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【重点题型】二次根式的化简求值专项训练30题
类型一、二次根式与分式的化简求值
（23-24七年级下·四川泸州·期中）
1．先化简，再求值：，其中
（2023·福建厦门·模拟预测）
2．先化简，再求值：，其中．
（22-23八年级下·广西南宁·期中）
3．先化简，再求值：．
（21-22八年级上·湖南益阳·期末）
4．先化简，再求值：，其中．
（22-23八年级上·上海·阶段练习）
5．先化简，再求值，其中，．
（2021·四川成都·三模）
6．先化简，再求值：（1﹣），x＝．
（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）
7．先化简，再求值：，其中：．
（23-24八年级上·河南漯河·期末）
8．化简求值
(1)先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值；
(2)先化简，再求值，已知，求的值．
类型二、已知字母的值求代数式的值
（24-25八年级下·全国·期末）
9．设，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）
10．计算：已知：，，求．
（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）
11．已知，，求．
（23-24八年级上·四川成都·期末）
12．已知，，求代数式的值：
(1)；
(2) ．
（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）
13．已知，求代数式的值．
（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）
14．已知， 求的值．（用两种不同的方法计算）
（24-25八年级上·陕西西安·期中）
15．已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）
16．已知，，求的值．
（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）
17．已知，求代数式的值．
（23-24八年级下·河南洛阳·阶段练习）
18．已知 ，求下列各式的值：
(1)
(2)
类型三、已知条件式求代数式的值
（23-24八年级下·甘肃武威·期中）
19．已知 ，，求的值．
（23-24八年级上·全国·单元测试）
20．已知：，，求的值．
（23-24七年级下·上海·期中）
21．已知实数满足，求的值．
（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）
22．若x，y为实数，且，求的值．
（23-24八年级下·山东烟台·期中）
23．【问题背景】
已知 ，求 的值．
【问题解决】
（1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程；
【拓展应用】
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知，求 的值．
（23-24九年级上·四川乐山·期中）
24．已知，为实数，且满足，求的值．
（22-23八年级下·北京西城·期中）
25．已知，是两个连续的正偶数，，，．
(1)当时，__________；
(2)当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
（21-22八年级下·广东河源·期末）
26．已知 ，且 为奇数，求的值．
类型四、分母有理数与求值温柔
（22-23八年级下·福建福州·期中）
27．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）
28．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）．
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：；
(4)若，求的值．
（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）
29．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）
30．已知，求下列代数式的值．
(1)；
(2)．
参考答案
1．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，原式．
2．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
3．；
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：原式

当时，原式
，
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
4．，
【分析】通分后进行分式加法计算，然后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式加法的计算法则．
5．，
【分析】根据分母有理化和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
6．，
【分析】根据运算顺序，将括号内的代数式通分，再根据因式分解的方法计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握通分的方法及平方差公式．
7．，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
8．(1)，当x取1时，原式的值为
(2)，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，分母有理化；
（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
（2）先得出，则；进而根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的x的值代入计算可得．
【详解】（1）解：
，
且，，
，
当时，原式．
（2）解：∵
∴
当时，原式
9．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）将的值代入，分母有理化即可得出答案；
（2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
10．5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则．
先根据二次根式的运算法则求出和的值，再把变形为，最后整体代入求值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
11．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，把的值代入代数式，根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
．
12．(1)16
(2)4
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用；
（1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可；
（2）原式化为，再整体代入即可．
【详解】（1）解：∵，；
∴；
（2）解：．
13．
【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先求出，然后将代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
14．
【分析】方法一，直接将代入代数式，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案；方法二，先利用完全平方和公式配方，再将代入，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由有理数减法运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：方法一：
当时，
；
方法二：
当时，
原式
．
【点睛】本题考查整数的化简求值，涉及二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式等性质，熟练掌握完全平方公式及二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
15．(1)2
(2)22
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）利用平方差公式可计算出答案；
（2）将原式变形为，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：已知，
那么
（2）解：原式=
其中，
那么原式
16．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，将式子变形为，代入计算即可得解．
【详解】解：
∵，，
∴
．
17．
【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
18．(1)12
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理，再把代入计算，即可作答．
（2）先通分得出，再把代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
（2）解：∵
∴
．
19．
【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可．
本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
【详解】，，
，，
∴原式=
．
原式．
20．
【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简二次根式，再整体代入，求值即可．
【详解】解：由，得，，
∴
21．2007
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．根据被开方数大于等于0可以求出，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
∴原式可化为：，
即=2006，
两边平方得，
∴．
故答案为．
22．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：由题意知，
解得：，
则，
∴原式．
23．（1），见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据题意可得，根据，代值求解即可；
（2）同理（1）计算求解即可；
（3）同理（1）可得，进而可求
【详解】（1）解：∵ ，
∴
，
∴的值为．
（2）解： ，
∴，
∴的值为；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
24．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵要有意义，
∴，即，
∴，
∴，
又∵分式有意义，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
25．(1)2；
(2)定值，2．
【分析】（1）根据，得，然后代入求得，再代入计算即可；
（2）设(x为任意正整数)，则，代入计算得，再代入计算得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，是两个连续的正偶数，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）解：设(x为任意正整数)，则，
∴，
∴
．
∴当为任意正偶数时，的值是定值，这个定值为2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
26．
【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．
【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得，
解得，且为奇数，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先将每一项分母有理化，然后合并即可；
（3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）
故答案为：
（2）解：原式=
；
（3），
，
，即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
28．(1)
(2)
(3)
(4)11
【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可．
（1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案；
（2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可；
（3）依次把每一项分母有理化，再合并即可；
（4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
，
由，
，
．
（3）解：
；
（4）解：，
∴．
29．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：
（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
，，
∴；
（2）解：
．
30．(1)12
(2)14
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，把与的值代入计算即可求出值；
（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再变形，最后把与的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）∵，，
∴原式
；
（2）∵，，
∴，
∴原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，以及分母有理化，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

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