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第1章 《三角形的证明》章节测试卷
一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)
1．如图，在中，，点，分别在，边上，，，则的度数为( )

A． B． C． D．
2．如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是( )
A． B． C． D．
3．如图，中，，D为底边的中点，，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
4．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，垂足分别是、、，，，，则的面积是(　　)
A．48 B． C．96 D．
5．如图，在中，，点E在的延长线上，，垂足为F，与交于点O，若，则的长为(　　)
A．12 B．11 C．9 D．7
6.如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为( )
A． B． C． D．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是( )

A．的面积为10 B．
C． D．点到直线的距离是2
8．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为( )
A． B．8 C． D．9
9．在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是(　　)
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(　　)个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
11．如图，在中，平分，于点D．若，则的度数是 ．
12．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，顶点A，B，C，D的坐标分别为，点E在x轴上，点P在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的P点坐标为 ．
14．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝ ．
16.如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形．
(1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有 个．
(2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC= ．
三．解答题(共7小题，满分52分)
17．如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1)求证：△ABH≌△DEG；
(2)求证：CE＝FB．
18．如图，在中，，D为的中点，于点E，于点F，且，连接，点G在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
19．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
(1)四边形的面积；
(2)点D到的距离．
20．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
(1)在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形；
(2)在图2中画出一个面积为13的格点正方形；
(3)在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段；
(4)在图4中画出一个周长为的格点直角三角形．
21．如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结．
(1)当秒时，求的长度；
(2)当为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D做于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
22．在等边中，动点在上，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当点是中点时，求证：．
(2)当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由．
(3)点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长．
23．【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
(1)在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值______；
(2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的性质． 设，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次表示出，，，然后利用三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
故选D．
2．B
【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．
【详解】解：，
A、，满足的条件，能证明，不符合题意；
B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；
C、，得到，满足，能证明，不符合题意；
D、，得到，满足，能证明，不符合题意，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，得出，说明当、O、D三点共线时，最小，即最小，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵，D为底边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当、O、D三点共线时，最小，即最小，且最小值为．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，得出是解答此题的关键．先连接、、，过点作于，根据得出，由直角三角形的性质可得出的值，进而可得出的面积．
【详解】解：连接、、，过点作于，
∵是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．由题意知，则，，，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作于，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】求出，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解：，，，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点到直线的距离是，
，
，
，
点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
8．D
【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证明，推出；设，证明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案．
【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，
∵在三角形，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
设∠BFE=x，则，
∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，
∴AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，
∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK(SAS)，
，，
∴，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵，
∴，
∴，
故选D．
9．B
【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上(不与、重合)，，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解．
【详解】解：设中点为，
如图，当与重合时，
此时
由折叠得，
，
为等边三角形，
，
，
，
在的左侧，
①如图，当在线段上(不与、重合)

，
由折叠得，
，
，
，
，
，
②如图，当与重合时

此时，
；
③如图，在的延长线上时，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述：，
；
故选：B.
10．A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，利用证明，，再证明是等腰直角三角形，即可判断结论①②③正确；过点作于点，则，可利用证明，即可判断结论④正确；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故①②③正确；
如图1， 过点作于点，则，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
故④正确；
故选：A．
二．填空题
11．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据等边对等角可得，根据可得，通过等量代换即可求解．
【详解】解： 平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．6或12
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
【详解】解：①当时，
∵，
在与中，
∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
13．或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理．分情况讨论是解题的关键．
由题意知，分为底，为腰两种情况求解：设，则，分①当为底，则在的垂直平分线与的交点；②当为腰，且时，；当为腰，且时，；分别计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，分为底，为腰两种情况求解：
设，则，
①当为底，则在的垂直平分线与的交点，
∴；
②当为腰，且时，
∴，
解得，或(舍去)，
∴；
当为腰，且时，
∴，
解得，或(舍去)，
∴；
综上所述，点坐标为或或，
故答案为：或或．
14．1
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答．
【详解】解：连接，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
故答案为：1．
15．45°
【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案．
【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．
由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．
∴AE2＝AP2+PE2．
∴△APE是等腰直角三角形．
∴∠PAE＝45
∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．
16． (1)4； (2)60°、120°或90°.
【分析】(1)分OA为腰或底分别讨论画出图形即可．
(2)若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°．
【详解】解：(1)如图所示，
若OA为腰时，点P4、P1、P2即为所求；
若OA为等腰三角形的底，点P3即为所求；
故答案为4．
(2)若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°
故答案为60°、120°或90°．
三．解答题
17．(1)证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG(HL)；
(2)∵Rt△ABH≌Rt△DEG(HL)，
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
18．(1)∵，，垂足分别为点，，
∴，
∵为的中点，
∴，且
∴
∴，
∴，且，
∴，
∴是等边三角形．
(2)∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵为的中点，
∴，
∵
∴，
∴
19．(1)解：连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
(2)过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
20．(1)∵，
∴即为所求；
(2)∵EF=FG=GD=DE=，
∴正方形的面积为13；
(3)HI=；
(4)∵KL=，JL=，JK=，
且
∴是直角三角形，且周长为．
21．(1)解：当秒时，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为；
(2)解：当为等腰三角形时，由题意知，分当，当，当，三种情况求解；如图1，
由勾股定理得，，
①当时，，
由勾股定理得，，即，
解得，；
②当时，，
解得，；
③当时，
由等腰三角形的性质可知，，
∴，
∴，
解得，；
综上所述，的值为或或；
(3)解：∵，
∴，，
由勾股定理得，，
如图2，连接，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
解得，；
由轴对称的性质可知，当时，成立，
解得，；
综上所述，当的值为或时，．
22．(1)证明：是等边三角形，
，
点是中点，
，，
，
，
，
，
，
；
(2)解：，理由如下：
如图2，过点作交于点，
则，，
．
是等边三角形，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
(3)解：分两种情况：
①如图3，点在上时，
，，
，
，
，
，，
，，
，
；
②如图4，点在的延长线上时，
，，
，
，
，
，，
，
，；
综上所述，的长为6或12．
23．解：(定义)如图①，如图②所示，
(应用)
(1)①如图当∠B＝42°，AD为“好线”，
则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；
②如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，
则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，
综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是103.5°或126°，
故答案为103.5°或126°；
(2)设∠B＝x°，
①当AD＝DE时，如图1(a)，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝x°
∴∠AED＝∠DAE＝2x°，
∴27×2+2x+x＝180，
∴x＝42，
∴∠B＝42°；
②当AD＝AE时，如图1(b)，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝x°
∴∠AED＝∠ADE＝2x°，
∴2x+x＝27+27，
∴x＝18，
∴∠B＝18°．
③当EA＝DE时，
∵90﹣x+27+27+x＝180，
∴x不存在，应舍去．
综合上述：满足条件的x＝42°或18°．

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