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第二十七章《 圆与正多边形》 单元复习题
一、单选题
1．在 ABC中，，，，点在 ABC内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
2．在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ）
A．点在上 B．与内切
C．与有两个公共点 D．直线与相切
3．已知：在 ABC中，，则BC的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个
4．已知在 ABC中，，，如果以A为圆心r为半径的和以为直径的相交，那么r的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在梯形中，，，，，如果以CD为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，对角线与BD相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线AD相交、与直线CD相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，AB是圆O的直径，＝＝，AC与OD交于点E．如果AC＝3，那么DE的长为 ．
8．在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为 cm．
9．如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ．
10．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为 ．
11．如图，弧所在的⊙的半径长为5，正三角形的顶点、分别在半径、上，点在弧上，．如果，那么这个正三角形的边长为 ．
12．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．
13．如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为 ．
14．如图，∠MON=, P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r 的取值范围是 .
15．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是 ．
16．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
17．如图，等边 ABC的边长为6，点在边上，，线段在边上运动，且，有下列结论：
①与可能相似；
②以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆，可能内切；
③以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆，可能外切．其中，所有正确结论的序号为 ．
18．如图，已知在 ABC中，，，动点N从点C出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M从点A出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），以M为圆心，长为半径的与的另一个交点为点D，连接，当与线段只有一个公共点时，t的取值范围是 ．

三、解答题
19．如图，已知经过 ABC顶点A、B，交边于点D，交边于点E．
(1)如果，求证：．
(2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径．
20．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6．
求：
(1)弦AC的长度；
(2)四边形ACO1O2的面积．
21．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，，
(1)求：的长度
(2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离
22．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长
23．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且．
(1)当点P的坐标为时，求这个抛物线的表达式；
(2)抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数a与n之间的数量关系；
(3)以点P为圆心，为半径作，与直线相交于点M、N．当点P在直线上时，用含a的代数式表示的长．
24．已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线与射线相交于点．设，，
(1)求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；
(2)当为直角三角形时，求的长；
(3)如果，求的长．
25．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)若 ABC是“近直角三角形”，，，则______度；
(2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．
【解析】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切，
圆含在圆内，即，
在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为，
，
圆与圆相交，
故选：B．
2．D
【分析】首先利用勾股定理解得，然后根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，逐项分析判断即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵，的半径为5，
∴点在上，选项A正确，不符合题意；
∵的半径分别为5、10，且，
∴与内切，选项B正确，不符合题意；
∵，
∴与相交，有两个公共点，选项C正确，不符合题意；
如下图，过点作于点，
∵，
∴，解得，
∵，
∴直线与相交，选项D错误，符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】如图， 过作于，再利用特殊角的三角函数值求解的长度，再以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置，从而可得答案．
【解析】解：如图， 过作于，
∴，
∵，
∴以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置，
∴的值有两个．
故选B．
4．C
【分析】首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系求解．
【解析】解：如图，由题意得：，
，
由勾股定理得：，
设的半径为，
根据两圆相交得：
，
解答：，
故选：C．
5．D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
【解析】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E，
连接，则，，
又∵，
∴此时．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴，
∴，
∴直线要和圆相交，则．
故选D．
6．C
【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解．
【解析】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作，
∵矩形中，对角线与相交于点，，．
∴，，，，
∴
∴，
则；

当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，

则
则
∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，，
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】根据，可得∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，再根据含30度角的直角三角形即可求出结果．
【解析】解：∵，
∴∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，
∴∠A＝30°，
∴OE＝AE tan30°＝，
∴OA＝OD＝2OE＝，
∴DE＝OD﹣OE＝．
故答案为：．
8．7或17
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF-OE=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AF=12cm，CE=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=12cm，OF=5cm，
∴EF=OF+OE=17cm．
故答案为：7或17．
9．1.5或4.5
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为和，且，圆心距为；外离；外切；相交；内切；内含．
根据两圆内切时圆心距两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．
【解析】解：设半径是，根据题意，
分两种情况：
如图1，，，
，
，
解得；
如图2，，，
，
，
解得．
故答案为1.5或4.5．
10．
【分析】连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知是等边三角形，从而可以证得CD∥AB，所以和的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．
【解析】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】如图，连接OC，设正三角形ABC的边长是x，证明根据勾股定理求出在Rt△ABO中，，得出方程解方程可得答案．
【解析】解：如图，连接OC，
设正三角形ABC的边长是x，
∵∠EOF=∠CAB=60°，AB⊥OF，⊙的半径长为5，
∴
∴
在Rt△ABO中，
（负根舍去）
故答案为：．
12．
【分析】如图，与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，数形结合求出图形中的长，进而得到两圆心的坐标．
【解析】解：画出图如图所示：
点的坐标为过点的直线与平行并过点，
过点的直线与平行，
过点的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，，
如图，，都是等腰直角三角形，，
，
，
故答案为：．
13．或
【分析】根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的的半径r的取值范围的临界值并求解即可；
【解析】解：在中，为边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴边的高，
∵与中线有且只有一个公共点，
∴的半径的取值范围为或．
故答案为：或．
14．
15．
【分析】过点A作AE⊥O1B于E，由锐角三角函数和勾股定理可求AO1=13x=，可求O2H=1，即可求解．
【解析】解：如图，过点A作AE⊥O1B于E，
∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，
∴O1O2垂直平分AB，
∴AH＝BH＝2，
∵sin∠AO1B＝，
∴设AE＝12x，AO1＝13x，
∴O1E＝＝5x，
∴BE＝8x，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴144x2+64x2＝16，
∴x＝，
∴AO1＝13x＝，
∴O1H＝＝，
∴O2H＝1，
∴O2A＝＝，
故答案为．
16．或
【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【解析】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
17．①②
【分析】本题考查圆的位置关系，根据题意，作出图形，数形结合，分情况讨论求解即可得到答案，熟记圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．
【解析】解：在等边 ABC中，，
若，则，故①正确；
如图所示：
若，则以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆内切，故②正确；
如图所示：
若，
当重合时，在中，，则，即，
，
以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆，不可能外切，故③错误；
综上所述，①②正确，
故答案为：①②．
18．或
【分析】先由勾股定理求出，分两种情况：①当与相切时，证明，得出，求出，得出即可；②恰好过点时，证明，再证明，得出，求出，再由，得出即可．
【解析】解：∵，，
∴，
当与线段只有一个公共点时，分两种情况：
①点从运动开始一直到与相切时：
当与相切时，则，
由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
∴当时，与只有一个交点；
②当恰好过点时，如图，连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴当时，满足题意；
综上所述，t的取值范围为或；
故答案为或．
三、解答题
19．（1）证明：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，连接并延长交于，连接，
∵点A是弧的中点，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
设的半径为，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的半径为5．
20．（1）解：连接，过作于点D，设AB与交于点E，如图
由圆的对称性知：，
在中，由勾股定理得：
∵，AC∥O1O2
∴
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形，且AD=CD
∴，
∴AC=2AD=8
（2）解：在中，由勾股定理得：
∴
∴，
∴四边形ACO1O2的面积为：
21．（1）解：过点G作，交于点M．连接．
由题意可得：，，
∴．
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N．
由垂径定理，得，
∴．
∴．
∵，，且，
∴，
∴，即，
解得．
∴．
∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为．
22．（1）证明：如图，连接，过点作于，
∵为的切线，点为切点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：连接，并反向延长交于，连接，
∵为的切线，点为切点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设的半径为，则，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：依题意，是等腰直角三角形，
当点P的坐标为时，则抛物线的对称轴为直线，
如图所示，过点作轴于点，
∴
∴，
将代入
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且，
∴是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴
代入
∴
即，
∵抛物线的顶点在第一象限，则
∴；
（3）∵在上
∴，即，
由（2）可得，即，
∴抛物线解析式为
∵与直线相交于点M、N．设直线交轴于点，交轴于点，
当时，，则，当时，，则，
∴，则是等腰直角三角形，，
∵是等腰直角三角形，则，
∴，
延长交于点，则，连接，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
24．（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H，
∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=，
∴，，
∵在Rt△ODB中，，OB=3 ，
∴OD=，
∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∵∠ECO＝∠BOC，
∴∠CEO=∠BOC，
又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB
∴△ODB≌△EHO
∴EH=OD ，
∴，
∴ 函数定义域为（0＜＜6）
（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：
①若∠OFE＝90 ，则∠COF＝∠OCF＝45
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=45°
又∵OA=OB
∴∠OAB= ∠ABO=45°，
∴∠AOB=90°
∴△OAB是等腰直角三角形
∴
②若∠EOF＝90 ，
则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=60°
又∵OA=OB
∴△OAB是等边三角形
∴AB=OB=3
（3）①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CE–CF＝．
②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CF–CE＝．
25．（1）解：不可能是或，
当时，，，不成立；
故，，，则，
故答案为20；
（2）存在，理由：
在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”，
，，则，
则，
设，则，
∴，
∴，
∵，
则，
即，即，解得：，
则；
（3）①如图2所示，当时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，则，
，
过点作于点，
设，则，
则，即，解得：；
，则，
则；
②如图3所示，当时，
过点作交于点，交于点，
∵ =，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点），
∴，
，，
，
∴，
则，
则，则（圆的半径），
∵点是的中点，G为中点，
∴，
在 BGH中，，
在中，，，，
，，
，
，
综上，的值为或．

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