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第一章 整式的乘除
1 幂的乘除（第4课时）
2025年北师大版七年级数学下册教学课件★★
义务教育教科书 数学 七年级下册
学习目标
1.能类比同底数幂乘法性质的学习过程，根据乘方的意义，通过观察、猜想、
归纳、概括得到同底数幂除法的运算性质，体会从特殊到一般的数学思想，
发展抽象能力和推理能力。
2.掌握同底数幂除法的运算性质，会进行同底数幂的除法运算，并解决一些简
单的实际问题，发展运算能力。
3.了解零指数幂和负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值小于1的数，
体会数学在生活中的应用。
知识回顾，结构关联
1.同底数幂的乘法运算法则：
am ·an
=
am+n
（m，n都是正整数）
2.幂的乘方运算法则:
(am)n = (m，n都是正整数)
amn
(ab)n =
anbn
（n是正整数）
3.积的乘方运算法则:
对于幂的运算，我们再研究什么呢？
创设情境，提出问题
一种液体每升含有1012个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死109个此种细菌。要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴？
1012÷109
这个算式是哪种运算？具有怎样的特征？
创设情境，提出问题
你能再举几个类似的算式吗？
我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式。所以我们把 1012÷109 这种运算叫作同底数幂的除法。
你是怎样计算的？依据是什么？
创设情境，提出问题
利用除法是乘法的逆运算：
1012÷109＝（ ？）；也就是109×（？ ）＝1012 。
先逆用同底数幂的乘法再进行约分来计算：
10×···×10
＝ ——————————
10×10×10×10×···×10
12个10
＝10×10×10
＝103 。
1012÷109
9个10
乘方的意义：
1012÷109＝（109×103）÷109＝
————
109×103
109
＝103
＝1000。
自主探究，归纳概括
1.计算下列各式，并说明理由(m，n都是正整数，且m>n)。
(1)1012÷109； (2)10m÷10n； (3)(-3)m÷(-3)n。
尝试·思考
＝10m-n
＝10×10×…×10
(m-n)个10
m个10
n个10
=(-3)m-n
m个(-3)
n个(-3)
(m-n)个(-3)
=(-3)×(-3)× …× (-3)
自主探究，归纳概括
2.如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么？你是怎么得到的？
am ÷ an ＝
m个a
————
a·a·…·a
n个a
a·a·…·a
(m-n)个a
＝a·a·…·a＝am-n 。
尝试·思考
自主探究，归纳概括
同底数幂相除，底数 ，指数 。
不变
相减
am ÷ an =am-n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）。
同底数幂的除法：
尝试·思考
自主探究，概括归纳
例5 计算：
(1)a7÷a4；(2)(-x)6÷(-x)3；(3)(xy)4÷(xy)；(4)b2m+2÷b2。
解：
(1) a7÷a4 = a7-4
= a3；
= (-x)3
(2) (-x)6÷(-x)3 =(-x)6-3
=－x3；
(3) (xy)4÷(xy)= (xy)4-1
＝(xy)3
＝ x3y3；
(4) b2m+2÷b2
= b2m+2-2
=b2m。
m可以等于0吗？
同底数幂除法运算中，幂的底数必须相同，底数可以是不为0的数字、字母、代数式。
拓展探究，深化应用
(1)计算：23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5。
解: 23÷23＝1；
a3÷a3＝1；
思考·交流
23÷25 ；
a3÷a5 。
拓展探究，深化应用
（2）要使得当m＝n或m < n时，am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数）仍然成立，那么（1）中各式的结果用幂的形式又该如何表示？
23÷23＝20
23÷25＝23-5＝2-2
a3÷a3＝a0
a3÷a5＝a3-5＝a-2
＝1
＝1
（3）比较（1）（2）各式的对应结果，你有什么发现？与同伴进行交流。
思考·交流
拓展探究，深化应用
我们规定:
思考：有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的 m，n 还必须是正整数吗？
用a-p表示ap的倒数
已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的 m，n 就从正整数扩大到全体整数了，即
am·an = am＋n，am÷an =am-n（a≠0，m，n 都是整数）。
思考·交流
a0=1(a≠0)，a-p= (a≠0，p是正整数)。
拓展探究，深化应用
例6 用小数或分数表示下列各数：
（1）10-3； （2）70×8-2； （3）1.6×10-4 。
解：（1）10-3= ；
（2）70×8-2= ；
（3）1.6×104= 。
拓展探究，深化应用
有的细胞直径只有1微米（μm），即0.000001m；
某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），即0.000000001s；
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg。
你能用负指数表示这些数吗？
10的负指数与0的个数有什么关系呢？
尝试·思考
0.000001 ，
0.000000001 ，
0.00000000000000000000000002657 。
拓展探究，深化应用
观察
0.000001＝ ；
10-6
0.000000001＝ 。
10-9
尝试·思考
包含小数点前面的0
0.1 ；
10-1
0.01 ；
10-2
0.001 ；
…
10-3
归纳
0.0…01＝
n个0
＝10-n。
拓展探究，深化应用
用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是负整数），可以很方便地表示一些绝对值较小的数。
尝试·思考
0.000001
6个0
0.000000001
9个0
0.00000000000000000000000002657
26个0
拓展探究，深化应用
一个小于1的正数可以表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是负整数。
例如，0.000001 ＝1×10-6。
思考：大于-1的负数可以用科学记数法表示吗？
例如，-0.00000256，能否用科学记数法表示呢？
注意：大于-1的负数也可以用科学记数法表示，只是多一个负号，记作
-a×10n。其中1≤a＜10，n是负整数。
-0.00000256＝2.56×0.000001＝-2.56×10-6 。
拓展探究，深化应用
a和n值的确定：
(1)a的确定方法：整数部分只含一位的数（即1≤a＜10）；
(2)n的确定方法：n由原数左起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定（特别注意：包括小数点前面这个零）。
总结反思 ，知识重构
1.幂的乘除运算包括哪些内容？说说它们之间联系与区别。
2.回顾探索幂的乘除运算的学习，你是怎样得到这些运算性质的？
3.请用自己的方式梳理幂的乘除运算。
总结反思，知识重构
幂的乘除运算
乘法
乘方
除法
同底数幂的乘法
am·an
=
am+n
（m，n都是整数）
积的乘方
(ab)n =
anbn
（n是正整数）
幂的乘方
(am)n= (m，n都是正整数)
amn
同底数幂的除法
am ÷ an =am-n（a≠0，m，n都是整数）
因材施教，分层作业
必做题：习题1.1第7，8，9，12题。
挑战题：已知 ax＝-2，ay＝3，求a3x-2y的值。
谢谢

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