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4.2平行四边形及其性质
你知道遮阳蓬的伸缩架为什么采用平行四边形的结构吗
小学四年级我们就学过,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号” ”表示.如图,平行四边形ABCD可记作” ABCD ”
A
D
C
B
合作学习
用两块相同的三角板拼一个平行四边形.讨论下面的问题:
(1)怎么拼能拼出一个平行四边形 你能拼出多少个形状不同的平行四边形
(2)怎么证明你拼出的四边形是平行四边形
(3)通过上述活动,你发现平行四边形有哪些性质 你能证明这些性质吗
平行四边形有以下性质定理:
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对边相等.
已知四边形ABCD是平行四边形,
求证∠A= ∠C, ∠ABC= ∠CDA;
AB=CD,BC=DA.
A
C
B
D
解:连结BD,
在四边形ABCD中,AB∥CD(平行四边形的定义)
∴∠ABD=∠CDB.
同理∠ADB=∠CBD
又∵BD=DB
∴△ABD≌△CDB
∴AB=CD,BC=DA,∠A=∠C.
同理可得, ∠ABC=∠CDA.
例1. 已知,如图:E,F分别是 ABCD的边AD,BC上的点,且AF∥CE.
求证:DE∥BF,∠BAF=∠DCE.
B
D
C
A
F
E
证明:如图,在 ABCD中,AD∥BC,AD=CB(平行四边形对边相等)
∵ AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形.(平行四边形的定义)
∴AE=CF(平行四边形对边相等)
∴AD-AE=CB-CF,即DE=BF
∵∠BAD=∠DCB,∠EAF=∠FCE.(平行四边形的对角相等)
∴ ∠BAD- ∠EAF =∠DCB- ∠FCE,
即∠BAF=∠DCE.
想一想:你还有其他的证明方法吗
与三角形具有稳定性相反,四边形具有不稳定性的特点.
如下图,这三个平行四边形的边长都对应相等,但他们的形状却各不相同.
平行四边形的不稳定性有哪些应用
衣帽架.伸缩门,可伸缩的遮阳蓬等.
如图: 已知直线,任意画两条夹在直线和之间的平行线段,并比较他们的长短.你发现了什么 你能证明自己的发现吗
如果任意画两条夹在直线,与直线, 垂直的线段呢
一般地,平行线有下面的性质定理:
夹在两条平行线间的平行线段相等.
根据这个性质定理有如下推论:
夹在两条平行线间的垂线段相等.
如图:直线AB平行CD,则AB=CD
C
B
A
D
如图: 直线EF=GH
G
F
E
H
∟
∟
如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.
如图2,线段EF(或GH)的长就是平行线的距离.
例2 如图,放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形,腰长为1.4m,现要将这个立柜搬过宽为1.2m的通道,能通过吗
解:因为腰长1.4m大于通道宽1.2m,所以在搬这个立柜时,如果沿立柜的上、下底面任一直角边方向平移,都不能通过.
如图:作立柜底面三角形ABC斜边上的高线CD.
∵AC=BC=1.4,
∴
∵CD⊥AB
∴CD是AB边上的中线,
∴
∵即CD的长小于通道的宽,
∴使AB边平行通道两边来平移立柜就可以通过.
D
A
C
B
任意画一个平行四边形,连结它的两条对角线,你发现了什么 你能证明你的结论吗
问题导入
平行四边形有如下性质:
平行四边形的对角线互相平分.
已知:在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,求证:OA=OC,OB=OD.
证明:如图,在 ABCD,AD∥BC(平行四边形的定义)
∴∠1=∠2, ∠3=∠4.
又∵AD=CB(平行四边形对边相等)
∴△AOD≌△COB.
∴ OA=OC,OB=OD.
例3 已知:如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E、F,求证:OE=OF.
证明:如图,在平行四边形ABCDZ中,AB//CD(平行四边形的定义)
∴∠1=∠2.
又∵OA=OC(平行四边形的对角线互相平分) ∠3=∠4.
∴△AOF≌△COE.
∴OE=OF.
例4 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点E,AC⊥BC.若AC=4,AB=5,求BD的长.
分析:如图,因为平行四边形的两条对角线互相平分,所以要求BD的长,只需求出BE的长.在Rt△ABC中,AB,AC长已知,可求得 BC的长,又CE=AC,则BE可求.
请你完成求解过程,并且想一想是否还有其他的解法
BD=( )
随堂练习
∴△ABC是直角三角形
又∵AC⊥BC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=8，CD=AB=10
∵OA=OC
根据勾股定理，得
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积.
∴S ABCD = BC×AC=8×6=48
随堂练习
2.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 _________.
3.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,且 AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______.
5
随堂练习
4.平行四边形的周长是18cm,两邻边相差是1cm,求它的各边长.
4cm,4cm,5cm.5cm
5.如果一个平行四边形顺次三边的长度分别为那么这个平行四边形的周长是多少
解: ∵平行四边形顺次三边的长度分别为
∴ = .解得
∴边长分别为10,10,5,5.周长就是30.
6.平行四边形的一边等于14cm,它的对角线可能的取值是( )
A.8cm或16cm B.10cm或16cm
C.12cm或16cm D.20cm或22cm
D
随堂练习
7.如图,在 ABCD中,E为AD的中点,CE,BA的延长线交于点F.
(1)求证:AB=AF
(2)若BC=2AB,∠FBC=70°,求∠EBC的度数.
解(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,DC∥AB ,∴∠ECD=∠EFA.
∵DE=AE,∠DCE=∠AEF,∴△DCE≌△AEF,∴DC=AF,AB=AF
(2)∵BC=2AB,AB=AF
∴BC=BF
∴△FBC为等腰三角形
再由△DEC≌△AEF,得EC=EF.
∴∠EBC=∠EBF=CBF=
随堂练习
8.如图,在 ABCD中,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,若∠A=55°,求∠EDF的度数.
解: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC//AB
∴∠B=180°-55°=125°.
在四边形DEBF中,内角和为360°.
又∵ DE⊥AB, DF⊥BC
∴∠DEB=∠DFB=90°.
∴∠EDF=360°- ∠DEB-∠DFB-∠B.
∴∠EDF=55°.
9.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上.
(1)若AB=10cm,AB与CD间距离为8,AE=EB,BF=FC,求△DEF的面积.
解(1)∵AB=10,AB与CD间距离为8,∴S□ABCD=80,∵AE=BE,BF=CF,
∴S△AED= S□ ABCD,S△BEF=□ ABCD,S△DCF=,
∴S△DEF=S□ABCD-S△BEF-S△DCF=
(2)设AB=x, AB到CD之间的距离为y,由知点F到CD的距离为
则点F到AB的距离为 ∴ ∴
解得,所以∴
(2)若△ADE, △BEF, △CDF的面积分别为5,3,4.求△DEF的面积.
9.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上.

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