资源简介

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专题1.3 乘法公式【十大题型】
【北师大版2024】
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】 2
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】 4
【题型3 由完全平分式求字母的值】 5
【题型4 平方差公式的几何背景】 7
【题型5 完全平方公式的几何背景】 12
【题型6 乘法公式的应用】 16
【题型7 乘法公式的证明】 19
【题型8 由乘法公式求最值】 23
【题型9 乘法公式的规律探究】 25
【题型10 乘法公式中的新定义问题】 29
知识点：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】
【例1】（23-24七年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算： ．
【答案】1
【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
按照平方差公式将进行转化为，即可简便计算结果.
【详解】
．
故答案为：1．
【变式1-1】（23-24七年级·宁夏银川·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方差公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式1-2】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）计算： .
【答案】2019.
【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【详解】解：∵
∴=
故答案是：2019.
【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
【变式1-3】（23-24七年级·湖南怀化·期末）计算： ．
【答案】
【分析】利用平方差公式将变形为，通过相邻的项约分化简即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将变形为．
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】
【例2】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意得出且，从而进一步得出，由此进一步求出的值，最后再通过将所求式子分解为进一步计算即可.
【详解】∵，，
∴，，
∵，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.
【变式2-1】（23-24七年级·山东聊城·期末）若，，则 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解： ，，
，
，
，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24七年级·江苏盐城·期中）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了整式的化简求值；分别利用单项式乘多项式法则与完全平方公式展开，再合并同类项，最后整体代入即可．
【详解】解：
；
当时
原式
．
故选：C．
【变式2-3】（23-24七年级·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，当及时，等号成立，
∴，当及时，等号成立，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【题型3 由完全平分式求字母的值】
【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是 ．
【答案】±4x , 4x4，-1，-4x2
【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q = ±4x; ②如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4.
【详解】解：∵4x2 +1±4x = (2x±1)2
4x2+1+4x4 = (2x2+1)2;
∴加上的单项式可以是±4x , 4x4,-1，-4x2中任意一个,
故答案为：±4x , 4x4，-1，-4x2
【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.
【变式3-1】（23-24七年级·山东青岛·期末）若是一个完全平方式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方式，利用完全平方式的结构特征即可求出结果．
【详解】解： 是一个完全平方式
即
故答案为：．
【变式3-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期末）已知是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．2 B．3或 C．1 D．
【答案】B
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或，
故选：．
【变式3-3】（23-24七年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式 是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：完全平方公式 ，分情况讨论：
（1）当相当于项时， ，可满足题意；
（2）当相当于项时，，可满足题意；
（3）当与相当于a与b，则需要求的是项，则，可满足题意.
故答案为.
【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】（23-24七年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
【答案】(1)或
(2)方法一：，方法二：；公式：
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）根据梯形的面积公式求解即可；
（2）方法一：用（1）中梯形面积乘以4即可；方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可．
【详解】（1）解：根据题意得：梯形的面积为，
或：；
故答案为：或；
（2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即；
方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即．
【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键．
【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为，
由图可得，，，
∴，
即，
∴，
故选：．
【变式4-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．图中剩余部分的面积为______，图的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若是不为的有理数，已知，，比较、大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分别用代数式表示图，图的面积即可；
（2）利用（1）中得到的等式计算的值即可；
（3）分别用代数式表示图中左图和右图的体积即可．
【详解】解：（1）图中剩余部分的面积为，
图的面积为，
所以代数恒等式为；
（2），，
因为是不为的有理数，
所以，即，所以；
（3）图3中左图的体积为，
图3中右图是长为，宽为，高为的长方体，
因此体积为，所以有．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．
【变式4-3】（23-24七年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：①；
②．
【拓展】
直接写出结果的个位数字．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；②；拓展：6．
【分析】（1）用大正方形面积减去小正方形面积，即可得到图1中阴影部分的面积；
（2）由图1可知，长方形的长为，宽为，即可求出此长方形的面积；
（3）根据图1中阴影面积与图2长方形面积相等，结合（1）和（2）的结论，即可得到答案；
（4）①利用（3）中的整式乘法的公式直接计算，即可得到答案；
②将原式变形，再利用（3）中的整式乘法的公式计算，即可得到答案；
拓展：将原式变形，再利用（3）中的整式乘法的公式计算，得到结果，再分析结果的个位数字4次为一个循环，进而得到结果的个位数字，即为答案．
【详解】解：（1）由图1可知，阴影部分的面积为，
故答案为：；
（2）由图1可知，长方形的长为，宽为，
图2中长方形的面积为，
故答案为：；
（3）由题意可知，图1中阴影面积与图2长方形面积相等，
，
故答案为：；
（4）①
；
②
；
拓展：
，
，，，，，，，……
结果的个位数字4次为一个循环，
，
结果的个位数字为6．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
【题型5 完全平方公式的几何背景】
【例5】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式．
例如：如图1 得到，基于此，请回答下列问题．
(1)【直接应用】
若，，则 ______．
(2)【类比应用】
若，则______．
(3)【知识迁移】
两块完全一样的直角三角板 如图2放置，其中A，O，D在一条直线上，连接．若，和的面积和，求四边形的面积．
【答案】(1)2
(2)7
(3)128
【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：
（1）利用完全平方公式求解；
（2）利用完全平方公式将原式变形为，即可求解；
（3）设，，则，，利用完全平方公式的变形计算出，则，由此可解．
【详解】（1）解：，
故答案为：2；
（2）解：，
故答案为：7；
（3）解：设，，
由题意知，，，
，
，
，
四边形的面积．
【变式5-1】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．24 B．29 C．41 D．45
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y，根据题意得，，两式相加可得，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积，代入计算即可．
【详解】解：设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y，
则，，，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵图2的阴影部分面积为，
∴，
∴，
∴图1的阴影部分面积为，
故选：C．
【变式5-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，不正确的有（ ）
A．； B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，根据拼图得出，，，再根据公式变形逐项进行判断即可．
【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为，中间的小正方形的边长为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
【变式5-3】（23-24七年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．
(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
(2)已知等式，请你画出一个相应的几何图形；
(3)请你设计一个几何图形，并解释：．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)图见解析，解释见解析．
【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）利用正方形的面积公式即可证明．
（2）画一个长为，宽为的长方形即可；
（3）把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形即可．
【详解】（1）解：在图2中，大正方形的边长为，
组成大正方形的5个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）解：如图3所示：

整体大长方形的长为，宽为，组成长方形的4个部分的面积和为，
因此有；
（3）解：如图4，

把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形，
因此可以验证．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（23-24七年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【答案】7
【分析】设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得，，由完全平方公式变形得，整体代入数据即可求解．
【详解】解：设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得，，
由完全平方公式得，
，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形和完全平方公式灵活变式应用．
【变式6-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为的正方形．

(1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积．
(2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？
【答案】(1)七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为
(2)多
【分析】（1）根据图形可知：七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区为长方形，通过，可求出对应的长，，即可解答此题．
（2）由正方形的面积公式可得到：，从而解答此题．
【详解】（1）解：（1）因为，
所以七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为．
（2）因为，
所以七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多．
【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
【变式6-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；
(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且米，求“红”字正方形边长b的值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积；
（2）根据阴影部分的面积求出，再根据，得到，进而求得，即可求出正方形边长b的值．
【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地的边长为，
正方形空地的面积为，
“红五月”三个正方形平台的面积为，
阴影部分的面积为；
（2）解：阴影部分的面积为288平方米，
，
，
，
，
，
,
．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键．
【变式6-3】（23-24七年级·广东佛山·期中）某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长米（）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图3所示，设户型一与户型二的主房面积之差为，入户花园的面积之差为．请计算．
【答案】 2b2
【分析】分别计算两种户型的主房面积，相减可得M，再计算两种户型的入户花园的面积，相减可得N，最后计算M N．
【详解】解：（1）∵M＝a2 a（a b）＝a2 a2＋ab＝ab，N＝（a＋b）2 a2 b（a b）＝a2＋2ab＋b2 a2 ab＋b2＝ab＋2b2，
∴M N＝ab （ab＋2b2）＝ 2b2．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景和整式的混合运算，正确利用完全平方公式是解题关键．
【题型7 乘法公式的证明】
【例7】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键．
根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式；
图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式；
图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有
，所以图③可以验证平方差公式；
图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故选∶C．
【变式7-1】（23-24七年级·山西吕梁·期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．

(1)利用这个图形可以证明的数学公式是 ；
(2)在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？
(3)请你写出完整的证明过程．
【答案】(1)平方差公式或
(2)数形结合
(3)证明见解析
【分析】本题考查了公式与几何图形的意义，数形结合思想，公式的证明．
(1)根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答．
(2)根据数形结合思想解答即可．
(3)根据面积的意义，证明即可掌握面积法是解题关键．
【详解】（1）解：根据题意，得平方差公式或，
故答案为：平方差公式或．
（2）解：主要思想是数形结合思想．
（3）解：由题意可知：
长方形的长，宽，
∴，
∵长方形的长，宽，
∴长方形与长方形的面积相等，
∴=+
= ，
∵=，=，
∴

【变式7-2】（23-24七年级·江苏南京·期末）（1）求证：．
（2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是∶
（1）利用多项式乘以多项式计算左边，利用完全平方公式计算右边，然后验证即可；
（2）把41，53分别写成两个正整数的平方和，然后利用（1）中求解即可．【详解】证明：（1）∵左边，
右边
，
∴左边=右边，
∴；
（2）∵，，
由（1）知：，
∴，
或
又，
∴，
即2173是正整数43，18的平方之和或正整数27，38的平方之和．
【变式7-3】（23-24七年级·山东聊城·期末） 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C.
实验一：
小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示)
（2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系.
实验二：
小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，．
（3）请你用面积法证明：．
【答案】（1），；（2）；（3）见解析
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
（1）直接表示出正方形的面积即可解题；
（2）运用两种不同的方法表示正方形的面积，然后整理解题；
（3）运用两种不同的方法表示图形的面积，然后整理即可．
【详解】解：（1）在图2中，正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为．
故答案为：，；
（2）由图可知：，即；
（3）选择是图，正方形的面积为
即，
∴．
【题型8 由乘法公式求最值】
【例8】（23-24·江苏南通·二模）已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为，再将配方为，利用平方式的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
，
当时取等号，
∴p的最小值为，
故答案为：．
【变式8-1】（23-24七年级·山东威海·期中）当多项式存在最大值时，x的值为 ．
【答案】
【分析】将该多项式配方，转化为非负性的形式即可；
【详解】解：
∵
∴
当时，原代数式有最大值，最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握配完全平方式的方法是解题的关键．
【变式8-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：x+y＝12，则代数式3x2+y2的最小值为 ．
【答案】108
【分析】根据题意把y=12-x代入式子中化简求最值即可．
【详解】解：由题意可得：y=12-x，代入式子3x2+y2中，
3x2+y2
=3x2+（12-x）2
=3x2+144-24x+x2
=4x2-24x+144
=（2x-6）2+108≥108，
∴3x2+y2的最小值为108．
故答案为：108．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式8-3】（23-24七年级·全国·竞赛）已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质．利用配方法和非负数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
∵
∴．
可得，
∴的最大值为．故答案为：．
【题型9 乘法公式的规律探究】
【例9】（23-24七年级·宁夏银川·期末）观察下列等式，并回答问题．
，
，
，
，
……
(1)将2024写成两整数平方差的形式：
__________________
(2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．
(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．
【答案】(1)506，，
(2)见详解
(3)相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由见详解
【分析】本题考查了实数的规律运算，平方差公式的应用，解题的关键是整理题目给出的规律．
（1）根据题意给出的规律即可求出答案；
（2）利用平方差公式的应用即可验证；
（3）根据题意列出式子即可求证．
【详解】（1）解：，
故答案为：506，，．
（2）由题意可知：（的整数），
证明：右边左边；
（3）相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下：
设相邻的两个整数分别：，
根据题意可知：，
∵的整数，∴为奇数，
∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数．
【变式9-1】（23-24·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 .
【答案】
【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第个图形需要个正方形，即可得出结论．
【详解】第1个图形是一个小正方形；
第2个图形由个小正方形拼成；
第3个图形由个小正方形拼成，
……
拼成第个图形需要个正方形，
拼成第个图形需要个正方形，
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．
【变式9-2】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律：
(1)；
；
．
①______（其中为正整数，且）；
②______；③______；
④______；
⑤______；
(2)根据上述规律求的值；
(3)根据上述规律：的值为______．
【答案】(1)（1）①，②，③，④，⑤，
(2)
(3)342
【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键．
（1）根据结果的规律得出答案；
（2）将写成，通过（1）规律即可求解；
（3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解．
【详解】（1）解：（1）由上式的规律可得，，
①故答案为：；
由题干中提供的等式的规律可得，
②；
故答案为：；
③，
故答案为：；
④
故答案为：；
⑤，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴取，，，
．
【变式9-3】（23-24七年级·河南郑州·期末）观察下列各式：，，，
(1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律
(2)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（且n为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律．
(3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算，要求写清计算过程及结果．
【答案】(1)末尾的两个数都是25
(2)
(3)计算过程见解析，结果
【分析】（1）观察各式，找到规律，即可求解，
（2）根据题意得到两位数为：，将用完全平方式展开，即可求解，
（3）根据（2）得到的公式代入，即可求解，
本题考查了，数字规律探索，完全平方式，解题的关键是：用代数式表示出数字的规律．
【详解】（1）解：个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是，
（2）解：这个两位数是：，
∵，
∴个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是，
（3）解：，
故答案为：．
【题型10 乘法公式中的新定义问题】
【例10】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为.
(1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值；
(2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键．
（1）根据，计算求解即可；
（2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴和谐值为；
（2）解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，
∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式；
当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式；
当，时，此时不成立；综上所述，的值为或．
【变式10-1】（23-24·四川泸州·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．502 B．520 C．525 D．205
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
【详解】解∶ 设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为，
由这两个奇数得到的“幸福数”为，
观察四个选项可知，只有选项B中的520能够整除4，
即，
故选：B．
【变式10-2】（23-24七年级·安徽六安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．257048 B．257024 C．255048 D．255024
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式、一元一次不等式的应用，设相邻的两个奇数为，，则，解得，得出在不超过的正整数中，“和谐数”共有个，依此列式计算即可求解，理解题中的“和谐数”的定义是解此题的关键．
【详解】解：设相邻的两个奇数为，，则，
解得：，
∴时，，，则在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为：，
故选：A．
【变式10-3】（23-24七年级·山东威海·期末）问题提出：
（1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子：
小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是：
，
求出 ．
问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值．
迁移应用：定义一种新运算：．
（3） ．
（4）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）13；（4）
【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可．
（1）依次按照平方差公式计算即可；
（2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可；
（3）按照平方差公式计算即可；
（4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
；
（3），
故答案为：13；（4）∵，
∴，则，……
∴，
．
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专题1.3 乘法公式【十大题型】
【北师大版2024】
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】 2
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】 4
【题型3 由完全平分式求字母的值】 5
【题型4 平方差公式的几何背景】 7
【题型5 完全平方公式的几何背景】 12
【题型6 乘法公式的应用】 16
【题型7 乘法公式的证明】 19
【题型8 由乘法公式求最值】 23
【题型9 乘法公式的规律探究】 25
【题型10 乘法公式中的新定义问题】 29
知识点：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】
【例1】（23-24七年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算： ．
【变式1-1】（23-24七年级·宁夏银川·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式1-2】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）计算： .
【变式1-3】（23-24七年级·湖南怀化·期末）计算： ．
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】
【例2】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【变式2-1】（23-24七年级·山东聊城·期末）若，，则 ．
【变式2-2】（23-24七年级·江苏盐城·期中）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【变式2-3】（23-24七年级·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ．
【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是 ．
【变式3-1】（23-24七年级·山东青岛·期末）若是一个完全平方式，则 ．
【变式3-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期末）已知是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．2 B．3或 C．1 D．
【变式3-3】（23-24七年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式 是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】（23-24七年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．图中剩余部分的面积为______，图的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若是不为的有理数，已知，，比较、大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．
【变式4-3】（23-24七年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：①；
②．
【拓展】
直接写出结果的个位数字．
【题型5 完全平方公式的几何背景】
【例5】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式．
例如：如图1 得到，基于此，请回答下列问题．
(1)【直接应用】
若，，则 ______．
(2)【类比应用】
若，则______．
(3)【知识迁移】
两块完全一样的直角三角板 如图2放置，其中A，O，D在一条直线上，连接．若，和的面积和，求四边形的面积．
【变式5-1】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．24 B．29 C．41 D．45
【变式5-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，不正确的有（ ）
A．； B．
C． D．
【变式5-3】（23-24七年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．
(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
(2)已知等式，请你画出一个相应的几何图形；
(3)请你设计一个几何图形，并解释：．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（23-24七年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【变式6-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为的正方形．

(1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积．
(2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？
【变式6-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；
(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且米，求“红”字正方形边长b的值．
【变式6-3】（23-24七年级·广东佛山·期中）某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长米（）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图3所示，设户型一与户型二的主房面积之差为，入户花园的面积之差为．请计算．
【题型7 乘法公式的证明】
【例7】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【变式7-1】（23-24七年级·山西吕梁·期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．

(1)利用这个图形可以证明的数学公式是 ；
(2)在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？
(3)请你写出完整的证明过程．
【变式7-2】（23-24七年级·江苏南京·期末）（1）求证：．
（2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和．
【变式7-3】（23-24七年级·山东聊城·期末） 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C.
实验一：
小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示)
（2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系.
实验二：
小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，．
（3）请你用面积法证明：．
【题型8 由乘法公式求最值】
【例8】（23-24·江苏南通·二模）已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ．
【变式8-1】（23-24七年级·山东威海·期中）当多项式存在最大值时，x的值为 ．
【变式8-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：x+y＝12，则代数式3x2+y2的最小值为 ．
【变式8-3】（23-24七年级·全国·竞赛）已知实数满足，则的最大值为 ．
【题型9 乘法公式的规律探究】
【例9】（23-24七年级·宁夏银川·期末）观察下列等式，并回答问题．
，
，
，
，
……
(1)将2024写成两整数平方差的形式：
__________________
(2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．
(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．
【变式9-1】（23-24·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 .
【变式9-2】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律：
(1)；
；
．
①______（其中为正整数，且）；
②______；③______；
④______；
⑤______；
(2)根据上述规律求的值；
(3)根据上述规律：的值为______．
【变式9-3】（23-24七年级·河南郑州·期末）观察下列各式：，，，
(1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律
(2)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（且n为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律．
(3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算，要求写清计算过程及结果．
【题型10 乘法公式中的新定义问题】
【例10】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为.
(1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值；
(2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值．
【变式10-1】（23-24·四川泸州·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．502 B．520 C．525 D．205
【变式10-2】（23-24七年级·安徽六安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．257048 B．257024 C．255048 D．255024
【变式10-3】（23-24七年级·山东威海·期末）问题提出：
（1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子：
小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是：
，
求出 ．
问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值．
迁移应用：定义一种新运算：．
（3） ．
（4）求的值．
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