到，推出 ，求出，即可得到的度数．．
【详解】解：过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
4．（1）100°；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键．
（1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数；
（2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系；
（3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数．
【详解】解：（1）过点M作，如图①所示：
，
，
，
，
，
；
（2）和之间的数量关系是：，理由如下：
过点M作，如图②所示，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
又，
，
；
（3），理由如下：
过点G作，如图③所示：
，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
．
5．（1）80°；（2）∠B+∠C+∠D=360°．
【详解】试题分析：（1）作CF∥AB，则CF∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补可以分别求出∠BCF和∠DCF的度数，即可求出∠BCD的度数；（2）∠B+∠BCD+∠D=360°，由两直线平行，同旁内角互补可得：∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，所以∠B+∠BCF+∠D+∠DCF=180°，即∠B+∠BCD+∠D=360°.
试题解析：
如图，作CF∥AB，则CF∥DE，

∴∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，
∵∠B=135°，∠D=145°，
∴∠BCF=45°，∠DCF=35°，
∴∠BCD=80°；
（2）∠B+∠BCD+∠D=360°，
如上图，∵CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，
∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF=360°，
即∠B+∠BCD+∠D=360°.
点睛：本题关键在于构造平行线，结合平行线的性质解题.
6．C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解．
【详解】解：作，
∵，
∴，
∴，，
∴
，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系．
【详解】解：过点C作，

∵，
∴，
∴，；
故，
即，
故．
故选：B．
8．A
【分析】解法一：过点B作，则，易得，进而得到，求得，于是，代入计算即可求解．
解法二：延长交b于点F，由平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而求得，最后根据平角的定义即可求解．
【详解】解：解法一：如图，过点B作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
解法二：如图，延长交b于点F，

∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键．
9．（1），理由见详解；（2）
【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键．
（1）过点作，根据平行线的性质即可求出得，，问题得解；
（2）根据（1）中的结论，即可得到结果．
【详解】解：（1），理由如下：
过点作，
．
又，
，
，
，
即，
（2）根据（1）中的结论， 可得出．
过点C作，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
即．
10．．理由见解析
【分析】过点C作，证明，再证明，推出，进而可求出的关系．
【详解】．理由如下：
如图，过点C作．
∵，
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质与判断，解题的关键是明确已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．
11．(1)，理由见详解
(2)，理由见详解
【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质探究角的关系．
（1）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出．
（2）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出．
【详解】（1）解∶过点作．
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为∶
（2）解：过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．（1）80°；（2），理由见解析
【分析】首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案；
利用平行线的性质，再根据角的和差求解即可．
【详解】解：过点作，
，
∴ABEFCD
，，
；
，理由如下：
如上图，
，
∴ABEFCD
，，
．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
13．C
【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，作，
，
则，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
14．D
【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案．
【详解】解：过点作，过点作，
故选：D．
15．B
【分析】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，故B正确．
故选：B．
16．C
【分析】根据平行线的性质可知，再根据平行线的性质可知即可解答．本题考查了平行线的性质，根据做出平行线是解题的关键．
【详解】解：过点作，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选．
17．
【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键．
根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系．
【详解】解：过点作，过点作
，
，分别平分和
故答案为：
18．(1)
(2)
(3)；见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
（1）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路进行求解即可；
（3）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
【详解】（1）解：如图，过K作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
19．B
【分析】过直角顶点作，则，根据平行线的性质得出，，则，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过直角顶点作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
20．(1)50°
(2)∠APC=∠A+∠C，证明见解析
(3)见解析
【分析】（1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO，代入求出即可；
（2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO=∠A，∠C=∠CPO，求出即可；
（3）分三种情况讨论：①当P在线段EF的延长线上运动时，②当点P在线段FE的延长线上运动时，③当点P在线段EF上运动时，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A=20°，当点P在线段EF上运动时，
∴∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO，
∵∠APC=70°，
∴∠C=∠CPO=∠APC-∠APO=70°-20°=50°；
（2）解：∠A+∠C=∠APC，
证明：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C；
（3）解：①当P在线段EF的延长线上运动时，不成立，关系式是：∠A-∠C=∠APC，
理由是：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠A-∠C=∠APO-∠CPO=∠APC，
即∠A-∠C=∠APC；
②当点P在线段FE的延长线上运动时，关系为∠C=∠APC+∠A．
理由：设AB与CP相交于Q，则∠PQB=∠APC+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠PQB，
∴∠C=∠APC+∠A；
③当点P在线段EF上运动时，成立，关系式为∠A+∠C=∠APC，
证明：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C；
综上所述，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论不一定成立．当P在线段EF的延长线上运动时，关系式是：∠A-∠C=∠APC；当点P在线段FE的延长线上运动时，关系为∠C=∠APC+∠A；当点P在线段EF上运动时，关系式为∠A+∠C=∠APC．
【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)，理由见解析；
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．
（1）过点G作直线，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论；
（3）由折叠的性质可知，图3图4中，，，进而得出，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线性质，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：如图1，过点G作直线，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，，，
，，
将长方形纸条沿折叠，得到图4，
图4中，，，
，
恰好平分，
，
，
．
22．
【分析】本题考查平行线，三角形的外角和等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，三角形的外角和，进行解答，即可．
①过点作的平行线，根据平行公理，则，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，进行解答，即可；②过点作，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，进行解答，即可；③延长交于点，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，三角形的外角和，进行解答；④设直线和直线的交点为点，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，三角形的外角和，进行解答，即可．
【详解】解：①过点作的平行线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
②过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
③延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴．
④设直线和直线的交点为点，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；；；．
23．(1)；
(2)详见解析
(3)．
【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
（1）过点作，根据平行的性质可得，，即可得，问题随之得解；
（2）由（1）得：，结合，即可得作答；
（3）根据角平分线的定义有，，再根据平行的性质可得，即有，在结合（2）的结论即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点作，则．

∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
则．
∵，
∴，
∴．
（3）解：若平分，也恰好平分，
则有，，．
∵，
∴，
∴．
由（2）知：，
则，
解得：．
24．（1）；（2）．理由见解析；（3）
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求出和，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，可得，，问题得解；
（3）根据（2）中的结论，即可得到结果．
【详解】（1）解：过点向左作，
．
又，
，
，
，即，
．
（2）解：．理由如下：
过点向左作，
．
又，
，
，
，即，
（3）解：根据（2）中的结论，添加类似（1）中辅助线可得：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键．

展开更多......

收起↑