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4 利用三角形全等测距离 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1. 理解用三角形全等测距离的原理及依据.
2. 能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.
【学习过程】
任务一：利用三角形的全等测距离
问题1:阅读完智慧炸碉堡的故事后，请完成下列问题：
(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？
答：___________________.
(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不动，保证了视线和身体的_____不变.
(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即_________.
(4)测量的原理是：构造了_______________.
【方法归纳】
(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对应边相等.
(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段.
【即时测评】
如图1所示，理由是：
在△ACB与△ACD中，
∠BAC=_______
AC=AC（公共边）
∠ACB=______ =90°
所以△ACB≌△ACD（_______）
所以BC= DC（____________________________________）
评价任务一
得分：
任务二：利用三角形的全等解决实际问题
问题2:A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？画出设计图形．并说明理由.
解：方法一：(延长全等法)
先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，测得的DE的长度就是A，B间的距离．
理由：在△ABC和△DEC中，
因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
所以△ACB≌△DCE( )，
所以AB＝DE(全等三角形的对应边相等)．
方法二：(垂直全等法)
先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点O，过O点作OB⊥AB，，并延长OB到D，使OD＝OB；过D点作CD⊥BD，连接AO并延长交CD于点C，测得的CD的长度就是A，B间的距离．
理由：在△ABO和△CDO中，
因为∠AOB＝∠COD，BO＝DO，∠ABO＝∠CDO，
所以△ABO≌△CDO( )．
所以AB＝CD(全等三角形的对应边相等).
方法三：如图，先作△ABD，再找一点 C，使 BC∥AD，并使 AD＝BC，连接 CD，量 CD 的长即得 AB 的长.
方法四：如图，找一点 D，使 AD⊥BD，延长 AD 至 C，使CD＝AD，连接 BC，量 BC 的长即得 AB 的长.
【即时测评】
1.如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径. 由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想法帮助他完成吗？
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1.如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使 CD = BC，再在 BF 的垂线 DE 上取点 E，使 A 、C、E 三点在同一条直线上，可以推出△EDC≌△ABC，从而得 ED = AB，因此，测得 ED 的长就是 AB 的长. 其中判定△EDC≌△ABC 的理由是 ( )
A. SSS B. ASA
C. AAS D. SAS
2. 山脚下有 A、B 两点，要测出 A、B 两点间的距离.在地上取一个可以直接到达 A、B 点的点 O，连接AO 并延长到 C，使 AO = CO；连接 BO 并延长到 D，使 BO = DO，连接 CD. 可以证△ABO≌△CDO，得CD = AB，因此，测得 CD 的长就是 AB 的长. 判定△ABO≌△CDO 的理由是 ( )
A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS
3. 如图，小明设计了一种测工件内径 AB 的卡钳，只要量得 CD 的长度，就可知工件的内径 AB 是否符合标准. 问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
A. AO = CO B. BO = DO C. AC = BD D. AO = CO 且 BO = DO
4. 如图，已知 AC = DB，AO = DO，CD = 100 m，则 A，B 两点间的距离 ( )
A. 大于 100 m B. 等于 100 m
C. 小于 100 m D. 无法确定
5. 如图，公园里有一条“Z”字型道路 ABCD，其中AB∥CD，在 AB，BC，CD 三段道路旁各有一只小石凳 E、M、F，M 恰为 BC 的中点，且 E，M，F 在同一直线上，在 BE 道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量 B，E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
参考答案
即时测评：
1.解：如图：连接CO、DO并延长，
截取AO＝CO，BO＝DO，
因为∠AOB＝∠COD，
所以△ABO≌△CDO（SAS）
所以CD＝AB，
测出AB的长即可知CD的长，
即可知容器的内径．
当堂训练
1.B
2.D
3.D
4.B
5.解：因为 AB∥CD，所以∠B =∠C.
在△BME 和△CMF 中，
因为∠B =∠C，BM = CM，∠BME =∠CMF，
所以△BME≌△CMF (ASA).
所以 BE = CF.
故只要测出 CF 的长即可得 B，E 之间的距离.
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4　利用三角形全等测距离
课标摘录 1.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。 2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 3.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。 5.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
教学目标 1.能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联系。 2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学重难点 重点:能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联系。 难点:能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学策略 本节课的教学中主要渗透以下几个方面的做法。一是创设问题情境,充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理。二是运用启发式教学方法,就是把教和学的各种方法综合起来运用于教学过程中。三是注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维。
情境导入 　　在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望。为了炸掉这个碉堡,需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,一名战士想出来这样一个办法:他面向碉堡的方向站好,调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上;接着,他用步测的方法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离。 活动要求: (1)按这名战士的方法,找出教室或操场上与你距离相等的两个点,并通过测量加以验证。 (2)你能解释其中的道理吗
新知初探 探究　利用三角形全等测距离 活动1:如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,你能帮小丽设计一个方案,解决此问题吗 (1)说出你的设计方案; (2)你能说明其中的道理吗 师生活动:学生独立思考,教师展示一种方案帮学生打开思路: 方案一:先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C,连接AC并延长到D,使AC=CD;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE并测量出它的长度,则DE的长度就是A,B间的距离。
教师追问1:同学们知道这其中的原理吗 教师追问2:你能说出每步的道理吗 学生代表回答并完善板书。 在△ABC和△DEC中,因为AC=DC(辅助线),∠ACB=∠DCE(对顶角相等),BC=EC(辅助线), 所以△ABC≌△DEC(SAS)。 所以AB=DE。(全等三角形的对应边相等) 教师给时间让学生们继续思考其他方案: 你能设计出其他的方案来吗 (构建全等三角形) 若学生没有想出别的方案,教师也可通过PPT展示方案二与学生讨论;若学生能想出不同方案,教师也可追问以下问题,让学生根据所想方案作答. 方案二 教师追问:已知条件是什么 结论又是什么 学生积极回答,教师整理:在△ABC与△DEC中,已知AB⊥BE,BC=CE,DE⊥BE,结论:AB=DE。 教师追问:你能说明设计方案的理由吗 学生积极发言:ASA,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 活动2:巩固提升 如图所示,工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积,需要测量其内径。现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺,你能想法帮助他完成吗 师生活动:学生独立思考,学生代表发言,教师通过PPT展示示意图并引导学生说出方法和理由,教师给予鼓励与评价。 意图说明 这也是一个比较古老的测量方法。教学时,教师可以先提出需要解决的问题,鼓励学生尝试进行解决,然后介绍方案一,鼓励学生通过观察图,思考这种方法的道理,并用自己的语言表达理由。启发学生多种方式思考,扩展学生思维方式,通过几个问题的回答,教会学生用数学的语言表述思路,提高学生表达能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 　　　　　　　　　利用三角形全等测距离 1.方案一　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.方案二 3.构造全等三角形方法: (1)延长法;　(2)垂直法
教学反思
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4 利用三角形全等测距离
第4章 三角形
【学习目标】
1. 理解用三角形全等测距离的原理及依据.
2. 能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
这位聪明的战士的方法如下：
步测距离
碉堡距离
从这位战士的做法中你能发现哪些相等的量？
智慧炸碉堡的故事
点击这里开始播放→
利用三角形全等测距离
A
C
B
D
？
你能用所学的数学知识说明 BC = DC 吗？
如何求未知线段？
途径：利用全等三角形的性质
关键：构造全等三角形
新知初探
贰
讲授新知
探究一：利用三角形全等测距离
贰
例 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，你能帮小丽设计一个方案，解决此问题吗？
1. 说出你的设计方案；
2. 你能用所学知识说明你的设计方案的
理由是什么吗？
先在地上取一个可以直接到达点 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 AC = CD；连接 BC 并延长到 E，使 CE = CB；连接 DE 并测量出它的长度，则 DE 的长度就是 A、B 间的距离.
C
D
E
·
·
·
B
A
·
·
方案一
你能说出其中的道理吗？
1. 你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形）
2. 已知条件是什么？结论又是什么？
3. 你能说明设计方案的理由吗？
B
A
·
·
C
D
E
在△ABC 与△DEC 中，已知 AB⊥BE，BC = CE，DE⊥BE，结论：AB = DE.
·
ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
方案二
·
方案三
1
2
理由：因为 AD∥CB，
所以∠1＝∠2.
在△ABD 与△CDB 中，
如图，先作△ABD，再找一点 C，使 BC∥AD，并使 AD＝BC，连接 CD，量 CD 的长即得 AB 的长.
C
D
∠1＝∠2，
因为AD＝CB，
BD＝DB，
所以△ABD≌△CDB (SAS).
所以 AB＝CD.
B
A
·
·
如图，找一点 D，使 AD⊥BD，延长 AD 至 C，使CD＝AD，连接 BC，量 BC 的长即得 AB 的长.
B
A
D
C
理由：如图，连接 AB. 因为 AD⊥BD，
所以∠ADB＝∠CDB＝90°.
在 Rt△ADB 与 Rt△CDB 中，
所以△ADB≌△CDB (SAS).
所以 BA＝BC.
因为BD＝BD，
∠ADB＝∠CDB，
AD＝CD，
方案四
D
C
B
A
即时测评
1.如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径. 由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想法帮助他完成吗？
解：如图：
连接CO、DO并延长，
截取AO＝CO，BO＝DO，
因为∠AOB＝∠COD，
所以△ABO≌△CDO（SAS）
所以CD＝AB，
测出AB的长即可知CD的长，
即可知容器的内径．
·
中点 O
A
B
C
D
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使 CD = BC，再在 BF 的垂线 DE 上取点 E，使 A 、C、E 三点在同一条直线上，可以推出△EDC≌△ABC，从而得 ED = AB，因此，测得 ED 的长就是 AB 的长. 其中判定△EDC≌△ABC 的理由是 ( )
A. SSS B. ASA
C. AAS D. SAS
B
A
D
C
E
F
●
●
B
2. 山脚下有 A、B 两点，要测出 A、B 两点间的距离.
在地上取一个可以直接到达 A、B 点的点 O，连接
AO 并延长到 C，使 AO = CO；连接 BO 并延长到 D，
使 BO = DO，连接 CD. 可以证△ABO≌△CDO，得
CD = AB，因此，测得 CD 的长就是 AB 的长. 判定
△ABO≌△CDO 的理由是 ( )
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. SAS
D
D
C
A
B
O
3. 如图，小明设计了一种测工件内径 AB 的卡钳，只要量得 CD 的长度，就可知工件的内径 AB 是否符合标准. 问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
A. AO = CO
B. BO = DO
C. AC = BD
D. AO = CO 且 BO = DO
O
D
C
B
A
D
4. 如图，已知 AC = DB，AO = DO，CD = 100 m，则 A，B 两点间的距离 ( )
A. 大于 100 m B. 等于 100 m
C. 小于 100 m D. 无法确定
B
5. 如图，公园里有一条“Z”字型道路 ABCD，其中AB∥CD，在 AB，BC，CD 三段道路旁各有一只小石凳 E、M、F，M 恰为 BC 的中点，且 E，M，F 在同一直线上，在 BE 道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量 B，E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
解：因为 AB∥CD，所以∠B =∠C.
在△BME 和△CMF 中，
因为∠B =∠C，BM = CM，∠BME =∠CMF，
所以△BME≌△CMF (ASA).
所以 BE = CF.
故只要测出 CF 的长即可得 B，E 之间的距离.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
1. 知识：
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测
距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2. 方法：
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
3. 数学思想：
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
课后作业
基础题：1.习题4.4第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.4第2,3题
谢
谢(共16张PPT)
4　利用三角形全等测距离
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
全等三角形的实际应用
(1)数学方法
转化法,即把难以测量或无法测量的线段(或角)转化为易测量的线段
(或角)。
(2)解决方法
构造全等三角形,得到线段相等或角相等,其依据是SSS,ASA,AAS,SAS。
(3)解决问题的步骤:画图,构造全等三角形;利用三角形全等说明对应边(或对应角)相等;得出结论。
课堂互动
知识点:构造全等三角形测距离
例1　如图所示,小明设计了一种测工件内径AB的卡钳,问:在卡钳的设计中,AO,BO,CO,DO应满足下列哪个条件( )
A.AO=CO
B.BO=DO
C.AC=BD
D.AO=CO且BO=DO
D
例2　如图所示为某公园的荷花池,现要测量此荷花池两旁A,B两棵树间的距离(不能直接测量),请你根据所学三角形全等的知识,设计一种测量方案求出AB的长(要求画出草图,写出测量方案和理由)。
解:如图所示,分别以点A,B为端点,作AQ,BP,使其相交于点C,并使得CP=CB,CQ=CA,连接PQ,测得PQ的长度即为AB的长度。
理由:由作图,知PC=BC,QC=AC,
又∠PCQ=∠BCA,
所以△PCQ≌△BCA(SAS),
所以AB=PQ。
基础题
1.(2024毕节金沙县期末)如图所示,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,依据是
( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.以上都不对
C
2.如图所示,太阳光线AC与A′C′是平行的,AB表示一棵塔松,A′B′表示电线杆,BC表示塔松的影长,B′C′表示电线杆的影长,且BC=
B′C′,已知电线杆高3 m,则塔松的高( )
A.大于3 m
B.等于3 m
C.小于3 m
D.和影子的长相同
B
3.“三月三,放风筝。”如图所示是小明制作的风筝,他根据DE=DF,
EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是　 　(用字母表示).
SSS
中档题
4.有一个小口瓶(如图所示),想知道它的内径是多少,但是尺子不能伸到里边直接测,于是拿两根长度相同的细木条,把两根细木条的中点固定在一起,木条可以绕中点转动,这样只要量出AB的长,就可以知道玻璃瓶的内径是多少,那么△OAB≌△ODC的理由是( )
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.角角边
A
5.(2024贵阳月考)在学习了“利用三角形全等测距离”之后,七(1)班数学实践活动中,杨老师让同学们测量池塘两端A,B之间的距离(无法直接测量)。小涵设计的方案是:如图所示,先在地上取一个可以直接到达A点的D点,取AD的中点C,连接BC并延长到E,使CB=CE,连接ED,则ED的长度即为AB的长度。
(1)你同意小涵的做法吗 说明理由。
解:(1)同意。理由如下:
因为点C是AD的中点,
所以AC=CD。
在△ACB与△DCE中,
AC=CD,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ACB≌△DCE(SAS)。
所以AB=DE。
(2)若DE=20 m,求池塘两端A,B之间的距离。
解:(2)由(1)知AB=DE。
因为DE=20 m,
所以AB=20 m。
所以池塘两端A,B之间的距离是20 m。
素养题
6.(抽象能力、推理能力)如图所示,小刚站在河边的A点处,在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处,接着再向前走了20步到达D处,然后他左转90°直行,当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时,他共走了100步。
(1)根据题意,画出示意图;
解:(1)所画示意图如下:
(2)如果小刚一步大约50 cm,估计小刚在点A处时与电线塔的距离,并说明理由。
解:(2)由(1),知在△ACB与△DCE中,
∠A=∠D=90°,AC=DC,∠ACB=∠DCE,
所以△ABC≌△DEC(SAS)。所以AB=DE。
因为小刚共走了100步,其中AD走了40步,所以小刚走完DE用了60步。
因为一步大约50 cm,所以DE=60×50=3 000(cm)=30(m)。所以AB=30 m。
所以小刚在点A处时与电线塔的距离是30 m。

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