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浙江省杭州市临安区2025年中考数学一模考试试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只一项符合题目要求．
1．在下列各数中：，，，，，0，其中是负数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．全国统一的医保信息平台已全面建成，为超过1360 000 000个参保人员提供医保服务. 数1 360 000 000 用科学记数法表示为 （　　）
A． B． C． D．
3．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（　　）．
A． B．
C． D．
4．班委对全体成员的活动意向进行了调查（每人仅可选择一项），得到的统计图如图所示.若九年级（8）班共有学生45人，老师5人.为了活动方便，植树小组打算进行两两随机组队.若小哲和小涵都选择了植树，则他们被分到同一组的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．设，则S最接近的数是（　　）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
6．如图，，下列结论：①；②图中有两个余角；③若平分，则平分；④的平分线平分．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页？设第六天起平均每天至少要读页，则根据题意列不等式为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点顺时针旋转，使所得矩形的边与相切，边与相交于点，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．4
9．已知二次函数 图象上部分点的坐标 对应值列表如下， 则关于 的方程 的解是 ( )
0 500 2000
1 -1 1
A． B．
C． D．
10．如图，点E，F，G分别是正方形ABCD边AB，CD，DA上的点，且.连接EF并延长，交AD的延长线于点，设，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．下列算式中计算正确的有　 　（填序号）．
①，②，
③，④．
12．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
13．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　 　．
14．《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知．
（1）四边形的外接圆半径为　 　．
（2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为　 　．
15．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为　 　．
16．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则；③连接，，若，则；④．其中一定正确的是　 　．（填序号）
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算．
17．（1） 先化简， 再求值： ， 其中 ， ．
（2） 已知 ， 求代数式 的值．
18．如图，已知，，点D在边上，相交于点O．，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．某校九年级（1）班为了了解本班同学的体育训练情况，全班同学进行了一次中考体育模拟考试，并对全班同学的体育模拟考试成绩进行了统计，将数据整理后得到下列不完整的统计图表，根据图表中的信息解答下列问题：
组别 分数段 人数
（1）九年级（1）班共有 　　名学生，表中的＝　　；
（2）写出该班学生的中考体育模拟考试成绩的中位数所落的分数段是第 　　组（填组别）；
（3）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数是 　　；
（4）组的三名同学的成绩分别是：，这组数据的方差为 　　；
（5）该校九年级有学生人，请估计成绩未达到分的有 　　人．
20．如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留）
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）求弧的长．
21．宿迁市桃树栽培历史悠久，素有“夭桃千顷、翠柳万行”的美誉.小李家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当桃园总产量为7000千克时，求x的值；
（3）如果增种的桃树x（棵）满足：，请你写出桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，并帮小李计算，桃园的总产量最多是多少千克？
22．已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．
作法：如图，①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点；
②作直线交于点，与分别交于点；
③连接．
所以四边形就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵，
∴是的垂直平分线（　　）（填推理根据）．
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∴ ▲ ．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形（　　）（填推理根据）．
又∵，
∴四边形是菱形（　　）（填推理根据）．
23．综合与实践
如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF的一点，且．
（1）探究发现：点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．
（2）深入探究：老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．
①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求FG的长．
②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若，，，求的值．
24．如图 1，Rt 中， ，以 为直径的 交 于点 ， 是 的中点，连结 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）如图 2，过点 作 的平行线交 于点 ．
①求 的长；
②如图 3，点 在线段 上，连结 交并延长交 于点 ，当 时，求 的值．
答案解析部分
1．B
2．C
解：
故答案为：C.
根据科学记数法通常形式为，其中 是一个不小于1但小于10的实数， 是一个整数，据此即可求解.
3．A
解：由上向下观察物体得到的视图是A选项，所以它的俯视图是A选项．
故选：A．
本题考查几何体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此作答，即可得到答案.
4．B
解：植树小组的人数为：（45+5）×8%＝4（人），
把小哲和小涵分别记为A、B，其他2人分别记为C、D，
画树状图如下：
由图知：共有12种等可能1结果，其中小哲和小涵被分到同一组的结果有4种，
∴他们被分到同一组的概率是P=，
故答案为：B．
根据题意画出树状图，由图知共有12种等可能的结果，其中小哲和小涵被分到同一组的结果有4种，然后再由概率公式求解即可解答．
5．B
6．B
解：①∵，
∴，，
∴；故①不符合题意．
②∵，
∴，
∴有两个余角；故②符合题意；
③∵，平分，
∴，；
∴；
∴平分，故③符合题意．
④∵，（已证）；
∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④符合题意．
故选：B．
此题主要考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的含义，根据，由余角的含义，可得判定①不符合题意，②符合题意，再由平分，结合角平分线的定义，可判定③符合题意，结合角的和差运算，证得的平分线与的平分线是同一条射线，可得判定④符合题意．
7．A
解：设第六天起平均每天至少要读x页，由题意得：100+5x≥400.
故答案为：A.
由题意得不等关系：100页+后五天读的页数不少于400，根据不等关系即可列出不等式.
8．D
9．D
由表格可知， 和 时对应的函数值都是1
∴二次函数 的对称轴是直线
∴当 和 时，
又当 时， 即
∵当 时， 即 整理， 得
则方程 的解是 ，
故答案为： D.
根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到 和 时对应的函数值都是1，再将 代入函数解析式，整理可以得到方程( 从而可以得到该方程的解.
10．D
解：如图，作，
，
设，
四边形是正方形，
，
，四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
设，利用AAS判定，进而求得，，再通过直角三角形的性质得到，然后进行公式变形求得.
11．②③
12．
解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：
根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意即可求解。
13．
14．；
15．或或
16．①②④
17．（1）解：
=
=
，
（2）解：
=
=
=
(1)利用平方差公式，整式的混合运算化简为，然后代数求值即可；
（2）利用完全平方公式，整式的混合运算化简为，由题意，即可得到答案.
18．（1）证明：∵，，，
∴
又∵，，
∴
（2）解：由（1）知，
∴
∴
∵
∴．
（1）根据平角概念和三角形形的内角和定理证得．即可利用AAS证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得再根据等腰三角形的性质，即可求解．
（1）证明一：∵，且，
∴
又∵，
∴
证明二：∵，
∴
∵，
∴
∴
即
又∵
∴
（2）解：由（1）知，
∴
∴
∵
∴．
19．（1），
（2）D
（3）
（4）
（5）
20．（1）20米
（2）米
21．（1）解：设，代入，，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得，，
解得，，
∴x的值为20或60.
（3）解：，
∵，，
∴当时，W的最大值为7200.
答：桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是7200千克.
（1）设y=kx+b，将（12，74）、（28，66）代入求出k、b的值，进而可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据棵数×每棵的产量=总产量可得关于x的一元二次方程，求解即可；
（3）根据棵数×每棵的产量=总产量可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
22．（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）证明：连接，
，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
（1）根据作图-垂直平分线结合题意即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质结合平行线的判定、菱形的判定即可求解。
23．（1）解：因为矩形ABCD，所以，，
因为，所以四边形EBCF是平行四边形，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
所以．
所以点点发现的结论正确．
（2）解：①在中，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为四边形EBCF是平行四边形，所以，
因为，所以，所以，
过点H作，因为，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
因为，，所以，
因为，所以，所以，
易证四边形HBGF是矩形，所以．
②连结DP，在中，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，，
因为，，所以，
易证，所以，，
所以．
（1）根据矩形的对边平行且相等可得AD∥BC，AD=BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等可得EF∥BC，EF=BC，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等可得∠HEF=∠BCG，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等即可证明；
（2）①根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到CP=DP=FP，根据等边对等角可得∠PFD=∠FDP，根据两直线平行，内错角相等可得∠HED=∠PFD，推得∠HED=∠HDE，根据等角对等边可得HE=HD，过点H作HT⊥ED，根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得ET=DT=2，TF=4，根据等角的余角相等可得∠HEF=∠FHT，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得HT和HE的值，根据内错角相等，两直线平行可得HT∥AB，根据平行线截取线段成比例可得HE=BE，求得HB的值，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，矩形的对边相等即可求解；
②连结DP，根据等边对等角可得∠PDC=∠PCD，推得∠EDP=∠BCF，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得DE和AE的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出BE的值，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得HE和HF的值，根据锐角三角函数的定义即可求解.
24．（1）证明： 以AB为直径的⊙O交AC于点D， M是BC的中点， 如图1， 连接OD、BD、OM，
∵OD是⊙O的半径，
∴MD是⊙O的切线；
（2）①解：在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， AB=20，BC =15， 如图2， 连结BD，
由勾股定理得： 而
解得CD=9.
∵BE∥DM，
∴∠CDM=∠CEB，
由 (1) 可知DM=CM，
∴∠C =∠CDM，
∴∠C =∠CEB，
∴BE=BC=15.
②解：过点D作. 于H， 连结BD， AQ，
在 中，
连结AQ，
(1)连接OD、BD、OM， 利用圆周角定理， 直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到 再利用等量代换得到 ，即可证明MD是⊙O的切线；
(2)①连结BD，利用勾股定理求出AC，利用解直角三角形得到CD， 由 (1)可知. 结合等腰三角形性质和等量代换得到. 再结合等腰三角形性质得到CE，最后根据 求解，即可解题；
②过点D作于H，连结BD，结合题意得到EP，利用解直角三角形得到DH，EH，进而得到PH， DP， 连结AQ， 证明 利用相似三角形性质求解，即可解题.

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